函数专题七——方程根的分布及相关不等式问题解法总结.doc

数学学习就如星空旅行：知识是点（出发点和目标点），方法是（航）线；只有掌握知识点，方法才有意义。星空学习函数专题七方程根的分布及相关不等式问题解法总结根的分布指的是探讨方程在指定区间内根的存在性、个数的问题，高中数学常见于一元二次函数或与一元二次函数有关的问题中。一、一次方程根的分布例1、已知函数，若在区间，1上存在，使，则实数m的取值范围是_。小结：一次方程根的分布可以直接解得根后满足条件或在区间（a，b）上利用处理。二、一元二次方程根的分布下面讨论当a0时一元二次方程根的分布。（一）不限制根的区间：（1）无根：0。（二）限制根的区间1、指定区间内有两根、两个根在不同区间内；。根的分布xyomx1x2图象表达式x2yonx1xmpx2yomx1xnx2yonx1xmpq、两个根在同一个区间内；。xyomx1=x2根的分布xyomx1x2图象表达式；xyomx1=x2xyomx1x2；x2yox1xmnyox1=x2xmn ；2、指定区间内恰有一个根在（m，）内恰有一根；在（，m）内恰有一根；在（m，n）内恰有一根。根的分布xyomx1= x2xyomx1x2图象表达式在（m，）内恰有一根xyomx1= x2xyomx1x2；在（，m）内恰有一根；在（m，n）内恰有一根x2yox1xmnxyomx1= x2nx2yox1xmn；3、指定区间内至多或至少有一个根至少有一个根在（m，）内至少有一根：分两种情况：在（m，）内恰有一根；在（m，）内有两根。在（，m）内至少有一根：分两种情况：在（，m）内恰有一根；在（，m）内有两根。在（m，n）内至少有一根：分两种情况：在（m，n）内恰有一根；在（m，n）内有两根。至多有一个根在（m，）内至多有一根：分三种情况：在（m，）内恰有一根；在（，m内有两根；无根。在（，m）内至多有一根：分三种情况：在（，m）内恰有一根；在m，）内有两根；无根。在（m，n）内至多有一根：分四种情况：在（m，n）内恰有一根；在（，m内有两根；在n，）内有两根；无根。小结：一元二次方程根的分布关键在于正确地作出符合题意的抛物线（实际作图时最容易发生情况遗漏），一般要先理解习题要求，再根据需要依次考虑习题中抛物线的四个方面（开口方向、判别式、对称轴与区间的相对位置、区间端点的函数值的符号）的可能性进行作图。一、基础题型例2、已知关于的二次方程，分别求满足下列条件的m的范围。一根比1小，另一根比1大；一根比0小，另一根比1大；两根都大于0；两根（-1，0），（1，2）；两根都在区间（0，1）内；恰有一根在（1，+）内；至少有一根在（1，+）内。小结：要正确作图可分以下几个步骤：理解清楚题意：方程有没有根？有几个根？根分布在哪（两）个区域？是否需要分情况讨论？开始作图：依次考虑以下方面：开口方向有没有确定？符合题意的“”有哪些情况？是否需要考虑对称轴相对与根的分布区间的位置关系？分布区间的端点在图象上对应点位置在x轴上？上方？下方？例3、已知，若x，2，恒成立，求a的取值范围。小结：不等式问题要先转化为方程的根的分布问题。不等式恒成立问题也可用变量分离法求解。练：1、已知关于x的方程，求满足下列条件的m的取值范围。两个正根；有两个负根；两个根都小于1；一个根大于2，一个根小于2；两个根都在（0，2）内；两个根有且仅有一个在（0，2）内；一个根在（，0）内，另一个根在（1，3）内；二、综合应用例4、关于的方程的一个实根在0，1上，另一根在1，2上，则的最大值为_。例5、已知集合A=，B=，若AB是单元素集，求实数m的取值范围。例6、已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，若，求实数k的取值范围。例7、求函数的值域。三、复合型方程根的分布复合方程在探讨根的情况时，一般按复合函数的方法先换元成基本函数，然后按照从外到内的顺序讨论方程根的情况。xyo1221-1-2-1-2y=f(x)xyo1221-1-2-1-2y=g(x)例8、已知函数和的图象如下所示：给出下列四个命题： 方程有且仅有6个根方程有且仅有3个根方程有且仅有5个根方程有且仅有4个根其中正确的命题是_。（将所有正确的命题序号填在横线上）例9、若关于x的方程在x，1上有解，求实数a的取值范围。例10、设定义域为R的函数，若关于x的函数有8个不同的零点，则实数c的取值范围是_。小结：复合型方程根的分布问题运用换元法先转化为基本函数问题，按照从外而内的思路分步解决问题。练：2、设关于的方程R），若方程有实数解，求实数b的取值范围；当方程有实数解时，讨论方程实根的个数。13解题不总结，等于竹篮子打水。巩固训练：1、若关于x的方程有两相异实根，且两根均在区间0，2上，求实数a的取值范围。2、求实数的范围，使关于的方程。有两个实根，且一个比大，一个比小；有两个实根，且满足；至少有一个正根。3、关于x的方程至少有一个小于的根，求实数a的取值范围。4、若二次函数在区间，1内至少存在一个实数c，使，求实数p的取值范围。5、设，若，求实数的取值范围。6、已知方程在（，1）上有两个根，求的取值范围。参考答案：例1、简析：（一）令，显然，解得：，或。（二）由题意，有，或。例2、简析：设函数，则。 ，。，。法（一），。法（二）涉及到根的正负问题也可用韦达定理解决：，。，。，。或，。或或，。 例3、xyo2-2简析：设函数对任何x，2恒成立，如图有3种可能情形：=0；，练：1、简析：设函数，。，。，。，。，或。，。Aaboa-b-2=0a-2b-1=0l例4、简析：设函数，则， 得，作出可行域，如图，设l：，当直线l过点A（3，1）时，z=2a+3b有最大值为9。例5、简析：由题意，联立方程组，消去y，得：恰有一解，或或，或。例6、-2xyo3简析：，函数定义域：，设函数，有或，解得：或，即。例7、-2xyo简析：函数可化为方程有解，y=0时，有解，y=0；y0时，有或xyo-2；y0时，a4时，图中与无交点，原函数无零点；xto4当c=4时，图中与有一个交点（2，4），图中与曲线有四个交点，原函数共有4个零点，不符合；当0c4时，图中与有两个交点，设横坐标分别为、，则、，图中、与曲线各有4个交点，原函数共有8个零点，符合题意；当c=0时，图中或，图中，、与曲线各有2个、3个交点，原函数共有5个零点，不符合；当c0时，图中有一个交点，设，图中与曲线有2个交点，原函数共有2个零点，不符合；综上，当0c4时函数有8个不同的零点。练：2、tyo-11y=b简析：方程可化为，设，得：，设函数、，并作图。由