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必修1必修4基础知识点总结必修一（一）集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性.（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用表示.（3）我们约定用表示自然数集，用表示正整数集，用表示整数集，用表示有理数集，用表示实数集.（4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn图).2.集合间的基本关系（1）集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系，有属于“”和不属于“”两种情形.（2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A中有n个元素，集合A的子集个数为，非空子集的个数为，真子集的个数为，非空真子集的个数为.3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算.4.集合运算中两组常用的结论（1）；.（2）；.（二）函数的概念（1）函数的定义设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B 的一个函数，记作.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.值域是集合B的子集.映射：设A，B是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A到集合B 的映射，记作.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一.（2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（三）函数单调性1.增函数、减函数设函数的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.2.单调性、单调区间如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤：设出自变量；作差（商）；判号；写出结论.2函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点.3函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x值.4.判断函数单调性的常见方法定义法；图象法；导数法. 5.求函数最值或值域的方法单调性法；配方法；换元法；判别式法；图象法；不等式法等.5.一些重要函数的单调性的单调区间：增区间；减区间.的单调区间：增区间；减区间（四）函数奇偶性1.奇偶性(1)奇函数、偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.(2)奇偶性如果函数是奇函数或偶函数，那么就说函数具有奇偶性.(3)奇函数、偶函数的性质奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；若奇函数在x=0处有定义，那么一定有.在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（五）基本函数：一次二次函数1. 函数叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R2. 一次函数性质3. 当k0时，为增函数，当k0时，为减函数；当b=0时，函数为正比例函数；直线y=kx+b与x轴的交点为与y轴的交点为.3.二次函数的解析式的三种形式：一般式；顶点式；零点式；4.二次函数的图象与性质的图象是一条抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为，当时开口向上, 当时开口向下；时，抛物线与x轴有2个（1个、无）交点.单调性：当时，在减函数； 在上是增函数.，相反.奇偶性：偶函数；既不是奇函数也不是偶函数；（六）指数函数1.幂的有关概念正整数指数幂： ；零指数幂：1() ；负整数指数幂：=()； 正分数指数幂：();负分数指数幂： (); 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.2.幂的运算法则（）；3.指数函数图像及性质定义图象定义域R值域定 点（0，1）单调性，增 ，减4.指数函数具有性质：（七）对数函数1.定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作，其中称对数的底，N称真数.以10为底的对数称常用对数，记作，以无理数为底的对数称自然对数，记作2.基本性质：真数N为正数（负数和零无对数）， ， 对数恒等式：.3.运算性质：如果则；.4.换底公式：， .5.对数函数的图像与性质定 义图 象定义域值 域定 点单调性定 义（八）幂函数：的图像1.当时，幂函数有下列性质：(1)图像都通过点；(2)在第一象限内，随的增大而增大；(3)在第一象限内，时图像下凸,时图像上凸.(4)在第一象限内，过点后，图像向右上方无限伸展.2.当a0时,直线的倾斜角为锐角;当k0），所以判断点与圆的位置关系，只需判断点到圆心的距离与半径的大小关系即可。2.圆的一般方程 方程，则可变形为,只有当0时，才表示圆，圆心（），半径,当0时，表示点（），若0，不表示任何图形。（十）直线和圆圆和圆位置关系1.点和圆的位置关系 点到圆心距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内；点到圆心的距离大于半径，点在圆外.2.直线与圆有三种位置关系 直线与圆相交，有两个公共点；直线与圆相切，只有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点；3. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种 设圆心到直线的距离为，圆的半径为，若，直线与圆相交；若，直线与圆相切；若，直线与圆相离。直线与圆的方程组成方程组，若方程组有两个解，则直线与圆相交；若只有一个解，则直线与圆相切；若无解，则直线与圆相离. 4. 判断圆与圆的位置关系有两种方法，一是代数法，两圆的方程组成的方程组若有两解，则两圆相交；若有一解，则两圆相切，但不能判断是内切还是外切；若无解则两圆相离，但不能判断是外离还是内含。二是设两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则时，两圆外离；时，两圆外切；时，两圆相交；时，两圆内切；时，两圆内含.必修三（一）算法1.算法通常是指用计算机来解决的某一类问题的 程序或步骤 ，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形几种常用的图形符号的名称及作用如下：图形符号名称作用起止框表示算法的开始或结束处理框赋值、计算、数据传送输入输出框输入的数据或信息的输出判断框根据条件决定不同的流向3.算法的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构和循环结构.4.输入语句、输出语句分别用来实现算法的 输入 和 输出 功能其一般格式为：输入语句：(BASIC) INPUT 提示信息；变量 (Scilab) x=input(提示信息) 输出语句：(BASIC) PRINT 提示信息；表达式 (Scilab) print(%io(2),表达式) 或 表达式5.赋值语句的功能是给变量 赋初值或计算 ，其一般格式是： 变量=表达式 。6条件语句表达算法中 条件 结构其一般格式为： BASICScilab格式一IF 条件 THEN 语句1ELSE 语句2END IFif 条件 语句1;else 语句2;end格式二IF 条件 THEN 语句END IFif 条件 语句;end7.循环语句有两种类型，其一般格式是：BASICScilab格式一WHILE 条件 循环体WENDwhile 条件 循环体end格式二DO 循环体LOOP UNTIL 条件for 循环变量=初值：步长：终值 循环体end注意：BASIC语句中的关键字、变量名大小写均可，且作用相同，如A和a是同一个变量。SCILAB中的关键字必须全部小写，变量名中的字母大小写均可，但不相同，如A和a是两个不同的变量。8.更相减损术：求两个自然数m，n的最大公约数的算法。将两个数中较大的数减去较小的数，将差与较小的数比较，再重复以上过程，直到两个数相等时为止，这时这两个相等的数就是m，n的最大公约数。9.秦九韶算法：一种求多项式的值的算法。方法是将多项式通过加括号变形，如.