高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件学案.docx

121充分条件与必要条件122充要条件1理解充分条件、必要条件与充要条件的意义2结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件(1)若pq，则p是q的充分条件所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的“有之必成立，无之未必不成立”(2)若pq，则q是p的必要条件所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可有之未必成立，无之必不成立2充要条件如果既有pq，又有qp，则可以记作pq，这时称p是q的充分必要条件，简称充要条件p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)“x0”是“(2x1)x0”的充分不必要条件()(2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()(4)q不是p的必要条件时，“pq”成立()答案：(1)(2)(3)(4) “x0”是“x0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：A 已知向量a(x1，2)，b(2，1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0答案：D “log3Mlog3N”是“MN”成立的_条件答案：充分不必要探究点1充分、必要、充要条件的判断下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x1或x2，q：x1；(2)p：m0，q：x2xm0有实根；(3) p：在ABC中，A60，q：sin A；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形【解】(1)因为x1或x2x1，x1x1或x2，所以p是q的充要条件(2)因为m0方程x2xm0的判别式14m0，即方程有实根，方程x2xm0有实根，即14m0m0，所以p是q的充分不必要条件(3)因为在ABC中，A60sin A(A120时，sin A)，在ABC中，sin AA60，所以p是q的必要不充分条件(4)因为所以p是q的既不充分也不必要条件充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若pq，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，qp，则p是q的必要不充分条件；若pq，qp，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件(2)集合法对于集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，具体情况如下：若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件 (3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x2x20，q：|x2|1；(3)p：ABC有三个内角相等，q：ABC是正三角形；(4)p：|ab|ab，q：ab0解：(1)因为pq，qp，所以p是q的充分不必要条件(2)|x2|11x211x3；x2x20x2或x1由于(1，3)(，2)(1，)，所以“x2x20”是“|x2|1”的必要不充分条件(3)因为pq，qp，即pq，所以p是q的充要条件(4)因为ab0时，|ab|ab，所以“|ab|ab”“ab0”，即pq而当ab0时，有|ab|ab，即qp所以p是q的必要不充分条件探究点2充分条件、必要条件、充要条件的应用已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【解】p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或，解得m3又m0，所以实数m的取值范围为m|0m31变条件若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围解：p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB所以或解不等式组得m9或m9，所以m9，即实数m的取值范围是m92变问法本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由解：因为p：2x10，q：1mx1m(m0)若p是q的充要条件，则，m不存在故不存在实数m，使得p是q的充要条件由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解 1已知p：4xa4，q：(x2)(x3)0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为_解析：化简p：a4xa4，q：2x3，由于q是p的充分条件，故有解得：1a6答案：1，62若p：x2x60是q：ax10的必要不充分条件，则实数a的值为_解析：p：x2x60，即x2或x3q：ax10，当a0时，方程无解；当a0时，x由题意知pq，qp，故a0舍去；当a0时，应有2或3，解得a或a综上可知，a或a答案：或探究点3充要条件的证明求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0【证明】充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)因为ac0，所以方程一定有两不等实根设两根为x1，x2，则x1x20，所以方程的两根异号即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)因为方程ax2bxc0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0综上可知：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论 (2018福建泉州永春一中期中考试)已知数列an的前n项和为Sn(n1)2c，探究数列an是等差数列的充要条件解：当an是等差数列时，因为Sn(n1)2c，所以当n2时，Sn1n2c，所以anSnSn12n1，所以an1an2为常数又a1S14c，所以a2a15(4c)1c因为an是等差数列，所以a2a12，所以1c2，所以c1反之，当c1时，Snn22n，可得an2n1(nN*)，所以an为等差数列，所以an为等差数列的充要条件是c11“tan 