2018_2019学年高中数学一导数及其应用学案新人教A版.docx

一导数及其应用1.导数的运算及几何意义（1）函数f（x）在xx0处的导数f（x0） ，f（x） .（2）导数的几何意义：曲线yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线斜率等于f（x0），其切线方程为yf（x0）f（x0）（xx0）.（3）函数的求导公式：（C）0，（xn）nxn1，（sin x）cos x，（cos x）sin x，（ax）axln a，（ex）ex，（logax），（ln x）.（4）导数的四则运算法则：f（x）g（x）f（x）g（x），f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x），（g（x）0）.2.函数的单调性、极值与导数（1）函数的单调性与导数在某个区间（a，b）内，如果f（x）0，那么函数yf（x）在这个区间内单调递增，如果f（x）0，那么函数yf（x）在这个区间内单调递减.（2）函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f（a）f（x），当x0，当xa时，f（x）0，则点a叫做函数的极大值点，f（a）叫做函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f（a）f（x），当xa时，f（x）a时，f（x）0，则点a叫做函数的极小值点，f（a）叫做函数的极小值.3.定积分（1）微积分基本定理一般地，如果f（x）是区间a，b上的连续函数，并且F（x）f（x），那么f（x）dxF（b）F（a）.（2）定积分的性质kf（x）dxkf（x）dx（k为常数）；f1（x）f2（x）dxf1（x）dxf2（x）dx；f（x）dxf（x）dxf（x）dx （其中ac0（f（x）0），当x（0，1）时，f（x）0，故函数f（x）在区间（0，1）上单调递增；当x（1，）时，f（x）0），因为函数f（x）在区间1，2上为单调函数，所以在区间1，2上，f（x）0或f（x）0恒成立，即4x0或4x0在x1，2时恒成立，即4x或4x（1x2），即或，其中1x2.令h（x）4x（1x2），易知函数h（x）在1，2上单调递增，故h（1）h（x）h（2）.所以h（2）或h（1），即42或413，解得a0或0a或a1.故a的取值范围为（，0）1，）.函数的单调性与导数的关注点（1）关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.（2）已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.（3）分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.（4）求参数的范围时常用到分离参数法. 1.若函数f（x）x2ax在区间上是增函数，则a的取值范围是（）A.1，0 B.1，）C.0，3 D.3，）解析：选D.f（x）2xa.因为函数在区间上是增函数，所以f（x）0在区间上恒成立，即a2x在区间上恒成立.设g（x）2x，则g（x）2.令g（x）20，得x1.当x时，g（x）0，故g（x）0，得x2，由f（x）0，得1x0），g（x）x3bx.（1）若曲线yf（x）与曲线yg（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；（2）当a3，b9时，若函数f（x）g（x）在区间k，2上的最大值为28，求k的取值范围.解：（1）因为f（x）ax21，所以f（x）2ax，所以f（1）2a.又f（1）ca1，所以f（x）在点（1，c）处的切线方程为yc2a（x1），即y2axa10.因为g（x）x3bx，所以g（x）3x2b，所以g（1）3b.又g（1）1bc，所以g（x）在点（1，c）处的切线方程为y（1b）（3b）（x1），即y（3b）x20.依题意知3b2a，且a11b，即a3，b3.（2）记h（x）f（x）g（x）.当a3，b9时，h（x）x33x29x1，h（x）3x26x9.令h（x）0，得x13，x21.h（x）与h（x）在（，2上的变化情况如下：x（，3）3（3，1）1（1，2）2h（x）00h（x）2843由此可知：当k3时，函数h（x）在区间k，2上的最大值为h（3）28；当3k0，得x2，所以函数f（x）的增区间为（，2），（2，）.（2）f（4），f（2），f（2），f（3）1，则当x4，3时，f（x）的最大值为，故要使f（x）m2m对x4，3恒成立，只要m2m，解得m2或m3.所以实数m的取值范围是（，32，）.一些求参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题，利用f（x）a恒成立f（x）maxa恒成立f（x）mina的思想解题.存在或有解问题，如f（x）f（x）min和f（x）a有解af（x）max成立. 设函数f（x）2axln x，若f（x）在x1，x处取得极值.（1）求a，b的值；（2）在上存在x0使得不等式f（x0）c0成立，求c的取值范围.解：（1）因为f（x）2axln x，所以f（x）2a.因为f（x）在x1，x处取得极值，所以f（1）0，f0.即解得所以所求a，b的值分别为，.（2）在上存在x0使得不等式f（x0）c0成立，只需cf（x）min，由f（x）.所以当x时，f（x）0，f（x）是增函数；所以f是f（x）在上的最小值.而flnln 2，所以cln 2.所以c的取值范围为.主题5定积分及其应用（1）e|x|dx的值等于（）A.e2e2 B.2e2C.2e22 D.e2e22（2）由曲线xy1，直线yx，x3所围成的封闭图形的面积为（）A.ln 3 B.4ln 3C. D.【解析】（1）e|x|dx2exdx2ex|2e22.（2）由曲线xy1，直线yx，解得x1.