量子力学7

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第二章 波函数和薛定谔方程2-7 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化所谓自由粒子是在运动过程中不受外力作用的粒子，即位势。一、自由粒子波函数的规格化1一维情况对于质量为的一维的自由粒子，它所满足的定态薛定谔方程为 （1）实际上，上述方程就是动能算符的本征方程。（1）式的两个特解分别为 （2）其中 （3）通解为上述两个特解的线性组合 （4）其中，和为任意复常数。下面利用波函数所满足的条件来定解。首先，讨论的情况。由于，所以为虚数，若令则（2）可改写为 式中为正实数。 当时，不能满足波函数有限性的要求，而当时，不能满足波函数有限性的要求，所以，和都不是描述一维自由粒子运动的定态波函数。显然，在通解中也找不出满足波函数自然条件的解，故方程无的解。在物理上，不存在的解是容易理解的，这是因为自由粒子不存在势能项，它的能量就是动能，而动能是不能小于零，故能量小于零时无解。其次，讨论的情况。当时，为正的实数，（2）式即为两个特解。若的取值范围选为从负无穷到正无穷，则上面两式可以统一写成 （5）式中，是归一化常数，为实数，也可以将其视为量子数，它可以在正负无穷之间连续取值，是本征波函数。由（3）式可知，相应的能量本征值为 （6）显然，表示动量。当 时，表示粒子向右运动；当时，表示粒子向左运动。由于可以连续取值，所以，能量本征值也是连续的，称之为体系具有连续能谱。当时，自由粒子处于能量最低的状态，称之为基态，而把其它的状态称为激发态。对于激发态来说，与对应同一个能量本征值，或者说，同一个能量本征值对应两个不同的本征波函数，即能量本征值是二度简并的。一维自由粒子的能量本征值是连续取值的，（5）所表示的波函数是无限扩展的平面波。所谓自由粒子也是一种理想的模型，实际上，一个粒子是不可能绝对不受到外力作用的，只要它受到哪怕再小的的作用，它就不是完全自由的，也就不可能对应无限扩展的平面波，而成为有限扩展的平面波，所以，无限扩展的平面波也是一种理想化的结果。鉴于上述原因，无限扩展的平面波是不能归一化的。从数学角度看，（5）式给出的不是平方可积的波函数，无法使用归一化条件。由狄拉克函数的定义可知，积分 （7）通常情况下，要对无限扩展的平面波进行所谓的规格化，也就是将其规格化为函数。于是，得到规格化常数 （8）规格化后的波函数为 （9）若用动量做为量子数，则有 （10）容易验证（10）式也是动量算符的本征函数。2三维情况利用自由粒子一维定态问题的解，容易求出其三维问题的解。在直角坐标系中，自由粒子的三维定态薛定格方程可以写成 （11）上式有分离变量解， （12）将其代回（11）式，可得如下三个方程：由（6）式可知能量本征值为 （13）相应的规格化本征函数为 （14）其中若用动量表示，能量本征值和相应的本征波函数分别为 （15） （16）二、本征函数的箱归一化1一维情况若限定粒子在的范围内运动，则它的波函数是归一化的。当的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。在上述限制下，粒子是不可能处于箱外的，故箱外的波函数为零。在箱内，设粒子动量或动能算符的本征函数仍为作自由运动的粒子出现在箱的两端处的概率应该是相同的，即此即所谓周期性条件。于是，有由于所以得到 于是动量的取值是断续的，即 （17）能量的本征值也是断续的，即 （18）通常把力学量本征值取断续值称为取值量子化。由上式可知，随着箱尺度的增大，能级的间距变小，当时，能级的间距趋向于零，或者说能级变成连续的，这正与自由粒子能量本征值是连续的相吻合。 利用归一化条件可知归一化常数为于是，在箱内的箱归一化的波函数为 （19） 从自由粒子规格化的能量本征函数（10）式可以看出，当时，其本征函数不为零，或者说，在无穷远处发现该粒子的几率不为零，把这种状态称为非束缚态。由自由粒子箱归一化的能量本征函数（19）式可知，粒子被限制在箱内运动，故其出现在无穷远处（箱外）的概率为零，把这种状态称为束缚态。一般说来，连续谱对应非束缚态，而断续谱对应束缚态。 2三维情况对于三维问题而言，相当于粒子被限制在一个边长为的正方形箱子中运动，这时的波函数也是可以归一化的，此即自由粒子波函数的箱归一化。容易解得，此时的能量本征值与相应的本征波函数分别为 （20） （21）其中，且 （22） （23）综上所述，自由粒子的能量本征值是连续取值的，相应的本征态为非束缚态。作一维运动时，激发态能量本征值是二度简并的，且本征波函数只能规格化为函数。其位置的概率密度与时间、空间坐标无关，在无穷远处发现粒子的概率不为零，意味着粒子可以在无穷远处出现。自由粒子的哈密顿算符与其动能算符一样，所以，动能算符的本征值及波函数与哈密顿算符的解是一样的。后面将看到，它们的本征波函数也是动量算符的本征波函数。若自由粒子被限制在一个边长为的方形箱中，则其能量本征值是断续取值的，相应的本征态为束缚态。由于粒子被限制在一定的区域内运动，严格地说，这时的“自由粒子”已经不是完全自由的，所以能量本征值从连续取值变为断续取值，此即所谓的量子限域效应。小 结一