1”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若tan 1，则k(kZ)，对应集合A，而对应集合B显然B是A的真子集，所以“tan 1”是“”的必要不充分条件2(2017高考北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为m，n是非零向量，所以mn|m|n|cosm，n0的充要条件是cosm，n0因为0，则由mn可知m，n的方向相反，m，n180，所以cosm，n0，所以“存在负数，使得mn”可推得“mn0”；而由“mn0”，可推得“cosm，n0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，从而不一定推得“存在负数，使得mn”综上所述，“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件，故选A3设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选D若ab0，取a3，b2，则ab0不成立；反之，若ab0，取a2，b3，则ab0也不成立，因此“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件4函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1解析：选A当m2时，f(x)x22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2 知识结构深化拓展1充分条件、必要条件、充要条件的传递性(1)若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即pq，qs，则有ps，即p是s的充分条件(2)若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即qp，sq，则有sp，即p是s的必要条件(3)若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即pq，qs，则有ps，即p是s的充要条件2证明充分、必要条件时需注意的两点(1)分别证明充分性和必要性两个方面，在解题时要避免把充分性当必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若从条件推出结论，就是充分性；若从结论推出条件，就是必要性(2)等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步推出结论(或条件)，但要注意每一步都是可逆的，即反过来也能推出学生用书P89(单独成册)A基础达标1已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为A1，a，B1，2，3，若a3，则A1，3，所以AB，所以a3AB；若AB，则a2或a3，所以ABa3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件2设p：x3，q：1x3，则p是q成立的()A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选C因为(1，3)(，3)，所以p是q成立的必要不充分条件3(2018福建泉州高考数学模拟)“a1”是“直线ax3y30与直线x(a2)y10平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C由两直线平行，可得，解得a1；当a1时，两直线的方程分别为x3y30和x3y10，可知两直线平行故“a1”是“直线ax3y30与直线x(a2)y10平行”的充要条件4(2018浙江宁波十校联考)已知a，b是实数，则“|ab|a|b|”是“ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B因为|ab|a|b|a22abb2a22|ab|b2|ab|abab0，而由ab0不能推出ab0，由ab0能推出ab0，所以由|ab|a|b|不能推出ab0，由ab0能推出|ab|a|b|，故选B5设a、b都是非零向量下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|解析：选C对于A，当ab时，；对于B，当ab时，与可能不相等；对于C，当a2b时，；对于D，当ab且|a|b|时，可能有ab，此时综上所述，使成立的充分条件是a2b6从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空(1)“x210”是“|x|10”的_；(2)“x5”是“x3”的_解析：(1)设Ax|x2101，1，Bx|x|101，1，所以AB，即“x210”是“|x|10”的充要条件(2)设Ax|x5，Bx|x3，因为AB，所以“x5”是“x3”的必要不充分条件答案：(1)充要条件(2)必要不充分条件7“函数f(x)x22ax3在区间1，)上是增函数”是“a2”的_条件解析：因为函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为xa，所以当f(x)在1，)上为增函数时，a1，而a1a2，a0，所以正确；中，当mn时，mn不一定成立，所以不正确；中，当ab时，a3b3一定成立，但a3b3也一定能推出ab，即“a3b3”是“ab”的充要条件，所以不正确；中，当ab时，有AB，所以“ab”是“AB”的充分条件，所以不正确答案：9下列各题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？