由xy1，x3可得交点坐标为.由曲线xy1，直线yx，x3所围成的封闭图形的面积Sdx|4ln 3.【答案】（1）C（2）B由定积分求曲边梯形面积的方法步骤（1）画出函数的图象，明确平面图形的形状.（2）通过解方程组，求出曲线交点的坐标.（3）确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算.（4）对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和. 1.|x21|dx（）A. B.4C. D.解析：选A.|x21|dx（1x2）dx1.2.直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2 B.4C.2 D.4解析：选D.直线y4x与曲线yx3在第一象限所围成的封闭图形如图所示.由4xx3解得x0或x2（x2舍去）.故S（4xx3）dx844. A基础达标 1.若曲线f（x）x42x在点P处的切线垂直于直线x2y10，则点P的坐标为（）A.（1，1） B.（1，1）C.（1，1） D.（1，1）解析：选B.因为f（x）4x32，设P（x0，y0），由题意得f（x0）4x22，所以x01，y01.故P点坐标为（1，1）.2.（2017高考浙江卷）函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf（x）的图象可能是（）解析：选D.原函数先减再增，再减再增，且x0位于增区间内，故选D.3.对任意的xR，函数f（x）x3ax27ax不存在极值点的充要条件是（）A.0a21 B.a0或a7C.a0或a21 D.a0或a21解析：选A.f（x）3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f（x）0恒成立，函数f（x）不存在极值点.4.若函数f（x）kxln x在区间（1，）上单调递增，则k的取值范围是（）A.（，2 B.（，1C.2，） D.1，）解析：选D.由于f（x）k，f（x）kxln x在区间（1，）上单调递增f（x）k0在（1，）上恒成立.由于k，而00，则必有（）A.f（0）f（2）2f（1）B.f（0）f（2）1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x1时，f（x）f（1），f（2）f（1），得f（0）f（2）2f（1）.6.已知函数f（x）ln（ax1），x0，其中a0，若f（1）0，则a的值是.解析：f（x）ln（ax1），所以f（1）0.所以a1.答案：17.已知直线ykx是曲线yln x的切线，则k的值为.解析：设切点为（x0，y0），因为y（ln x），所以k，即x0，y0kx01，所以1ln ，所以k.答案：8.如图所示的是一个做直线运动的质点的vt图象，则质点在前6 s内的位移为米.解析：v（t）所以所求位移sv（t）dttdtdtt2639（m）.答案：99.已知函数f（x），且f（x）的图象在x1处与直线y2相切.（1）求函数f（x）的解析式；（2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.解：（1）对函数f（x）求导，得f（x）.因为f（x）的图象在x1处与直线y2相切.所以即所以a4，b1，所以f（x）.（2）因为f（x），所以直线l的斜率kf（x0）4，令t，t（0，1，则k4（2t2t）8，所以k.10.设函数f（x）ln xln（2x）ax（a0）.（1）当a1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1上的最大值为，求a的值.解：函数f（x）的定义域为（0，2），f（x）a.（1）当a1时，f（x），所以当x（0，）时，f（x）0，当x（，2）时，f（x）0，即f（x）在（0，1上单调递增.故f（x）在（0，1上的最大值为f（1）a，因此a.B能力提升11.若f（x）x22f（x）dx，则f（x）dx（）A.1 B.C. D.1解析：选B.因为f（x）x22f（x）dx，所以f（x）dx|2f（x）dx，所以f（x）dx.12.定义在上的函数f（x），其导函数为f（x），若恒有f（x）f B.ff D.f0，cos x0.由f（x）0.不妨设g（x），则g（x）0，所以函数g（x）在上单调递增，所以gg，即，即ff，故选D.13.已知函数f（x）x2mln x，h（x）x2xa.（1）当a0时，f（x）h（x）在（1，）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m2时，若函数k（x）f（x）h（x）在区间1，3上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解：（1）由f（x）h（x）在（1，）上恒成立，得m在（1，）上恒成立，令g（x），则g（x），故g（e）0.易得，当x（1，e）时，g（x）0.故g（x）在（1，e）上单调递减，在（e，）上单调递增.所以当xe时，g（x）取得最小值，为g（e）e，所以me.故实数m的取值范围为（，e.（2）由已知，可得k（x）x2ln xa，函数k（x）在1，3上恰有两个不同的零点，等价于曲线（x）x2ln x，x1，3与直线ya有两个不同的交点.易得（x）1，故（2）0，所以当x1，2）时，（x）0，所以（x）在（2，3上单调递增.又（1）1，（3）32ln 3，（2）22ln 2，且（1）（3）（2）0，所以22ln 2a32ln 3，所以实数a的取值范围为（22ln 2，32ln 3.14.（选做题）设函数f（x）xeaxbx，曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y（e1）x4.（1）求a，b的值；（2）求f（x）的单调区间.解：（1）因为f（x）xeaxbx，