2019届高考数学专题一三角函数及解三角形课后综合提升练1.1.2三角恒等变换与解三角形.docx

第二讲三角恒等变换与解三角形(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若cos =-,是第三象限的角,则=()A.3B. -C.D.【解析】选B.因为cos =-,是第三象限的角,所以sin =-,则=-.2.设a=2sincos,b=cos25-sin25,c=,则()A.abcB.bcaC.cabD.acb 【解析】选C.因为a=sin=sin 72,b=cos 10=sin 80,c=tan 60=,函数y=sin x在区间上是增函数,所以c=atan A,则角A所对的边最小.由tan A=可知sin A=,由正弦定理=,得a=sin A=.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若ABC的面积S=c,则ab的最小值为()A.B.C.D.3【解析】选B.由题意得2sin Ccos B=2sin A+sin B2sin Ccos B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin Bcos C=-,所以S=absin C=ab=cc=3ab.因为cos C=,所以-=,解得ab,当且仅当a=b=时,等号成立,即ab的最小值为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知tan =4,则=_.【解析】=.答案:7.若tan ,tan 是方程x2+5x+6=0的两个根,且,则+=_.【解析】因为tan ,tan 是方程x2+5x+6=0的两个根,所以tan +tan =-5,tan tan =6,所以tan 0,tan A,2sin Bsin C=cos A.(1)求A的值.(2)判断ABC的形状并求ABC的面积.【解析】(1)因为b2+c2-4=4S,所以b2+c2-a2=4bcsin A,由余弦定理得,cos A=sin A,所以tan A=,因为A(0,),所以A=.(2)因为2sin Bsin C=cos A,A+B+C=,所以2sin Bsin C=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C,即sin Bsin C+cos Bcos C=0,cos(B-C)=0,所以B-C=或C-B=.()当B-C=时,由第(1)问知A=,所以B=,C=,所以ABC是等腰三角形, S=acsin B=;()当C-B=时,由第(1)问知A=,所以C=,B=,又因为BA,矛盾,舍去.综上,ABC是等腰三角形,其面积为.10.已知在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求.(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.【解析】(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD,因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC,在ABC中,由正弦定理得:=,所以=.(2)设ADB=,则ADC=-.由(1)知=,所以c=2b,因为CD=,所以BD=,在ACD中,由余弦定理得,b2=1+-21cos(-),即b2=+cos ,在ABD中,由余弦定理,c2=1+2-21cos ,即c2=3-2cos ,由得b=1,故AC=1.11.在锐角ABC中,2sincos+2cos Bsin C=.(1)求角A.(2)若BC=,AC=2,求ABC的面积.【解析】(1)因为2sincos+2cos Bsin C=,所以sin(B-C)+2cos Bsin C=,则sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)=,即sin A=,由ABC为锐角三角形得A=.(2)在ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-22c,化简得c2-2c-3=0,解得c=3(负根舍去),所以SABC=bcsin A=.【提分备选】1.如图所示,某镇有一块空地OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,AOB=90.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖OMN,其中M,N都在边AB上,且MON=30,挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山,剩下的OBN地带开设儿童游乐场. 为安全起见,需在OAN的周围安装防护网.(1)当AM=km时,求防护网的总长度.(2)若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的倍,试确定AOM的大小.(3)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使OMN的面积最小?最小面积是多少?【解析】(1)因为在OAB中,OA=3,OB=3,AOB=90,所以OAB=60,在AOM中,OA=3,AM=,OAM=60,由余弦定理,得OM=,所以OM2+AM2=OA2,即OMAN,所以AOM=30,所以OAN为正三角形,所以OAN的周长为9,即防护网的总长度为9 km.(2)设AOM=(060),因为SOMN=SOAM,所以ONOMsin 30=OAOMsi