平面向量教案

51平面向量的概念与运算一、要点回顾（一）主要知识：1向量的概念及向量的表示； 2向量的加法、减法与实数乘向量概念与运算律；3两向量共线定理与平面向量基本定理（二）主要方法：1充分理解向量的概念和向量的表示； 2数形结合的方法的应用；3用基底向量表示任一向量唯一性；4向量的特例和单位向量，要考虑周全二典例讲练（一）基础题1若向量与 互为相反向量，则下列等式中成立的是（ C ）A B C D2已知+，+其中、不共线，是、实数，则、共线的充要条件是（ D ）A+ B C+ D3 下列命题中，正确的命题是（ D ）A且 B或 C若则 D若与 不平行，则4 已知向量，且则一定共线的是（ ）A 、B、D B A、B、C C B、C、D D A、C、D5O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足（ ）A外心B内心C重心D垂心（二）能力题6给出下列命题： 若|，则=； 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/，其中正确的序号是 解：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此， 正确 =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故 不正确当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑=这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是 点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想7梯形ABCD中，AB/CD，M、N分别是、的中点，且=k，设=e1，=e2，以e1，e2为基底表示向量、(i) A(ii) B(iii) C(iv) D(v) M(vi) N解：=e2，=k，=k=ke2+=0，=-=-+=e1+(k-1)e2+=0，=-，=，MABCL(vii) N8如图，已知点L、M、N分别是ABC的边BC、CA、AB上的点，且=l，=m，=n若+=0，求证：l=m=n解：设=a，=b为基底，得=-a-b，=la，=mb，=+=(l-1)a-b，=+=a+mb，=+=-na+(1-n)b，由+=0，得(l-n)a+(m-n)b=0l-n=m-n=0，故l=m=n注：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，m、nR，那么me1+ne2=0的充要条件是m=n=0（三）备用题DACEBP9 已知ABC的面积为14cm2，D、E分别是AB、BC上的点，且AD:DB=BE:EC=2:1，设AE和CD相交于点P，求APB的面积解：设=a，=b为基底，则=a+b，=a+b，点A、P、E和D、P、C分别共线，存在实数m、n，使=m=ma+mb，=n=na+nb，又=+=(+n)a+nb，解得，SAPB=14=8 (cm2)注：解本题的关键是利用向量共线的充要条件确定P点的位置10设O是坐标原点，A、B、C是坐标平面上三个不同的点，若=a，=b，=c，求证：A、B、C三点共线的充要条件是存在三个都不为零的实数l、m、n，使得la+mb+nc=0，且l+m+n=0证明：(1)先证充分性l+m+n=0，l=-(m+n)，又la+mb+nc=0，-(m+n)a+mb+nc=0，即m(b-a)=n(a-c)m=nm0，=故与共线，从而A、B、C三点共线(2)再证必要性A、B、C三点共线，存在非零实数k，使得=k，即b-a=k(c-b)整理得a+(-k-1)b+kc=01+(-k-1)+k=0，且k0，k-1(否则A、C两点重合，与已知矛盾)，存在三个都不为零的实数l=1，m=-k-1，n=k，使得la+mb+nc=0，且l+m+n=011设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0解：原方程可化为：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0 =+ 三、反思小结：四、巩固提高一、选择题（第题6分，共30分）1 已知是平行四边形，O为平面上任意一点，设，则有( B )A B C D2在中，已知，则 （ A ）A B C D3 下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；零向量不可为基底中的向量 其中正确的说法是：（ B ）A，；B，；C，；D，4 若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于Ab+aBba Ca+bDab解析：=+=+=ba答案：B5 若，且，则四边形是（ B ）A平行四边形 B等腰梯形 C菱形 D不等腰梯形二、填空题（每题5分，共20分）6 向量，则的最大值和最小值分别是_ 20与4 _7设是不共线的向量，与共线，则实数的值是_ _8 给出下列命题：（1）共线向量是平行向量； （2）平行向量是共线向量；（3）相等向量是平行向量； （4）平行向量是相等向量； （5）共线向量是相等向量其中真命题是_（1）（2）（3）_（填上所有真命题的序号）9 是任意向量，给出：|=|，方向相反，都是单位向量，其中 是共线的充分不必要条件三、解答题（20+20+10，共50分）10 （1）设两个非零向量、不共线，如果,求证：三点共线（2）设、是两个不共线的向量，已知,若三点共线，求的值（1）证明：因为所以又因为得，即，又因为公共点所以三点共线；（2）解：，因为共线所以设，所以 即；11 经过重心的直线与分别交于点，设，求的值解：设，则，由共线，得存在实数，使得，即从而，消去得：12 如图，在OAB中，AB上有一点P（点P不与点A、B重合），设求证： 并且证明：，又点P在AB上，又，52平面向量的坐标运算一、要点回顾（一）主要知识：1平面向量坐标的概念； 2用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等；3会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹问题（二）主要方法：1建立坐标系解决问题（数形结合）； 2向量位置关系与平面几何量位置关系的区别；3认清向量的方向求坐标值得注意的问题；二典例讲练（一）基础题1若向量,则 （ B ）A B C D2设四点坐标依次是，则四边形为（ D ）A正方形 B矩形 C菱形 D平行四边形3下列各组向量，共线的是 （ D ）A BC D4 已知，=，若与反向，则等于( B ) A(-4,10) B(4,-10) C (-1 , ) D(1, )5 在三角形中，已知，点在中线上，且，则点的坐标是 ( B )A B C D（二）能力题6已知向量，且，求实数的值解：因为，所以，又因为所以，即解得7平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求解：（1）由题意得所以，得（2）（3）由题意得得或8已知点及,试问:（1）当为何值时,在轴上? 在轴上? 在第三象限?（2）四边形是否能成为平行四边形?若能,则求出的值若不能,说明理由解：（1），则若在轴上，则，所以；若在轴上，则，所以；若在第三象限，则，所以（2）因为若是平行四边形，则所以此方程组无解；故四边形不可能是平行四边形（三）备用题9已知平行四边形中，点的坐标分别是，点在椭圆上移动，求点的轨迹方程10 已知向量与的对应关系用表示（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；（2）设，求向量及的坐标；求使，（p，q为常数）的向量的坐标解：（1）设，则，故，（2）由已知得=（1，1），=（0，1）（3）设=（x，y），则，y=p，x=2pq，即=（2Pq，p）三、反思小结：四、巩固提高一、选择题（第题6分，共30分）1 三点共线的充要条件是 （ C ）A B C D2 以下选项中，不是单位向量的有（B ） a=(cos,-sin) ；b=() ；c=() ；d=(1-x,x) A1个 B2个 C3个 D4个3 以下命题错误的是（B ） A若i、j分别是x轴、y轴同向的单位向量，则|i+j|=|i-j| B若ab,a=(xx,y1),b=(x2,y2) ，则必有 C零向量的坐标表示为（0，0） D一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标4 与向量a=(-5,4) 平行的向量是（A ） A(-5k,4k) B(-) C(-10,2) D(5k,4k) 5 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足，其中a、bR，且a+b=1，则点C的轨迹方程为( D )A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0二、填空题（每题5分，共20分）6 已知点,且有,则 (9,-18)7已知点和向量=,若=3,则点B的坐标为 (5,14) 8设,且有,则锐角 9 若向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等，其中A(1,2),B(3,2) ，则x=_-1_三、解答题（20+20+10，共50分）10 已知A（-1，2），B（2，8），= ，=-，求点C、D和向量的坐标分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量,， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之解：设C、D的坐标为（x1,y1）、（x2,y2 ），由题意得=（x1+1,y1-2）， =（3，6） =（-1-x2,2-y2）， = （-3，-6） 又=， =- （x1+1，y1-2）=（3，6）， （-1-x2，2-y2）=-（-3，-6） 即(x1+1,y1-2)=(1,2)，(-1-x2,2-y2)=(1,2) x1+1=1 且y1-2=2 ，-1-x2=1且2-y2=2 x1=0 且y1=4 ，x2=-2且y2=0 点C、D和向量的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高11 已知A(x，1)、B(2x，2)、C(1，2x)、D(5，3x)，当x为何值时，向量与共线且方向相同，此时A、B、C、D是否在同一直线上？