2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十九圆锥曲线中的定点定值存在性问题大题练理.docx

课时跟踪检测（十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大题练）A卷大题保分练1(2018成都模拟)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意得，c，2，a2b2c2，a2，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.点B在以线段MN为直径的圆上，0.(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直线l的方程为ykx.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意故直线l过定点，且该定点的坐标为.2(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.3.(2018贵阳模拟)如图，椭圆C：1(ab0)的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PFx轴，若ABOP，且|AB|2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知Q是C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由解：(1)由题意得A(a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t0)，1，得t，即P，由ABOP得，即bc，a2b2c22b2，又|AB|2，a2b212，由得a28，b24，椭圆C的方程为1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为，设Q(x0，y0)(y00)，则1，kQAkQD，A(2，0)，(x0m)，由得(m2)x02m80，即解得m2，存在点D(2，0)，使得kQAkQD.4(2018昆明模拟)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，P是椭圆C上的点(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值解：(1)由题意知2c4，即c2，则椭圆C的方程为1，因为点P在椭圆C上，所以1，解得a25或a2(舍去)，所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2且x1x20，由，得D(x1x2，y1y2)，所以直线AB的斜率kAB，直线OD的斜率kOD，由得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即，所以kABkOD.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值.B卷深化提能练1(2018安徽江南十校联考)在平面直角坐标系中，直线xym0不过原点，且与椭圆1有两个不同的公共点A，B.(1)求实数m的取值所组成的集合M；(2)是否存在定点P使得任意的mM，都有直线PA，PB的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)因为直线xym0不过原点，所以m0.将xym0与1联立，消去y，得4x22mxm240.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以8m216(m24)0，所以2mb0)的右焦点F，抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x4上的射影依次为D，K，E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且1，2，当m变化时，证明：12为定值；(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由解：(1)直线xmy1过椭圆的右焦点，右焦点F(1,0)，c1，即c21.x24y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，b，即b23，a2b2c24，椭圆C的方程为1.(2)由题意知m0，由得(3m24)y26my90.显然0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.1，2，M，1(1x1，y1)，2(1x2，y2)，11，21，1222.综上所述，当m变化时，12为定值.(3)当m0时，直线lx轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N，则若当m变化时，直线AE与BD相交于定点，则定点必为N，证明如下：，易知E(4，y2)，则.y2(y1)(y1y2)my1y2m0，即A，N，E三点共线同理可得B，N，D三点共线则猜想成立，故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N.3(2018贵州六校联考)已知点M是椭圆C：1(ab0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|4，F1MF260，F1MF2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(1，2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值解：(1)在F1MF2中，由|MF1|MF2|sin 60，得|MF1|MF2|.由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos 60(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos 60)，从而2a|MF1|MF2|4，即a2，从而b2，故椭圆C的方程为1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y2k(x1)，由得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.从而k1k22k(k4)4.当直线l的斜率不存在时，可取A，B，得k1k24.综上，恒有k1k24.4(2019届高三湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x28y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，则b2.由，a2c2b2，得a4，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)设直线AB的方程为yxt，代入1，得x2txt2120，由0，解得4t4，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2t，x1x2t212，|x1x2|.四边形APBQ的面积S6|x1x