2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教A版.docx

2.3数学归纳法1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立；（2）（归纳递推）假设nk（kn0，kN*）时命题成立，证明当nk1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.1.数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.2.第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1.3.步骤（2）是数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当nk（kn0，kN*）时命题成立”起着已知的作用，证明“当nk1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当nk1时命题也成立.而不能直接将nk1代入归纳假设，此时nk1时命题成立也是假设，命题并没有得证. 判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（）（2）数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.（）（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.（）答案：（1）（2）（3） 用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n2）”时，归纳奠基中n0的取值应为（）A.1 B.2C.3 D.4解析：选C.根据凸n边形至少有3条边，知n3，故n0的取值应为3. 用数学归纳法证明等式123（n3）（nN*）时，第一步验证n1时，左边应取的项是（）A.1 B.12C.123 D.1234答案：D 用数学归纳法证明11）第一步要证明的不等式是，从nk到nk1时，左端增加了项.解析：当n2时，12.当nk时到第2k1项，而当nk1时到第2k11项，所以2k11（2k1）2k12k22k2k2k.答案：122k探究点1用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1427310n（3n1）n（n1）2，其中nN*.【证明】（1）当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立.（2）假设当nk（kN*）时等式成立，即1427310k（3k1）k（k1）2，那么当nk1时，1427310k（3k1）（k1）3（k1）1k（k1）2（k1）3（k1）1（k1）（k24k4）（k1）（k1）12，即当nk1时等式也成立.根据（1）和（2）可知等式对任何nN*都成立.用数学归纳法证明等式的方法 用数学归纳法证明：.证明：（1）当n1时，成立.（2）假设当nk时等式成立即有，那么当nk1时，即当nk1时等式也成立.由（1）（2）可得对于任意的nN*等式都成立.探究点2用数学归纳法证明不等式求证：（n2，nN*）.【证明】（1）当n2时，左边，故左边右边，不等式成立. （2）假设当nk（k2，kN*）时不等式成立，即，则当nk1时，.（*）法一：（分析法）下面证（*）式，即0，只需证（3k2）（3k3）（3k1）（3k3）（3k1）（3k2）3（3k1）（3k2）0，只需证（9k215k6）（9k212k3）（9k29k2）（27k227k6）0，只需证9k50，显然成立.所以当nk1时，不等式也成立.法二：（放缩法）（*）式，所以当nk1时，不等式也成立.由（1）（2）可知，原不等式对一切n2，nN*均成立.用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 用数学归纳法证明：1（n2，nN*）.证明：（1）当n2时，左式，右式1.因为，所以不等式成立.（2）假设nk（k2，kN*）时，不等式成立，即1，则当nk1时，11111，所以当nk1时，不等式也成立.综上所述，对任意n2的正整数，不等式都成立.探究点3归纳猜想证明已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an（nN*）.（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.【证明】（1）因为a11，Snn2an，所以S1a11，当n2时，S2a1a24a2，可得a2，S21；当n3时，S3a1a2a39a3，可得a3，S31；当n4时，S4a1a2a3a416a4，可得a4，S4.猜想Sn.（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.当n1时，结论显然成立.假设当nk（k1，kN*）时结论成立，即Sk，则当nk1时，Sk1（k1）2ak1（k1）2（Sk1Sk），所以（k22k）Sk1（k1）2Sk（k1）2，所以Sk1.故当nk1时结论也成立.由可知，对于任意的nN*，都有Sn.因为Snn2an，所以an.“归纳猜想证明”的一般步骤 已知数列an满足Snan2n1.（1）写出a1，a2，a3，推测an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得结论.解：（1）由Snan2n1，得a1，a2，a3，推测an2（nN*）.（2）证明：an2（nN*）.当n1时，a12，结论成立.假设当nk（k1，kN*）时结论成立，即ak2，那么当nk1时，a1a2akak1ak12（k1）1，因为a1a2ak2k1ak，所以2ak1ak2，所以2ak14，所以ak12，所以当nk1时结论成立.由知对于任意正整数n，结论都成立.规范解答数学归纳法的应用（本题满分12分）给出四个等式：11，14（12），149123，14916（1234），（1）写出第5，6个等式，并猜测第n（nN*）个等式；（2）用数学归纳法证明你猜测的等式.【解】（1）第5个等式：149162512345，（1分）第6个等式：149162536（123456），（2分）第n个等式为：12223242（1）n1n2（4分） 正确猜测此结论,是本题的基础.（2）证明：当n1时，左边121，右边（1）011，左边右边，等式成立.（6分）假设nk（k1，kN*）时，等式成立，即12223242（1）k1k2（1）k1（123k）（1）k1.（7分）则当nk1时，12223242（1）k1k2（1）k（k1）2（1）k1（1）k（k1）2（1）k（k1）（10分） 由nk到nk1是本题难点.)所以nk1时，等式也成立，（11分）根据可知，对nN*等式均成立.（12分）（1）应用数学归纳法时，可按口诀“递推基础不可少，归纳假设要用到，突出形式明依据，总结定论莫忘掉”来检查要点.