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文档简介

2019/3/26,1,P166 习题6.2 1(1)(5). 2(2). 3(1)(3). 4(4)(5). 5(1). 复习：P158166,作业,预习：P168174,2019/3/26,2,第十六讲 定积分（一）,二、定积分的概念,三、可积性条件与可积类,一、两个典型例子,四、定积分的基本性质,2019/3/26,3,例1 曲边形的面积问题,一、两个典型例子,曲边梯形,2019/3/26,4,(1) 细分:,(2) 取近似：,2019/3/26,5,(4) 取极限:,(3)求和:,2019/3/26,6,例2 变速直线运动的路程问题,细分：,(4) 取极限:,以匀速近似变速,(2)取近似：,(3)求和：,2019/3/26,7,二、定积分的概念,（一）黎曼积分定义：,2019/3/26,8,记作:,积分上限,积分下限,称为积分区间,定积分是 : 积分和式的极限,例1曲边梯形的面积,例2变速直线运动的路程,2019/3/26,9,（二）定积分的几何意义,2019/3/26,10,证,2019/3/26,11,证,2019/3/26,12,定理1：,三、可积性条件与可积函数类,证明思路：反证法。假设 f(x) 在a,b上无界， 则至少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾.,定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。,2019/3/26,13,定理3：,定理4：,定理2：,2019/3/26,14,四、定积分的基本性质,定积分是一种极限，因此其性质与极限 性质密切相关,性质一： 线性性质,性质二：关于区间的可加性,2019/3/26,15,注意1 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、 下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即,注意2 定积分的定义中，下限a小于上限b，否则， 做如下规定:,关于区间可加性的推广,2019/3/26,16,性质三：积分的不等式性质,（证明：利用极限的保序性质）,性质四：积分的保号性,2019/3/26,17,性质五：积分的不等式性质,注意,性质六：积分的估值性质,2019/3/26,18,性质七：积分中值定理,性质八：广义积分中值定理,2019/3/26,19,平均高度,函数平均值,2019/3/26,20,证,由假设条件，可以证明,2019/3/26,21,2019/3/26,22,例1,2019/3/26,23,线性,可加性,证,2019/3/26,24,解,2019/3
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