高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8_1 空间几何体的结构、三视图和直观图课件 文 新人教版

8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.多面体的结构特征 知识梳理 互相平行 平行于底面 全等 公共顶点 相似 2.旋转体的形成 几何体旋转图形旋转轴 圆柱矩形所在的直线 圆锥直角三角形 所在的直线 圆台直角梯形 所在的直线 球半圆 所在的直线 任一边 任一直角边 垂直于底边的腰 直径 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括： 、 、 . (2)三视图的画法 在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的方、 方、 方观察到的几何体的正投影图. 3.空间几何体的三视图 正视图侧视图俯视图 正前 正左正上 空间几何体的直观图常用 画法来画，其规则是 (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹 角为 ，z轴与x轴和y轴所在平面 . (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍；平 行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ；平行于y轴的线段 在直观图中 . 4.空间几何体的直观图 斜二测 垂直 平行于坐标轴 不变 长度变为原来的一半 45或135 1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形. 知识拓展 2.斜二测画法中的“三变”与“三不变” 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) 思考辨析 (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是 棱台.( ) 几何画板展示 几何画板展示 几何画板展示 (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.( ) (6)菱形的直观图仍是菱形.( ) 1.(教材改编)下列说法正确的是 A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 考点自测 答案解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的 平行性不变. 2.(2016天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个 棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何 体的侧视图为 答案解析几何画板展示 由正视图和俯视图可知该几何体的直观 图如图所示，故该几何体的侧视图为选 项B. 3.(教材改编)如图，直观图所表示的平面图形是 答案解析 A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 由直观图中，ACy轴，BCx轴， 还原后原图ACy轴，BCx轴.直观图还原为平面 图形是直角三角形.故选D. 4.(2016广州模拟)已知某几何体的三视图(单 位：cm)如图所示，则该几何体的体积是 _cm3. 答案解析 98 由三视图可知，该几何体是如图所示长方体 去掉一个三棱锥，故几何体的体积是636 35498. 5.一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的 圆，则这个几何体的体积是_. 答案解析 8 题型分类 深度剖析 题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱 为直四棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体； 棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是_.答案解析 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面 都是平行四边形，但不一定全等； 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平 行于侧棱，又垂直于底面； 正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三 棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形； 正确，由棱台的概念可知. 思维升华 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的 结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断； (2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的 几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概 念类的命题进行辨析. 跟踪训练1 (1)以下命题： 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 答案解析 命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥； 命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰； 命题对；命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故 选B. (2)给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的图形是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_. 答案解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错 ； 对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故 错； 对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定， 侧棱垂直于底面，故正确. 综上，命题不正确. 题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体，识别三视图 答案解析 例2 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何 体如图所示，则该几何体的侧视图为 由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形， 故D不正确； 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确； 而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确. 例3 (2016全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三 个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该 几何体的体积是 ，则它的表面积是 命题点2 已知三视图，判断几何体的形状 答案解析 A.17 B.18 C.20 D.28 由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一 个球挖掉它的 得到的(如图所示).设该球的半径 为R，则 R3 ，得R2.所以它的表面 积为422 4223 2217.故 选A. 命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例4 (2016石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如 图所示，则该棱锥的侧视图可能为 答案解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥 ，其中平面ACD平面BCD，故选D. 几何画板展示 思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向 ，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图 ，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形 式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是 否符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图 ，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图. 跟踪训练2 (1)(2016全国丙卷)如图，网格纸上小正 方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图 ，则该多面体的表面积为答案 解析 (2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图 ，则该几何体的侧视图为答案 解析 由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC 投影在面PAD上，故B正确. 几何画板展示 例5 (1)已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图 ABC的面积为 题型三 空间几何体的直观图 答案解析 如图所示的实际图形和直观图， 由可知，ABABa， OC OC a， 在图中作CDAB于D， 则CD OC a. 所以SABC ABCD a a a2.故选D. (2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其 中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是 A.正方形 B.矩形 C.菱形D.一般的平行四边形 答案解析 思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行， 原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图 中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用 平滑的曲线连接而画出. 跟踪训练3 如图是水平放置的某个三角形的直 观图，D是ABC中BC边的中点且 ADy轴，AB，AD，AC三 条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么 A.最长的是AB，最短的是AC B.最长的是AC，最短的是AB C.最长的是AB，最短的是AD D.最长的是AD，最短的是AC 答案解析 ADy轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有ADBC， 又AD为BC边上的中线，所以ABC为等腰三角形.AD为BC边上的高 ，则有AB，AC相等且最长，AD最短. 典例 将正方体(如图1所示)截去两个三棱 锥，得到如图2所示的几何体，则该几何 体的侧视图为 空间几何的三视图 现场纠错系列9 确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的 投影位置，要学会区分三视图中的实虚线. 错解展示现场纠错纠错心得几何画板展示 解析 结合正方体中各顶点投影，侧视图应为一个正 方形，中间两条对角线. 答案 C 返回 解析 侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画 为虚线.由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B. 答案 B 返回 课时作业 1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过 程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲 面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个 扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图1，图2中四 边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图 完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是 答案解析 A.a，b B.a，c C.c，b D.b，d 图2 图1 12345678910 11 当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前 方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线， 故选A. 12345678910 11 12345678910 11 2.(2016全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几 何体的三视图，则该几何体的表面积为 答案解析 A.20 B.24 C.28 D.32 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4，圆锥的母线长l 4，所以圆锥的侧面积为S锥侧 448，圆柱的 侧面积S柱侧4416，所以组合体的表面积S816428 ，故选C. 12345678910 11 3.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 答案解析 A. B. C. D. 由几何体的结构可知，只有圆锥、正四棱锥两个几何体的正视图和侧 视图相同，且不与俯视图相同. 12345678910 11 4.(2015北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长 为 答案解析 12345678910 11 根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示 的四棱锥VABCD，其中VB平面ABCD，且底 面ABCD是边长为1的正方形，VB1.所以四棱 锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD ，在 RtVBD中，VD . 12345678910 11 5.(2016抚顺模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短 路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正 方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 答案解析 A. B. C. D. 由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展 开方式，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，在矩 形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为.若把平面ABCD 和平面CDD1C1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的 中点，此时正视图会是.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有 出现或者已在中，故选D. 12345678910 11 6.如图所示，四边形ABCD是一水平 放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在 斜二测直观图中，四边形ABCD 是一直角梯形，ABCD，AD CD，且BC与y轴平行，若AB6，DC4， AD2，则原平面图形的面积为_. 答案解析 12345678910 11 12345678910 11 7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上 底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正 视图与侧视图的面积的比值为_. 答案解析 1 12345678910 11 8.如图所示，点O为正方体ABCDABCD的 中心，点E为平面BBCC的中心，点F为BC 的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的各个面 上的投影可能是下图中的_(填出所有可能的 序号). 答案解析 空间四边形DOEF在平面DCCD上的投影是，在平面 BCCB上的投影是，在平面ABCD上的投影是，故填. 12345678910 11 12345678910 11 9.某几何体的三视图如图所示. (1)判断该几何体是什么几何体？ 解答 (2)画出该几何体的直