高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学案.docx

17.1定积分在几何中的应用17.2定积分在物理中的应用1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功2将实际问题抽象为定积分的数学模型，然后应用定积分的性质来求解1定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在a，b上是连续函数，由直线y0，xa，xb与曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)0Sf(x)dx续表f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)g(x)，那么直线xa，xb与曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积为Sf(x)g(x)dx2定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为WFs；而若是变力所做的功，W等于其力函数F(x)在位移区间a，b上的定积分，即WF(x)dx1由一条曲线yf(x)和直线xa，xb，y0(ba)所围图形的面积(1)如图所示，f(x)0，f(x)dx0，所以所求面积Sf(x)dx.(2)如图所示，f(x)0，f(x)dxa)所围图形的面积(1)如图所示，f(x)g(x)0，所以所求面积Sf(x)g(x)dx.(2)如图所示，f(x)0，g(x)0，所以所求面积Sf(x)dx|g(x)dx|f(x)g(x)dx.(3)如图所示，所求面积SS1S2f(x)g(x)dxg(x)f(x)dx|f(x)g(x)|dx. 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当f(x)0时，f(x)与xa，xb(a0，则运动物体的路程为sv(t)dt；若v(t)0，则运动物体的路程为s|v(t)|dtv(t)dt.(2)若已知做直线运动物体的速度时间图象，可以先求出速度时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和(3)注意路程与位移的区别 1.一质点运动的速度与时间的关系为v(t)t2t2，质点做直线运动，则它在t1，2内的位移为_解析：由定积分的意义知，质点在t1，2内的位移为(t2t2)dt|.答案：2.一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，求该物体在6 s间的运动路程解：v(t)由变速直线运动的路程公式，得sv(t)dt2tdt2dtdtt22t|(m)探究点4利用定积分求变力做功问题一物体在变力F(x)(N)作用下沿坐标平面内x轴正方向由x8(m)处运动到x18(m)处，求力F(x)所做的功【解】如图，阴影部分的面积即F(x)所做的功因为Wdx36x1(36181)(3681)(2).所以F(x)所做的功为 J.求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式WF(x)dx计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳 1.一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向从x1运动到x3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A8 JB10 JC12 J D14 J解析：选D.由变力做功公式，得到W(4x1)dx(2x2x)|14(J)故应选D.2设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)由题意，得F(x)kx，且当x0.05 m时，F(0.05)100 N，即0.05k100，所以k2 000.所以F(x)2 000x.所以使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功为W2 000xdx1 000x222.5(J)1如图所示，阴影部分的面积是()A2B22C. D.解析：选C.S(3x22x)dx|9，故应选C.2一物体在力F(x)3x22x5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x5 m运动到x10 m，则F(x)做的功为()A925 J B850 JC825 J D800 J解析：选C.依题意F(x)做的功是WF(x)dx(3x22x5)dx(x3x25x)825(J)3一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为_解析：由速度时间曲线得v(t)所以汽车在1分钟内行驶的路程为3tdtdtt2150750900 m.答案：900 m4如图所示，曲线y与直线y2x，yx所围成的图形的面积为_解析：由得交点坐标分别为(1，1)，(0，0)，(3，1)，所以Sdxdxdxdx|.答案： 知识结构深化拓展三种“y型”区域面积的求法“y型”区域面积的求法常见的有以下三种：(1)由一条曲线yf(x)(其中x0)与直线ya，yb(ab)以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由yf(x)得xh(y)，再利用Sh(y)dy求出(如图)(2)由一条曲线yf(x)(其中x0)与直线ya，yb(ab)以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由yf(x)得xh(y)，再利用S|h(y)dy|h(y)dy求出(如图)(3)由两条曲线yf(x)，yg(x)与直线ya，yb(a0)，则p，所以y，所以S2dx2x|.答案：8如图，已知点A，点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若阴影部分面积与OAP面积相等，则x0_解析：由题意得x2dxx0，即xx0，解得x0.答案：9求由抛物线y28x(y0)与直线xy60及y0所围成图形的面积解：法一：由解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为Adx(6x)dx2x|2(3618)(122).法二：由解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为Ady|24843.10A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(241.2t) m/s，在B站恰好停车，试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离解：(1)设A到C的时间为t1s，则1.2t124，解得t120.则AC1.2tdt0.6t2|240(m)即A，C间的距离为240 m.(2)设D到B的时间为t2 s，则241.2t20，解得t220，则BD(241.2t)dt(24t0.6t2)|240(m)即B，D间的距离为240 m.B能力提升11如图，求由曲线yx2，4yx2及直线y1所围图形的面积为()A. B.C. D.解析：选B.由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍法一：由得C(1，1)同理得D(2，1)则所求图形的面积S222.法二：同法一得C(1，1)，D(2，1)则所求图形的面积为S2(2)dy2dy2(y)|.12过原点的直线l与抛物线yx22ax(a0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为_解析：设直线l的方程为ykx，由得交点坐标为(0，0)，(2ak，2akk2)，图形面积Skx(x22ax)dx|a3，所以ka，所以直线l的方程为yax.答案：yax13求正弦曲线ysin x与余弦曲线ycos x与直线x，x围成的图形的面积解：如图，画出ysin x与ycos x在上的图象，它们共有三个交点，分别为，.在上，cos xsin x，在上，sin xcos x，所以所求的面积S (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx2 (sin xcos x)dx2(sin xcos x) 4.14(选做题)如图，设点P在曲线yx2上，从原点向A(2，4)移动，记直线OP与曲线yx2所围成的图形的面积为S1，直线OP、直线x2与曲线yx2所围成的图形的面积为S2.(1)当S1S2时，求点P的坐标；(2)当S1S2有最小值时，求点P的坐标和最小