解：=(x，1)，=(4，x)/，x2-4=0，x=2当x=2时，=(2，1)，=(4，2)，=2；当x=-2时，=(-2，1)，=(4，-2)，=-2；故当x=2时，向量与共线且方向相同这时=(1，4)，易知与不共线，故A、B、C、D不共线注：要注意向量共线与线段共线的区别12 在平行四边形ABCD中，A(1,1)，=(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P(1)若=(3,5)，求点C的坐标；(2)当=时，求点P的轨迹解：(1)=+=(9,5)，而A(1,1)，C(10,6)(2)设P(x,y)，则=-=(x-7,y-1)，OxyABCDNPM=+=+3=+3=3-=(3x-9,3y-3)=，平行四边形ABCD为菱形，即(3x-9,3y-3)(x-7,y-1)=0，即(x-5)2+(y-1)2=4又易知P点不能在直线AB上，y1故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点53平面向量的数量积一、要点回顾（一）主要知识：（1） 平面向量的数量积的定义 向量，的夹角：已知两个非零向量，过O点作，则AOB=（001800）叫做向量，的夹角当且仅当两个非零向量同方向时，=00，当且仅当反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 垂直；如果的夹角为900则称垂直，记作 的数量积：两个非零向量，它们的夹角为，则叫做称的数量积（或内积），记作，即=规定=0 非零向量 当且仅当时，=900，这时=0在方向上的投影：（注意是射影）所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积（2） 平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有：当同向时，；当反向时，特别地，(3)平面向量数量积的运算律交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0但是乘法公式成立： ；等等（3） 平面向量数量积的坐标表示 若=(x1,y1),=(x2,y2)则=x1x2+y1y2 若=(x,y),则|=x2+y2, 若A(x1,y1),B(x2,y2),则 若=(x1,y1),=(x2,y2)则（呢） 若=(x1,y1),=(x2,y2)则（二）主要方法：1注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2垂直的充要条件的应用；3当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决 5、特别提示：数量积不满足结合律二典例讲练（一）基础题1在ABC中，有命题=；=；若()()=0，则ABC是等腰三角形；若0，则ABC为锐角三角形上述命题正确的是（ C ）A B C D2已知平面上直线l的方向向量=(，)，点O(0，0)和A(1，2)在l上的射影分别是O和A，则=l，其中l= （ D ）ABC2D23 11在直角坐标平面上，向量=(4, 1)、=(2, -3)在直线l上的射影长度相等，则直线的斜率为( D )A B- C2或- D3或-4已知非零向量=a，=b，若点B关于所在直线的对称点为B1，则向量为( A )A B2a-b C D连BB1交所在直线于C，则=，再由2=+可知选A5已知非零向量a、b满足(3a-b)a，(4a-b)b，则a与b的夹角为 ( A )A B C D（二）能力题6在直角三角形ABC中，=(2，3)，=(1，k)，求实数k的值解：对三角形ABC的直角顶点进行讨论(1)当A=90时，=0，21+3k=0，得k=-；(2)当B=90时，=-=(-1，k-3)，=0，2(-1)+3(k-3)=0，得k=；(3)当C=90时，=0，-1+k(k-3)=0，得k=故实数k的值为-、或 7已知向量a=(cosa,sina)，b=(cosb,sinb)，且a、b满足关系式|ka+b|=|a-kb|，(k0)(1)用k表示a、b的数量积；(2)求ab的最小值及此时a、b的夹角q解：(1)|ka+b|=|a-kb|，(ka+b)2=3(a-kb)2，k2a2+b2+2kab=3a2-6kab+3k2b2|a|=|b|=1，ab=(2)k0，ab=，当且仅当k=1时，ab的最小值为，此时cosq=，q=8已知平面上三个向量、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120，（1）求证：；（2）若，求的取值范围解：（1） ，且、之间的夹角均为120， （2） ，即 也就是 ， 所以 或（三）备用题9已知平面向量a=(,-1)，b=(,)，(1)证明：a b；(2)若存在不同时为零的实数k和g，使x=a+(g2-3)b，y=-ka+gb，且xy，试求函数关系式k=f(g)；(3)椐(2)的结论，讨论关于g的方程f(g)-k=0的解的情况(1)ab=+(-1)=0，ab(2)xy，xy=0，即(a+(g2-3)b)(-ka+gb)=0整理，得-ka2+g-k(g2-3)ab+g(g2-3)b2=0ab=0，a2=4，b2=1，上式化为-4k+g(g2-3)=0，k=g(g2-3)(3)讨论方程g(g2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线y=g(g2-3)与直线y=k的交点个数f(g)=(g2-1)=(g-1)(g+1)，令f(g)=0，解得g1=-1，g2=1，当g变化时，f (g)、f(g)的变化情况如下表：g(-，-1)-1(-1，1)1(1， )f(g)+0-0+f(g)极大值极小值O12-2-1-1-212yg当g=-1时，f(g)有极大值，f(g)极大值=，当g=1时，f(g)有极小值，f(g)极小值=-，而f(g)=g(g2-3)=0时，得g=-，0，可得f(g)的大致图象(如右图)于是当k或k-时，直线与曲线有且仅有一个交点，则方程有一解；当k=或k=-时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0时，直线与曲线有三个交点，但k、g不同时为零，故此时也有二解；当-k0或0k时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解10 