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微积分学同步辅导A类题解答 第35页习题4解答（编写：金建华）1、填空题：（1）= 。解 （用到，据台劳公式）；（2）函数在 是单调减少。解 ，填0，2或（0，2）；（3）曲线的拐点坐标是 。解 ， ，显然在两侧变号，故所求点（4）曲线在区间 是凹的（即向上凹）。解 ，为所求（5）函数的极大值是 。解 在两侧变号，左正右负，为极大值点，极大值为。（6）函数的n阶麦克劳林多项式是 。解 在的Taylor多项式由的展式来写：（7）曲线的斜渐近方程为 。解 ，故所求为。（8）抛物线在其顶点处的曲率为 。解 ，顶点处，。（9）= 。解 . （注，用更好：此时，分子=.）（10）若（n为正整数），则当n为奇数时，在=处 ，当n为偶数时，在处 。解 条件分式最终为正（极限的保号性）。于是偶时，极小；奇时，与同号.非极值.（11）曲线的拐点为 ，且该曲线在区间 上凹，在区间 下凹。解 ，令，得。当时，曲线为凸的；当时，曲线为凹的；拐点为（12）若在上二阶可导，且，又知在（0，）内取得极大值，则必有 。解 设在点极大，则，于是， ，于是 2选择题（1） 函数和，在区间上满足柯西定理的等于（ ）（A） （B）1 （C） （D）解 （A）（2） 罗尔定理中的三个条件：在上连续，在内可导，且是在内至少存在一点，使得成立的（ ）。（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件。解 充分条件（B）（3）下列函数中在上满足拉格朗定理条件的是（ ）（A） （B） (C) (D)。 解 在满足（B）(4) 设为未定型，则存在是也存在的（ ）（A）必要条件 （B）充要条件 （C）充分条件 （D）既非充分也非必要条解 充分（C） （5）若在区间函数的，则在内是（ ）（A）单调减少，曲线上凹 （B）单调减少，曲线下凹（C）单调增加，曲线上凹 （D）单调增加，曲线下凹解 对应单增，对应上凸，于是（D）形为右图。 （6）设在（0，+）内可导，且，若，则在（）内有（ ）（A） （B）（C）单调趋向于+ （D）的符号不能确定解 注意在处，函数可能不连续，选（D）. 反例形为右图。（7）设=1，则在处（ ）（A）的导数存在，且 （B）的导数不存在（C）取得极小值 （D）取得极大值 解 极小值，同1（10），选（C）（8）函数有（ ）（A） 一个极大值和一个极小值 （B）两个极大值（C）两个极小值 （D） 一个极小值，无极大值 解 ， 一个极小值（D）图形如右 （9）设在（-）上严格单调减少，在处有极值，则（ ）（A）在处有极小值（B）在处有极大值（C）在处有最小值（D）在处既无极大值，也无最小值解 ，故为极小值.（A） （10）曲线（ ）（A）有一个拐点 （B）有两个拐点（C）有三个拐点 （D）无拐点解 ， 它在两侧变号，但为无定义点，故无拐点（D）（11）设在闭区间上连续，在开区间（-1，1）上可导，且，则必有（ ） （A） （B） （C） （D）解 选（C）（12）若，则、的大小关系为（ ）（A）（B）（C）（D） 解 ，故选（C） （13）设有二阶连续导数，且=1，则（ ）（A）（B）（C）（D）解 与同号，故推出.结合，选（B） （14）曲线的渐近线有（ ）（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条解 时，故得一条垂直渐近线；时，非垂直渐近线，类似也不是，再时，得水平渐近线。选（B）（15）设函数（ ） （A） （B）（C）或不存在 （D）不存在解 选（C）这是两种情形：3求下列极限：（1） （2）（3） （4）解：使用洛必达法则要结合等式变形或等价变形等化简手段。 （1）令 ，（分子化简用到：，下题也是）（2）（3）令 ，化简到分式后使用洛必达法则= （4）令 ，化简后使用洛必达法则 = 4已知在处有三阶导数，且，求极限.解一：由在处Taylor公式，得：，于是 ；解二：由洛必达法则也可以。注意型条件的检验。（注：最后一步极限只可使用导数定义，决不可以用洛必达！因为三阶导函数可以不存在）5证明下列不等式（1）当时， 解：设，原不等式 在(0,1)内单调减，且 在(0,1)内单调减，又由，故在(0,1)内 （2）当时， 解：作函数 =，因为的唯一驻点，且当时，当时时，故是的极大值，也是最大值 ， 则，因即得. （3）当时， 解：令， 因当时，故，从而 . （4）比较和的大小 解：因，故问题在于比较与之大小， 令 则令 ，即得.6求下列函数的极值： （1） 解：= 0 在处取得极小值，且 ，在处取得极大值，且 （2） 解：=. ，在处取得极小值，且极小值为 ，在处取得极大值，且极大值为 （3） 解： 在处连续，从而在内处处连续. 在处，不可导，令0不存在极大值0极小值 由上面的表可知，的极大值为，极小值为.7已知有两个极值点，求的极大值与极小值. 解： 由 从中解得 即得 ， 在处取得极大值，且 在处取得极小值，且.8求在内最大值和最小值. 解：=. ， 在内最大值为，最小值为0.9求下列曲线的渐近线：（1） 解：为垂直渐近线. 为水平渐近线. （2） 解： 为垂直渐近线，为水平渐近线.10研究方程实根的个数. 解：令，则=0极小值 （1）若，则在内方程无根，在内方程有一根. （2）若，则方程在与内各有一根.（3）若，则极小值，在内，在内，即方程只有一个实根. （4）若，则极小值，从而在内，方程无实根.11设满足的实数，证明在开区间内至少有一个实根. 解：设 在内满足Rolle定理条件： ，使得， 即在内有满足 12设函数在闭区间上连续，在开区间内可微，试证存在，使得。证：首先由拉格朗日中值定理，得 使， 其次针对以及在上，由Cauchy中值定理知，存在使 两式联手即得。13设在上连续，在内可导，且.证明在内至少存在一点，使. 证：令，则在上满足条件，则存在，使 即14设在上连续，在内可微，证明在内至少存在一点，使得. 证：令，将及在上应用柯西中值定理，则有 即 15设在上具有二阶导数，且.证明存在一点，使. 解：设在处取得最小值，则，由台劳公式 ， 当时 因 则有 ， 于是若时，；时，.由此可得.16由所围成的曲边三角形，在曲边上求一点，使得过此点所作之切线与所围成的三角形面积最大. 解：设过曲线上点处的切线方程为，将代入上式得 此切线与的交点纵坐标与横坐标分别为，切线与所围成的三角形的面积为于是 = 及（舍去）因为