湘潭大学2016年硕士研究生数学分析高等代数考试大纲及参考书目.doc

湘潭大学2016年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲科目代码科目名称考 试 大 纲 高等代数适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。重点考核学生对高等代数的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下：1多项式：数域的概念，一元多项式的概念和运算性质，整除的概念和常用性质，带余除法，辗转相除法，最大公因式的概念和性质，不可约多项式的概念和性质，因式分解及唯一性定理，标准分解式的概念，重因式的概念、性质及一多项式有无重因式的判别方法，多项式函数的概念、性质及根，代数基本定理，复系数与实系数多项式的因式分解定理，有理系数多项式、整系数多项式和本原多项式的概念、性质及相互关系，整系数多项式的有理根的求法，Eisenstein判别法。2行列式：n级排列的概念和性质，n级行列式的概念、性质及计算方法，矩阵的概念及其初等变换，行列式按一行（列）展开，代数余子式，范德蒙行列式，克兰姆（Cramer）法则及应用。3线性方程组：消元法，n维向量空间的概念和运算性质，线性相（无）关性的概念和性质，矩阵的k级子式，矩阵的秩的概念、性质及与行列式的关系，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。4矩阵：矩阵的概念与运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆的概念、性质及求法，矩阵分块的概念和分块矩阵的运算，初等矩阵及与矩阵的初等变换的关系，分块乘法的初等变换及应用。5二次型：二次型的矩阵表示，矩阵的合同关系，对称矩阵的概念和性质，用非退化线性变换化二次型为标准形，实、复二次型的规范型，惯性定理与惯性指数，正定、半正定二次型的概念、性质及判别方法。 6线性空间：集合、映射的定义与运算性质，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标的概念和性质，基变换与坐标变换，线性子空间的概念和性质，子空间的交与和的概念及性质，子空间的直和的定义及判别准则，线性空间的同构，同构映射的概念和性质。7线性变换：线性变换的定义、运算及其简单性质，线性变换的矩阵及其性质，矩阵的相似关系的定义及其性质，特征多项式、特征值与特征向量的定义、性质及计算，线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的条件（即矩阵相似于对角矩阵的条件），线性变换的值域与核的概念及性质，不变子空间的概念，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，若当（Jordan）标准形的概念及应用，最小多项式的概念和性质及求法。8-矩阵：-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换，-矩阵在初等变换下的标准形，行列式因子、不变因子和初等因子的定义、性质及求法，矩阵相似的条件，复矩阵若当（Jordan）标准形的计算。9欧几里得空间：欧几里得空间（含内积）的定义与基本性质，欧几里得空间中基的度量矩阵，正交向量组、正交基、标准正交基的定义、基本性质及相互关系，施密特正交化方法，欧几里得空间的同构，正交变换、正交矩阵的定义和性质，子空间的正交关系，对称变换、实对称矩阵的性质及其标准形的求法，酉空间的概念和性质。科目代码科目名称考 试 大 纲 数学分析适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。重点考核学生对数学分析的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下：1集合与映射：集合与映射的概念及运算，一元函数的概念，初等函数，复合函数，函数的分段表示，隐式表示，参数表示，函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，三角不等式与均值不等式。2数列的极限： 实数系，最大数与最小数，上确界与下确界的概念，实数系的连续性，数列极限的定义, 数列极限的性质 ，数列极限的四则运算法则， 无穷小量与无穷大量的概念，Stolz定理, 单调有界数列必有极限 ，闭区间套定理 ，Bolzano-Weierstrass定理 ，Cauchy收敛原理。3函数极限与连续函数：函数极限的概念、性质和四则运算法则，函数极限与数列极限的关系，单侧极限，函数极限定义的扩充，连续的概念，连续函数的四则运算法则，不连续点的类型，反函数的连续性，复合函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性定理， 最值定理，介值定理，零点存在定理，一致连续概念，Cantor定理.）