2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式学案.docx

一二维形式的柯西不等式1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它们的几何意义2会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值二维形式的柯西不等式1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)|acbd|(当且仅当adbc时，等号成立)()(2)(ab)(cd)()2(a，b，c，dR，当且仅当adbc时，等号成立)()(3)|ac|bd|(当且仅当|ad|bc|时，等号成立)()(4)在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以是.()(5)设，是两个向量，则|中等号成立的条件是存在实数k，使k.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2设a(2，)，|b|6，则ab的最小值为()A18B6C18 D12解析：选C.因为|ab|a|b|，所以|ab|18，所以18ab18，ab的最小值为18，故选C.3设a，bR，若a2b25，则a2b的最大值为()A BC5 D5解析：选C.由柯西不等式得(a2b2)(1222)(a2b)2，所以(a2b)25525，当且仅当2ab时，等号成立所以(a2b)max5.4设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_解析：根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.答案：利用柯西不等式求最值学生用书P40(1)求f(x)2的最大值(2)若3x4y2，求x2y2的最小值【解】(1)因为f(x)213.当且仅当，即x0时取等号，故f(x)2的最大值是3.(2)因为3x4y2，所以x2y2(x2y2)(3242)(3x4y)2，当且仅当时，即时“”成立所以x2y2的最小值为.利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一1.若a2b21，x2y21，求axby的最小值解：因为a2b21，x2y21，由柯西不等式(a2b2)(x2y2)(axby)2，得1(axby)2，所以axby的最小值为1.2已知2x2y21，求2xy的最大值解：2xyx1y.当且仅当xy时取等号所以2xy的最大值为.利用柯西不等式的代数形式证明不等式学生用书P41已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1a2b2)()(a1a2)2.【证明】(a1b1a2b2)()()2()2()2()2()2(a1a2)2.当且仅当b1b2时，等号成立利用柯西不等式的代数形式证明不等式的方法利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法，才能找到突破口已知a，b都是正实数，且ab2，求证：(12a)(1b)9.证明：因为a，b都是正实数，所以由柯西不等式可知(12a)(1b)12()212()2(1)2，当且仅当a1，b2时取等号因为ab2，所以(1)29，所以(12a)(1b)9.柯西不等式向量形式的应用学生用书P41(1)已知为锐角，a，bR，求证：(ab)2.(2)已知x，求函数f(x)3cos x4的最大值，并说明等号成立的条件【解】(1)设m，n(cos ，sin )，则|ab|mn|m|n|，所以(ab)2.(2)设m(3，4)，n(cos x，)，则根据柯西不等式的向量形式可得：f(x)3cos x45.当且仅当mn时上式取等号，34cos x0，而且x，解得sin x.所以当sin x时，f(x)3cos x4取最大值为5.应用二维形式柯西不等式向量形式求最值及证明不等式的技巧在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量，通常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式一侧的形式，再利用柯西不等式的向量形式求解或证明.已知a，bR，且ab1，求证：(axby)2ax2by2.证明：设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n|，所以(axby)2ax2by2.1理解并记忆三种形式取“”的条件(1)代数形式中当且仅当adbc时取等号(2)向量形式中当k或0时取等号(3)三角形式中当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号2“二维”的含义“二维”是对向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横坐标与纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系3二维形式的柯西不等式的变式(1)|acbd|.(2)|ac|bd|.(3)acbd.1已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，若y1，y2，求证：y1y2x1x