这样计算的好处，一是大大减少了乘法的次数，二是每次计算都是相同的过程将上次的结果乘以x再加下一个系数，这样很容易用计算机来实现。注意计算时若有系数为0的项要补上该项（二）统计一、抽样方法 1.简单随机抽样适用范围：总体容量N较小，且没有明显的个体差异.2.系统抽样的适用范围：总体容量较大，且没有明显的个体差异.3.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样(2)抽取数量的计算：各层抽取的数量之比，等于各层的数量之比.如各层分别有300，200，400个个体，则从各层中抽取的个体数量之比为300200400，即324.(3)适用范围：总体容量N较大，且个体差异明显(有明显的层次).二、用样本估计总体1.用样本频率分布估计总体频率分布(1)频率分布直方图的做法求极差：即最大数与最小数的差；决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程(试题中一般有规定)；数据分组：计算各小组的频数和频率，列出频率分布表；画频率分布直方图：图中纵轴表示频率/组距，各小矩形的面积=频率.(2)茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便。2.用样本的数字特征估计总体(1)众数：出现次数最多的数.若用频率分布直方图来估计众数，则可用最高矩形的横坐标的中点表示.众数可能不只一个.中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数.若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数.平均数：的平均数为:(2)标准差：的标准差为标准差的平方叫方差，用表示.标准差(或方差)越小，说明数据波动越小，越稳定；标准差越大说明数据越分散，越不稳定. 三、变量间的相关关系线性相关与最小二乘法回归直线：叫做回归中心，回归直线必定经过回归中心.（三）概率一、随机事件的概率1.概率的相关概念(1)事件；(2)频数与频率；(3)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率.(4)事件的关系与运算:对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件(或称事件A包含于事件B)，记作BA(或AB).若BA，且AB，那么称事件A与事件B相等，记作A=B.若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件或(和事件)，记作AB(或AB)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作AB(或AB).若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生2.概率的性质:(1)0P(A)1.(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)若A，B互斥，则有P(AB)=P(A)+P(B).(4)若A，B对立，则P(B)=1-P(A).注：概率为1的不一定是必然事件，概率为0的不一定是不可能事件.二、古典概型1.基本事件：任何两个基本事件都是互斥的；任何一个事件都可以表示成基本事件的 和 .2.古典概型：满足以下两个条件的概率模型：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等3.古典概型概率公式：P(A)= 三、几何概型1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2.几何概型概率计算：P(A)=必修四（一） 角的概念1.任意角(1)终边相同的角：所有与终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S=|=+k360，kZ.(2)终边在坐标轴上的角：k360，90+k360，180+k360，270+k360的终边分别在x轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、y轴负半轴上，是特殊的角，起着非常重要的作用.2.弧度制(1)定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(2)计算：如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角弧度数的绝对值是 |=.其中，的正负由角的终边的旋转方向决定.注意：弧长公式：l=|r.扇形面积公式：=.(3)换算:360=2, 180=1=rad0.01745rad1rad=57.30(4)一些特殊角的弧度数及函数值度:0,30,45,60,90,120,135,150,180,270,360.弧度：0，.要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值.3.三角函数的定义（1）初中直角三角形中的定义；（2）单位圆定义：（3）坐标法定义：设是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点，令，则，4. 三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值5.三角函数线：设任意角的终边与单位圆交于点.过点作轴的垂线，垂足为.过点作单位圆的切线，设它与的终边或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于点，则有：，.（二）诱导公式及同角关系式1.同角三角函数的基本关系式：平方关系： 商数关系：.2.诱导公式：取正弦取余弦取正切sincostan- sin- costan- sincos- tansin- cos- tancossincotcos-sin- cot记忆口诀：前四组：函数名不变，符号看象限.后两组：函数名改变，符号看象限（或：正变余，余变正，符号象限定）.三角函数的诱导公式综合：，口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（三）三角函数性质1.五点法作图的原理：在确定正弦函数在上图象的形状时，起关键作用的五个点是，余弦的是.2.作正切函数的图象关键是三点两线，即三点是，两线是.3.三角函数的图象和性质：4.三角函数的奇偶性函数的定义域是否为关于原点对称的点集是判断函数奇偶性的必要条件，必须优先考虑，然后再进行化简判断.5.五点法作函数的图象分别令取，求出相应的值与值，然后描点，再用光滑的曲线连结，即可得到一个周期的图象，通过左右平移，就得到在上的图象.6.的物理意义：叫振幅，决定图象最高（低）点的位置；叫相位，叫初相，影响图象的零值点；影响其周期，.通常情况下，可正可负，也可为.7.由的图象可有两条途径得到的图象： 先相位变换，再周期和振幅变换；先周期或振幅变换，再相位变换，此时横坐标的平移量为个单位.（四）三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式(如上知识结构).2.辅助角公式：，其中，.3.注意拼角、拆角的技巧：如，是的半角，是的二倍角等.4.注意公式的“三用”：正用，逆用，变形用.等（五）平面向量的概念1.向量的基本概念（1）既有大小又有方向的量叫做向量.(2)向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作，的模为.(3)长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量（4）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量规定：零向量与任一向量平行长度相等且方向相同的向量叫做相等向量2.平面向量的线性运算(1)加法 ：定义：已知非零向量a、，在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和，记作求两个向量和的运算，叫做向量的加法上述方法称为向量加法的三角形法则平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作，则对角线就是与的和这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则对于零向量与任一向量，规定：性质 ； （）（）(2)减法与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作零向量的相反向量仍是零向量任一向量与其相反向量的和是零向量，即（）（）定义:（），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量已知,在平面内任取一点，作,则,即可以表