。4导数：导数的概念，几何意义，基本初等函数的求导公式，求导的四则运算法则，反函数的导数，复合函数的导数，用参数方程表示的函数的求导法，可导与连续的关系，微分的概念及四则运算法则，复合函数的微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数、高阶微分的概念，高阶导数的运算法则，一些简单函数的高阶导数、高阶微分。5微分中值定理及应用： 罗尔定理、Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，LHospital法则，Taylor公式，一元函数单调性的概念及判别，极值的概念及求法，函数的最值的求法，函数图形的凹凸性和拐点，渐近线的概念及求法，函数图形的描绘。 6不定积分：不定积分的概念，不定积分的基本公式及运算法则，换元法，分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理分式的积分。7定积分：定积分的概念，Darboux大和与Darboux小和的概念，Riemann可积的充分必要条件，可积函数类（ 连续函数，只有有限个间断点的函数，单调有界函数），定积分的基本性质，积分第一中值定理，基本积分不等式，Newton-Leibniz 公式，定积分的换元法与分步积分法，定积分的应用。8反常积分：反常积分收敛和发散的概念，Cauchy收敛原理，比较判别法，Cauchy判别法，积分第二中值定理，Abel判别法，Dirichlet判别法，Cauchy积分主值的概念及计算。9数项级数：数项级数的收敛与发散的概念，级数的基本性质，Cauchy收敛准则，正项级数的收敛原理及判别法（比较判别法，Cauchy判别法，DAlembert判别法，积分判别法），交错级数，Leibniz判别法，绝对收敛与条件收敛概念， Abel变换，Abel判别法，Dirchlet 判别法, 绝对收敛级数的性质。10. 函数项级数: 一致收敛的概念及性质（和函数连续性，逐项求导，逐项求积），一致收敛的判别法（Weiezstzass判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法），Dini定理），幂级数的收敛半径，幂级数的性质（连续性，逐项求导，逐项求积），函数的幂级数展开，用多项式逼近连续函数。11. 欧几里得空间上的极限和连续: 欧几里得空间上的距离与极限，开集、闭集、紧集的概念，欧几里得空间上的基本定理，多元函数极限的概念及性质，累次极限，多元连续函数的概念及性质，紧集上连续函数的性质。12. 多元函数的微分学：偏导数和全微分的概念，可微与可导、可微与连续的关系，高阶偏导数，高阶全微分的概念及计算，多元复合函数求导的链式法则，一阶微分形式的不变性，中值定理与Taylor公式，隐函数的存在性，反函数的存在性，隐函数的导数，空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线，多元函数的极值及其求法，条件极值的概念及求法。13. 重积分：重积分的概念及性质，二重积分的计算（直角坐标，极坐标及一般的坐标变换）及应用，三重积分的计算（三重积分化为累次积分，直角坐标、柱面坐标、球面坐标及一般换元法），反常重积分收敛与发散的概念及判别。14. 曲线积分与曲面积分：第一类曲线积分与第一类曲面积分的概念、性质及计算，第二类曲线积分与第二类曲面积分的概念、性质及计算，Green公式，平面曲线积分与路径无关性，Gauss公式，Stokes公式。15. 含参变量的积分：含参变量的常义积分的概念及性质（连续性，积分号下求导，积分次序的交换），含参变量反常积分一致收敛的概念及性质（连续性，积分号下求导数，积分次序的交换），一致收敛判别法，B函数，函数，Stirling公式。16. Fourier级数：函数的Fourier级数展开，Fourier级数的收敛判别法，Fourier级数的分析性质与逼近性质。参考书目数学院指定参考书： 1、高等代数第三版，王萼芳，石生明，北京大学编，高等教育出版社 2、数学分析上下册第二版，陈纪修，於崇华，金路，高等教育出版社 3、西方经济学 微观经济学现代观点，范里安著，上海人民出版社、上海三联书店。 宏观经济学，多恩布什等箸，中国财政经济出版社。 4、统计学（第四或六版）（21世纪统计学系列教材；“十一五”国家级规划教材），贾俊平 等编著，2009年11月，中国人民 大学出版社 其它参考资料 1、历年真题及答案详解2004-2015，所有试题均有详细解答，含讲义笔记。有需要者可联系师兄求秋：一五八 九六二四 七一七 2、数学分析解题精粹，钱吉林主编 3、