(1)p：c0，q：抛物线yax2bxc(a0)过原点；(2)p：x1且y1，q：xy2且xy1；(3)p：0x3，q：|x1|2解：(1)c0抛物线yax2bxc(a0)过原点；抛物线yax2bxc(a0)过原点c0故p是q的充要条件，q是p的充要条件(2)x1且y1xy2且xy1；而xy2且xy1x1且y1故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件(3)0x3|x1|2，|x1|21x30x3故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件10已知p：x22x30，若ax1b恒成立的实数b的取值范围解：由于p：x22x301x3，ax1a1ax0)依题意，得x|1x3x|1ax0)，所以解得a2，则使ab恒成立的实数b的取值范围是b2，即(，2B能力提升11(2018成都高二检测)下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3解析：选A由ab1b，从而ab1ab；反之，如a4，b35，则4354351，故abab1，故A正确12设p：x1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：因为q：axa1，p是q的充分不必要条件，所以或解得0a答案：13求关于x的方程ax22x10至少有一个负的实数根的关于a的充要条件解：当a0时，x符合题意当a0时，令f(x)ax22x1，由于f(0)10，当a0时，0，若44a0，则a1，即0a1时，f(x)有两个负实数根当a0时，因为f(0)1，44a0恒成立，所以方程恒有负实数根综上所述，a1为所求14(选做题)已知命题p：Ay|yx2x1，x，q：Bx|xm|1，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围解：先化简集合A，由yx2x1，配方，得y因为x，所以y所以A由|xm|1，解得xm1或xm1所以Bx|xm1或xm1因为命题p是命题q的充分条件，所以AB所以m1或m12，解得m或m3故实数m的取值范围是3，)命题与充要条件(强化练)学生用书P91(单独成册)一、选择题1下列命题是假命题的是()A若ab0(a0，b0)，则abB若|a|b|，则abC若ac2bc2，则abD若60，则cos 解析：选B因为|a|b|只能说明a与b的模相等，所以ab不一定成立，故选B2(2018江西临川一中高二(下)期末考试)命题“若x，y都是奇数，则xy也是奇数”的逆否命题是()A若xy是奇数，则x，y不都是奇数B若xy是奇数，则x，y都不是奇数C若xy不是奇数，则x，y不都是奇数D若xy不是奇数，则x，y都不是奇数解析：选C由于“x，y都是奇数”的否定表达是“x，y不都是奇数”，“xy是奇数”的否定表达是“xy不是奇数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是奇数，则x，y不都是奇数”，故选C3设向量a(2，x1)，b(x1，4)，则“x3”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当ab时，有24(x1)(x1)0，解得x3因为集合3是集合3，3的真子集，故“x3”是“ab”的充分不必要条件故选A4命题“对于正数a，若a1，则lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：选D原命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a0，则a1”是真命题；否命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a0，则a1”是真命题故选D5“a3”是“函数f(x)ax2在区间1，2上存在零点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当a3时，f(1)f(2)(a2)(2a2)0，即函数f(x)ax2在区间1，2上存在零点；但当函数f(x)ax2在区间1，2上存在零点时，不一定是a3，如当a3时，函数f(x)ax23x2在区间1，2上存在零点所以“a3”是“函数f(x)ax2在区间1，2上存在零点”的充分不必要条件，故选A6给出下列三个命题：(1)“若b3，则b29”的逆命题；(2)“若c1，则x22xc0有实根”的逆命题；(3)“若ABA，则AB”的逆否命题其中真命题的个数是()A1 B2C3 D0解析：选A(1)逆命题是“若b29，则b3”，是假命题；(2)逆命题是“若x22xc0有实根，则c1”，因为方程x22xc0有实根，所以44c0，所以c1，所以(2)是真命题；(3)若ABA，则BA，所以“若ABA，则AB”是假命题，所以其逆否命题也是假命题故选A7下面的命题中是真命题的是()Aysin2x的最小正周期为2B若方程ax2bxc0(a0)的两根同号，则0C如果AB，那么ABAD在ABC中，若0，则B为锐角解析：选Bysin2x，T，故A为假命题；若AB，则ABB，故C为假命题；当0时，向量与的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题故选B8(2018四川成都七中段考)若命题“若xm1或xm1，则x22x30”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m的取值范围是()A(1，2) B(0，2C1，1) D0，2解析：选D由已知，易得x|x22x30x|xm1或xm1又x|x22x30x|x1或x3，所以或，所以0m29(2016高考天津卷)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的()A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选C由题意得，ana1qn1(a10)，a2n1a2na1q2n2a1q2n1a1q2n2(1q)若q0，因为1q的符号不确定，所以无法判断a2n1a2n的符号；反之，若a2n1a2n0，即a1q2n2(1q)0，可得q10故“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的必要而不充分条件10设条件p：|x2|3，条件q：0xa，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是()A(0，5 B(0，5)C5，) D(5，)解析：选A由|x2|3，得3x23，即1x5，即p：1x5，因为q：0xa，a为正常数，所以要使p是q的必要不充分条件，则0a5，故选A二、填空题11命题“若x24，则2x2”的逆否命题为_，是_(填“真”或“假”)命题解析：命题“若x24，则2x2”的逆否命题为“若x2或x2，则x24”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题答案：若x2或x2，则x24真12给出下列三个命题：当m0时，函数f(x)mx22x是奇函数；若b2ac，则a，b，c成等比数列；已知x，y是实数，若xy2，则x1或y1其中为真命题的是_(填序号)解析：中，当m0时，f(x)mx22x2x是奇函数，故是真命题；中，取ab0，c1，满足b2ac，但a，b，c不成等比数列，故是假命题；的逆否命题为“已知x，y是实数，若x1且y1，则xy2”是真命题，所以原命题也是真命题，即是真命题答案：13若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则实数a的最大值为_解析：由x21，得x1或x1又“x21”是“xa”的必要不