2019高考数学二轮复习专题二第四讲导数的综合应用习题文.docx

第四讲导数的综合应用1.(2018陕西教学质量检测(一)若函数f(x)=ax-x2-lnx存在极值,且这些极值的和不小于4+ln2,则a的取值范围为()A.2,+)B.22,+)C.23,+)D.4,+)2.(2018河南郑州质量预测)若对于任意的正实数x,y,都有2x-yelnyxxme成立,则实数m的取值范围为()A.1e,1B.1e2,1C.1e2,eD.0,1e3.(2018湖南湘东五校联考)已知函数f(x)=3mx-1x-(3+m)lnx,若对任意的m(4,5),x1,x21,3,恒有(a-ln3)m-3ln3|f(x1)-f(x2)|成立,则实数a的取值范围是.4.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为.5.(2018课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a1时,f(x)+e0.6.(2018湖北武汉调研)已知函数f(x)=lnx+ax,aR.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a0时,证明f(x)2a-1a.7.(2018重庆调研)设函数f(x)=-x2+ax+lnx(aR).(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在13,3上有两个零点,求实数a的取值范围.8.(2018陕西质量检测一)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x-1.(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)证明:f(x)g(x);(3)若不等式f(x)ag(x)对任意的x(1,+)均成立,求实数a的取值范围.答案精解精析1.Cf(x)=a-2x-1x=-2x2-ax+1x,因为f(x)存在极值,所以f(x)=0在(0,+)上有解,即2x2-ax+1=0在(0,+)上有解,所以=a2-80,显然当=0时,f(x)无极值,不合题意,所以=a2-80,即a22或a0,则f(x1),f(x2)为f(x)的极值,所以f(x1)+f(x2)=(ax1-x12-lnx1)+(ax2-x22-lnx2)=a(x1+x2)-(x12+x22)-(lnx1+lnx2)=a22-a24-1+ln24+ln2,所以a23.综上,a的取值范围为23,+).故选C.2.D因为x0,y0,2x-yelnyxxme,所以两边同时乘ex,可得2e-yxlnyx1m.令yx=t(t0),令f(t)=(2e-t)lnt(t0),则f(t)=-lnt+(2e-t)1t=-lnt+2et-1.令g(t)=-lnt+2et-1(t0),则g(t)=-1t-2et20,因此g(t)即f(t)在(0,+)上单调递减.又f(e)=0,所以函数f(t)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,因此f(t)max=f(e)=(2e-e)lne=e,所以e1m,得00,f(x)在1,3上单调递增,|f(x1)-f(x2)|f(3)-f(1)=6m+23-(3+m)ln3,(a-ln3)m-3ln36m+23-(3+m)ln3,a6+23m.y=6+23m在m(4,5)上单调递减,3766+23m9215,a376.4.答案-3解析f(x)=2x3-ax2+1,f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a0,则x0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上为增函数.又f(0)=1,f(x)在(0,+)上没有零点,a0.当0xa3时,f(x)a3时,f(x)0,f(x)为增函数,x0时,f(x)有极小值,为fa3=-a327+1.f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,fa3=0,a=3.f(x)=2x3-3x2+1,则f(x)=6x(x-1).令f(x)=0,得x=0或x=1.x-1(-1,0)0(0,1)1f(x)+-f(x)-4增1减0f(x)在-1,1上的最大值为1,最小值为-4.最大值与最小值的和为-3.5.解析(1)f(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex,f(0)=2.因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明:当a1时,f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1.当x-1时,g(x)-1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)g(-1)=0.因此f(x)+e0.6.解析(1)f(x)=1x-ax2=x-ax2(x0).当a0时,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递增.当a0时,若xa,则f(x)0,函数f(x)在(a,+)上单调递增;若0xa,则f(x)0时,f(x)min=f(a)=lna+1.要证f(x)2a-1a,只需证lna+12a-1a,即证lna+1a-10.令函数g(a)=lna+1a-1,则g(a)=1a-1a2=a-1a2(a0).当0a1时,g(a)1时,g(a)0.所以g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.所以g(a)min=g(1)=0.所以lna+1a-10恒成立,所以f(x)2a-1a.7.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),当a=-1时,f(x)=-x2-x+lnx,f(x)=-2x-1+1x=-2x2-x+1x.令f(x)=0,得x=12(负值舍去).当0x0;当x12时,f(x)0.当a=-1时,f(x)的单调递增区间为0,12,单调递减区间为12,+.(2)令f(x)=-x2+ax+lnx=0,得a=x-lnxx.令g(x)=x-lnxx,其中x13,3,则g(x)=1-1xx-lnxx2=x2+lnx-1x2.令g(x)=0,得x=1.当13x1时,g(x)0;当10.g(x)的单调递减区间为13,1,单调递增区间为(1,3,g(x)min=g(1)=1.由于函数f(x)在13,3上有两个零点,g13=3ln3+13,g(3)=3-ln33,3ln3+133-ln33,实数a的取值范围是1,3-ln33.8.解析(1)f(x)=1x,f(1)=1.又f(1)=0,切线的方程为y-f(1)=f(1)(x-1),即所求切线的方程为y=x-1.(2)证明:设h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+1,则h(x)=1x-1,令h(x)=0,得x=1,当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)h(x)+0-h(x)单调递增极大值单调递