已知实数m满足1，a=(2m, -2)，b=(2, )，设f (m)=ab(1)求f (m)的取值范围；(2)当m=时，求a与b的夹角00 B当tan0时,0,点P在线段AB上,且(0t1),则的最大值是 三、解答题（20+20+10，共50分）10 设两个向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围 解：e12=4，e22=1，e1e2=21cos60=1，(2te1+7e2)(e1+te2)=2te12+(2t2+7)e2e2+7te22=2t2+15t+7，2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，2t2+15t+70，-7t-，设2te1+7e2=l(e1+te2)(l0)，得，解之得，t=-，l=-t=-时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为pt的取值范围是(-7，-)U(-，-)注：本例应注意排除夹角为平角时t的值11 设=（1+cos，sin），=（1-cos，sin），=（1，0）（0，），（，2），与的夹角为1，与的夹角为2，且1-2=，求sin的值解：（0，），（0，），=（1，0），=（1+cos，sin）=2cos（cos，sin）1=（，2），0-,- -0,-0, , =（1-cos，sin）=2sin(sin,cos)=2sin(cos,sin),2=,1-2=-sin=sin(-)=思维点拨本题的关键是角的范围限制12 已知、是两个非零向量，求证：当(+x)时，|+x|最小要使最小，即要使(+x)2最小(+x)2=2+x22+2x，三项均为实数，且2=20，可看作关于x的二次函数，当x=亦即+x2=0, (a+x)=0，也就是(a+x)时有最小值54线段的定比分点及平移一、要点回顾（一）主要知识：1、 线段的定比分点（1）定义设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点P分有向线段所成的比当点P在线段上时，；当点P在线段或的延长线上时，0时，x=h因此抛物线在x轴上截得的弦长2又平移后抛物线的顶点为(h，k)，2k=1(k0)，得k=1将k=1代入k=h2，可求得h=1存在满足已知条件的平移向量a=(1，1)，或a=(-1，1)当a=(1，1)时，平移后抛物线的解析式为y=-x2+2x；当a=(-1，1)时，平移后抛物线的解析式为y=-x2-2x8已知关于x的一次函数y=ax+b的图象C按向量p =（1，2）平移后，得到的图象仍然是C，问这样的一次函数是否唯一？若唯一，求出该函数的解析式；若不唯一，说明这类函数的表达式的共同特征提示：用待定系数法可解得a=2，b可取任意实数，即这样的一次函数不唯一，其共同特征是一次项系数为2，常数项可以是任意实数（三）备用题9将函数 的图象，按向量a平移后得到的函数图象关于原点对称这样的向量是否唯一？若唯一，求出向量a；若不唯一，求a模的最小值分析 正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一就本题而言，平移后的函数解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin（2x），y=2sin（2x）等等因此，向量a不唯一要求a的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于a的目标函数解 向量a不唯一平移后的图象对应解析式可以为y=2sin（2xk）， kZ考察原函数表达式，可令 （kZ）即 ， a=（，1）， ( kZ)，| a |（kZ） 当k=2 时，a取最小值，最小值为 点评 常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力10 设A（1，1），B（5，5），且P在直线AB上，若=，=，P点是否可能落在线段AB的延长线上 ？若能，求出P点坐标；若不能；说明理由分析 由= 知，要使P落在线段AB的延长线上，只需（0，1）为此，我们设法将两个已知向量等式转化成关于的方程，解出，检验（0，1）是否成立解 =（5，5）（1，1）=（4，4），设P（x，y），则=2 （4，4）=2（5x，5y）=（x1，y1）， 且依据两个方程组的第一个方程，消去x，得52（4）=4，即21=0， =数形结合知，在=时，要P落在线段AB的延长线上，则需（0，1），所求两个的值均不符合题意，故P不可能落在AB延长线上三、反思小结：四、巩固提高一、选择题（第题6分，共30分）1 ABC的两个顶点为A（3，7）和B（2，5）若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ A ）A（2，7）B（7，2）C（3，5）D（5，3）2若直线平移得到直线（ D ）A只能是（3，0）B只能是（0，6）C只能是（3，0）或（0，6） D有无数个3平移曲线，使曲线上的点（1，1）变为（2，3），则这时的曲线方程（ B ）ABCD4在ABC中，已知A（2，3），B（8，4），G（2，1）