实变函数 电子课件第四章 第二节 可测函数的收敛性_第1页
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第二节 可测函数的收敛性,第四章 可测函数,函数列的几种收敛定义,一致收敛:,注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制,点点收敛: 记作,例：函数列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛,fn(x)=xn,几乎处处收敛: 记作 (almost everywhere）,即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛,即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,几乎一致收敛:记作 (almost uniformly),依测度收敛: 记作,注：从定义可看出， 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外） 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何,不依测度收敛,依测度收敛,几种收敛的区别,说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1,（1）处处收敛但不依测度收敛,在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外fn不几乎一致收敛于1,fn不几乎一致收敛于f,几乎一致收敛:记作 (almost uniformly),即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛,任意 （ ）,适当小,小,fn不几乎一致收敛于f,即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛,（2）依测度收敛但处处不收敛,依测度收敛但处处不收敛, 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；,例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛,收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）,三种收敛的联系,即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） 设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）,引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,证明：由于 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限
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