（2）在数学归纳法应用中，要明确当nk1时，等式两边的式子与nk时等式两边的式子的联系，增加的项为（1）k（k1）2.这样才可正确求解.1.一个关于自然数n的命题，如果证得当n1时命题成立，并在假设当nk（k1且kN*）时命题成立的基础上，证明了当nk2时命题成立，那么综合上述，对于（）A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C.一切正偶数命题成立D.以上都不对解析：选B.本题证明了当n1，3，5，7，时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.A，C，D不正确.2.用数学归纳法证明“”时，由k到k1，不等式左边的变化是（）A.增加一项B.增加和两项C.增加和两项，同时减少一项D.以上结论都不正确解析：选C.当nk时，左边，当nk1时，左边，故不等式左边的变化是增加和两项，同时减少一项.3.求证：1（nN*）.证明：当n1时，左边1，右边，所以不等式成立.假设当nk（k1，kN*）时不等式成立，即1.则当nk1时，12k1.所以当nk1时， 不等式成立.由可知1（nN*）成立. 知识结构深化拓展数学归纳法证题的三个关键点（1）验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.（2）递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.（3）利用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”也成立，在书写f（k1）时，一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是f（k）中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法. A基础达标1.用数学归纳法证明“1aa2an1（a1，nN*）”，在验证n1成立时，左边的项是（）A.1B.1aC.1aa2 D.1aa2a3解析：选C.因为左边式子中a的最高指数是n1，所以当n1时，a的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n1时，左边1aa2.2.用数学归纳法证明n（n1）（n2）（3n2）（2n1）2（nN*）时，若记f（n）n（n1）（n2）（3n2），则f（k1）f（k）等于（）A.3k1 B.3k1C.8k D.9k解析：选C.因为f（k）k（k1）（k2）（3k2），f（k1）（k1）（k2）（3k2）（3k1）3k（3k1），则f（k1）f（k）3k13k3k1k8k.3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是（）A.假设n2k1时正确，再推n2k3时正确（kN*）B.假设n2k1时正确，再推n2k1时正确（kN*）C.假设nk时正确，再推nk1时正确（kN*）D.假设nk（k1）时正确，再推nk2时正确（kN*）解析：选B.nN*且为奇数，由假设n2k1（kN*）时成立推证出n2k1（kN*）时成立，就完成了归纳递推.4.用数学归纳法证明不等式n时，从nk到nk1不等式左边增添的项数是（）A.k B.2k1C.2k D.2k1解析：选C.当nk时，不等式左边为，共有2k1项；当nk1时，不等式左边为，共有2k11项，所以增添的项数为2k12k2k.5.对于不等式 n1（nN*），某同学应用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n1时， 11，不等式成立.（2）假设当nk（kN*）时，不等式成立，即 k1.那么当nk1时，（k1）1，所以当nk1时，不等式也成立.根据（1）和（2），可知对于任何nN*，不等式均成立.则上述证法（）A.过程全部正确B.n1验得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的证明过程不正确解析：选D.此同学从nk到nk1的证明过程中没有应用归纳假设.6.用数学归纳法证明“设f（n）1，则nf（1）f（2）f（n1）nf（n）（nN*，n2）”时，第一步要证的式子是.解析：因为n2，所以n02.观察等式左边最后一项，将n02代入等式，可得2f（1）2f（2）.答案：2f（1）2f（2）7.用数学归纳法证明.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是.解析：观察不等式左边的分母可知，由nk到nk1左边多出了这一项.答案：8.对任意nN*，34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a.解析：当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5；当a3且n2时，31035不能被14整除，故a5.答案：59.证明：1（nN*）.证明：当n1时，左边1，右边，等式成立.假设当nk（kN*且k1）时等式成立.即1.则当nk1时，左边1，所以当nk1时等式也成立，由知，对一切nN*等式都成立.10.已知数列an中，a15，Sn1an（n2且nN*）.（1）求a2，a3，a4并由此猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明an的通项公式.解：（1）a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a320.猜想：an52n2（n2，nN*）（2）证明：当n2时，a252225成立.假设当nk（k2且kN*）时猜想成立，即ak52k2，则nk1时，ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故当nk1时，猜想也成立.由可知，对n2且nN*，都有an52n2.于是数列an的通项公式为anB能力提升11.已知123332433n3n13n（nab）对一切nN*都成立，那么a，b的值为（）A.a，b B.abC.a0，b D.a，b解析：选A.法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n1，2验证，易知选A.法二：因为123332433n3n13n（nab）对一切nN*都成立，所以当n1，2时有即解得12.用数学归纳法证明“当nN*时，求证：12222325n1是31的倍数”时，当n1时，原式为，从nk到nk1时需增添的项是.解析：当n1时，原式应加到251124，所以原式为12222324，从nk到nk1时需添25k25k125（k1）1.答案：1222232425k25k125k225k325k413.平面内有n（n2，nN*）条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数f（n）.证明：（1）当n2时，两条直线有一个交点，f（2）1，命题成立.（2）假设当nk（k2，kN*）时，命题成立，