电子科大电磁场与波第二章答案.pdf

2.3 电荷 q 均匀分布在半径为 a 的导体球面上，当导体球以角速度绕通过球心的 z 轴 旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。 解解 导体球上的面电荷密度为 2 4 S q a = 球面上任一点的位置矢量为，当导体球以角速度 ra =re绕通过球心的 z 轴旋转时，该 点的线速度为 sin zra a =vreee 则得导体球面上的面电流密度为 sin 4 SS q a =Jve 42 33 00 4 9 U dx = 2.6 平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为，阴极板位于 x=0 处，阳极板位于 x=d 处，极间电压为；如果 0 U 0 40V,1cmUd=，横截面，求： （1）x=0 至 x=d 区域内的总电荷量； （2）x=d/2 至 x=d 区域的总电荷量。 2 10cms = 1 4 32 3 100 0 4 d() d 9 d V qVU dxS x= =解解 （1） 11 00 4 4.72 10C 3 U S d = 2 4 32 3 200 2 4 d() d 9 d Vd qVU dxS x= =（2） 11 00 3 41 (1)0.97 10C 32 U S d = 1 0.3qc= 2 0.5qc=位于点 A(25,-30,15)cm；点电荷2.7 在真空中，点电荷位于点 B(-10,8,12)cm。求： （1）坐标原点处的电场强度； （2）点 P(15,20,50)cm 处的电场强度。 解解 （1）源点的位置矢量及其大小分别为 222 11 222 22 253015cm,25301541.83cm 10812 cm,1081217.55cm xyz xyz =+=+= = +=+= reeer reeer 而场点 O 的位置矢量，故坐标原点处的电场强度为 0 0=r ()() 12 001 33 0 0102 1 4 qq 02 =+ Errrr rrrr () () 6 2 3 2 0 10.3 10 25301510 4 41.83 10 xyz =+ eee+ () () 6 2 3 2 0.5 10 1081210 17.55 10 xyz eee 92.3777.6294.37KV/m xyz =eee 21 （2）场点 P 的位置矢量为 152050 cm Pxyz =+reee 故 1 2 105035 251238 Pxy Pxyz = + =+ rreee rreee z 则 () 6 2 3 0 1 10.3 10 10503510 4 pxyz P =+ Eeee rr + () 6 2 3 2 0.5 10 25123810 xyz P += eee rr 11.940.54912.4KV/m xyz +eee l 2.9 无限长线电荷通过点（6，8，0）且平行于 z 轴，线电荷密度为；试求点 P(x,y,z) 处的电场强度 E。 解解 线电荷沿 z 方向为无限长，故电场分布与 z 无关。设点 P 位于 z=0 平面上，如题 2.9 图所示，线电荷与点 P 的距离矢量为 ()() ()() ()( ()() ) 22 22 68 68 68 68 xy xy R xy xy xy xy =+ =+ + = + Ree R ee R e R 根据高斯定律得点 P 处的电场强度为 ()() ()() 22 000 68 222 68 xy lll R xy xy + = + ee R Ee RRR 12ll 、 3l 2.11 三根长度均为 L、线电荷密度分别为和的线电荷构成一个等边三角形， 设 12 22 ll3l =，试求三角形中心的电场强度。 解解 根据题意建立题 2.11 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 3 tan30 26 L dL= ? 直接利用有限长直线电荷的电场强度公式 1 12 0 (coscos) 4 l r E r = 得 11 1 00 3 (cos30cos150 ) 42 ll yy dL =Eee ? 21 2 00 33 (cos30sin30 )(3) 28 ll xyxy LL =+=+Eeeee ? 31 3 00 33 (cos30sin30 )(3) 28 ll xyxy LL =Eeeee ? 2l 1 l 3l y o 1 E 3 x E 2 E 题 2.11图 22 故等边三角形中心处的电场强度为 123 =+=EEEE 111 3 8 l 000 33 (3)(3) 28 ll yxyxy LLL +eeeee= 1 0 3 4 l y L e 2.13 自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点(0,0,-4)处的平面上， 位于点(0,0,1)处的平面上，位于点(0,0,4)处的平面上。试求以 下各点的 E： （1） 2 1 3nC/m S = 2 2 6nC/m S = 2 3 8nC/m S = () 1 2,5, 5P() 2 2,4,5P () 3 1, 5,2P ； （2）； （3）。 解解 无限大的均匀面电荷产生的电场为均匀场，利用前面的结果得 12 （1） 3 0 S 1 00 222 z SS zz = =Eeee() 9 0 1 36810 2 z +=e 9 12 1 1056.49 V/m 2 8.85 10 zz = ee 12 （2） 3 0 2 00 222 SS zzz S =+Eeee=() 9 0 1 3681056.49 V/m 2 zz +=ee （3） 123 0 S 3 00 222 SS zzz =+=Eeee() 9 0 1 36810960.5 V/m 2 zz e +=e ( )r2.15 半径为 a 的球形体积内充满密度为的体电荷。 