2019年高考数学复习解题思维提升专题12立体几何大题部分训练手册.docx

专题12 立体几何大题部分【训练目标】1、 掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；2、 掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假；3、 掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；4、 掌握等体积法求点面距；5、 掌握几何体体积的几种求法；6、 掌握利用空间向量解决立体几何问题。7、 掌握常见几何体的外接球问题。【温馨小提示】立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在17分到22分之间，对于大多数人来说，立体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和距离的求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。【名校试题荟萃】 1、已知直三棱柱中，为中点，.求证：平面；求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）证明：连结交于点，连结，则和分别为和的中点，所以， 而平面，平面，所以平面. （2）因为平面，所以点和到平面的距离相等，从而有.2、如图，四棱锥中，底面是直角梯形， 是正三角形， 是的中点（1）求证： ；（2）判定是否平行于平面，请说明理由【答案】（1）见解析 （2）平行（2）平行于平面，理由如下：取的中点为，连接可知，又，所以四边形为平行四边形，故.又平面平面，所以平面.3、在四棱锥中，平面，且底面为边长为2的菱形，（1）证明：面面；（2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及其理由），并求四面体的体积【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）因为平面，所以，在菱形中，且，所以，又因为，所以面（2）取的中点，连接，易得是等边三角形，所以，又因为平面，所以，又，所以，在面中，过作于，即是点在平面内的正投影，则，又，所以，经计算得，在中，4、如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形。（1）证明：直线面；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出点所在的位置。【答案】（1）见解析 （2）为中点（本题可先证明后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）（2）设的中点为，以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。易知，,.设，.可得，5、如图，在三棱锥中，底面，为的中点（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析 （2）4【解析】（1）在中，由余弦定理得，则因为为的中点，则因为，则，所以因为，则（5分）因为底面，则，所以平面，从而（2）分别以直线，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图设，则点，所以，6、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，ADP90，平面ADP平面ABCD，点F为棱PD的中点 （1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF平面PCE，并说明理由；（2）当二面角DFCB的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角 【答案】（1）点E为棱AB的中点 （2）60【解析】（1）在棱AB上存在点E，使得AF平面PCE，点E为棱AB的中点理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQDC且FQCD，AECD且AECD，故AEFQ且AEFQ.所以，四边形AEQF为平行四边形.所以，AFEQ，又EQ?平面PEC，AF?平面PEC，所以，AF平面PEC.设平面FBC的法向量为m，则由得令x1，则y，z，所以取m，显然可取平面DFC的法向量n，由题意：，所以a.由于PD平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在RtPBD中，tanPBDa，从而PBD60，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60.7、已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点M，N分别是AB和BC的中点。（1）证明：MN平面AACC；（2）设ABAA，当为何值时，CN平面AMN，试证明你的结论【答案】（1）见解析 （2）（2）连接BN，设AAa，则ABa，由题意知BCa，NCBN，三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，平面ABC平面BBCC，ABAC，点N是BC的中点，AN平面BBCC，CNAN.要使CN平面AMN，只需CNBN即可，CN2BN2BC2，222a2?，当时，CN平面AMN.8、如图，四棱锥中，底面是直角梯形，.（1）求证：平面平面；（2）若,求点到平面的距离.【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）证明：取中点，连接可知且 又,在有又，,即，又平面,平面平面，又平面平面平面 （2）设点到平面的距离为 ，所以点到平面的距离为。9、如图,在三棱柱中,点分别是的中点,已知平面, ,.（1）求异面直线与所成角的余弦值.（2）求证： 平面.（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1） （2）见解析 （3）（2）在三棱柱中,平面,平面,又,平面.（3）解：取的中点,连接;取的中点,连接.,平面,是与平面所成的角.由已知得, , ,直线与平面所成角的正弦值为.10、如图，在底面是正三角形的三棱锥PABC中，PA=AB=2，PB=PC=（1）求证：PA平面ABC；（2）若点D在线段PC上，且直线BD与平面ABC所成角为，求二面角DABC的余弦值【答案】（1）见解析 （2）（2）以A为原点，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），设D（0，b，c），01，则（0，b，c2）=（0，2，2），D（0，2，22），=（，21，22），直线BD与平面ABC所成角为，平面ABC的法向量=（0，0，1），sin=，解得或=2（舍），D（0，1，1），=（），=（0，1，1），设平面ABD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角DABC的平面角为，则cos=二面角DABC的余弦值为11、如图，在斜三棱柱中，侧面与底面所成的二面角为120，分别是棱、的中点（1）求与底面所成的角；（2）证明平面；（3）求经过四点的球的体积【答案】 （1）60 （2）见解析 （3）a3由于四边形A1AGE为平行四边形，得A1AG=60（）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点连接PF在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1EFP而FP平面B1FC，A1E平面B1FC，所以A1E平面B1FC 12、如图，在四面体中，（1）证明