若已知球形体积内外的电位移分 布为 () 32 54 2 ,0 , r rr r rArr D aAa ra r + 54 2 22 1 d() ( )0 d aAa rr rrr + = 2.16 一个半径为 a 的导体球带电荷量为 q ,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时（如 题 2.16 图所示） ，试求球心处的磁感应强度 B 2 4 S q a =解解 导体球面上的面电荷密度为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转 时，球面上位置矢量点处的电流面密度为 ra =re SSSSzra =Jv ree= sinsin 4 S q a a =ee ddla=的细圆环，则球面上任一个宽度为ddla=将球面划分为无数个宽度为细圆 23 环的电流为 ddsin 4 S q IJld = 该细圆环的半径为bacosda=sin=，细圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线 上任一点的磁场公式，可得到该细圆环电流在球心处产生的磁场为 2 0 22 3 2 d d 2() z bI bd = + Be 23 0 22223 2 sind 8 (sincos) z qa aa = + e 3 0 sind 8 z q a e 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3 00 0 sin dd 86 zz qq aa = BBee 2.18 一条扁平的直导体带，宽度为 2a，中心线与 z 轴重合，通过的电流为 I。试证明在第 一象限内任一点 P 的磁感应强度为 0 4 x I B a = 02 1 ln 4 y Ir B ar = 式中的、r和如图 2.18 图所示。 2 r 1 dd 2 I Ix a = x d解解 将导体带划分为无数个宽度为的细条带， 每一细条带的电流。 根据 安培环路定理，可得到位于处的细条带的电流d在点处的磁场为 I x 000 22 1 2 ddd d 244( IIxIx RaRa xx )y = + Beee 故 0 22 d ddsin 4() x Iyx BB a xxy = = + 0 22 ()d ddcos 4() y I xxx BB a xxy = + 式中的 ？如题 2.18 图（附）所示，则得 0 22 d 4() a x a Iyx B a xxy = = + y 2 r 1 r ),(yxP 0 arctan 4 a a Ixx ay = 0 arctanarctan 4 Iaxax ayy = 0 arctanarctan 4 Ixaxa ayy + = 0 21 () 4 I a = 0 4 I a 0 22 ()d 4() a y a I xxx B a xxy = + 22 0 ln() 8 a a I xxy a += aa I x dB R 1 2 题 2.18 图（附） x 24 22 0 22 () ln 8() Ixay axay + = + 02 1 ln 4 Ir ar 2.21 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求出其源量 J。 （1） （圆柱坐标系） 0 ,a =HeBH () 0 , xy ayax=+=HeeBH （2） 0 , xy axay=HeeBH （3） 0 ,ar =HeBH （球坐标系） （4） 0=Bi解解 根据静态磁场的基本性质，只有满足的矢量函数才可能是磁场的场矢量， 对于磁场矢量，则可由方程求出源分布。 J =H （1）在圆柱坐标中 2 0 0 1 ()()2Baa 0 = iB a =He 不是磁场的场矢量。 可见矢量 （2） 在直角坐标系中 ()()0ayax xy =+= iB () x ayax=+ y Hee是磁场矢量，其源分布为 故矢量 2 0 xyz z a xyz ayax eee JHe = ()()0axay xy B =+= （3） xy axay=Hee 是磁场矢量，其源分布为 故矢量 0 0 xyz xyz axay eee JH = （4） 在球坐标系中 11 ()0 sinsin B ar rr B = ar =He 是磁场的场矢量，其源分布为 故矢量 2 2 sin 1 cot2 sin 00sin r r rr aa rr ar = eee JHee 2.22 通过电流密度为 J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如 题 2.22 图所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。 25 解解 将题给的非对称电流分布分解为两个对称电流分布的叠加：一个是电流密度均匀 分布在半径为 b 的圆柱内，另一个是电流密度 J J均匀分布在半径为 a 的圆柱内。原有的空腔 被看作是同时存在和两种电流密度。 这样就可以利用安培环路定律分别求出两种对称电 流分布的磁场，再进行叠加即可得到解答。 JJ 0 d C I= Bli ? ， 先求出均匀分布在半径为 b 的圆柱内的产生的磁场为 J由安培环路定律 0 2 0 2 2 2 bb b b b b b b b J B J 题 2.22 图 a J b o a o a b d b J同样，均匀分布再半径为 a 的圆柱内的产生的磁场为 0 2 0 2 2 2 aa a a a a a a a J B J a b 分别是点和到场点的位置矢量。 a o b o P这里和 将和叠加，可得到空间各区域的磁场为 a B b B 22 0 22 2 b ba ba = BJ a () b b 圆柱外： 2 0 2 2 ba a a = BJ(, ba ba) 圆柱内的空腔外： () 00 22 ba =BJJd() a a0 的区域（媒质 1）内的电场强度 2 = () 8 20cos 2 102.58V/m y tz=Ee s 试计算 t=6ns 时： （1）点 P(2,0,0.3)处的面电荷密度； （2）点 P 处的 H； （3）点 P 处的面电 流密度。 S J () 8 0 0 20 5cos 2 102.58 Snyy y tz = =iie De e= 解解 （1） () 1289 20 5 8.85 10cos 2 106 102.58 0.3 = 92 80.6 10C/m t = H E得 （2）由 () () 8 0 8 0 111 20cos 2 102.58 3 1 20 2.58sin 2 102.