调和级数发散性的多种证明.doc

调和级数发散性的证明方法姓名：范璐婵摘 要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。关键词：调和级数 发散性 部分和 收敛Proofs of the divergency of harmonic seriesName: Fan LuchanDirector: Wang YingqianAbstract: Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new.Key words: harmonic series; divergency; partial sum; convergency引言调和级数的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（13231382）在极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单：注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面级数的括号中的数值和都为，这样的有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收敛级数为基础的。以下是他的证明。证明： ， ， ， 所以 .则 .接着设 ，则 ； .即 .没有一个有限数会大于等于自己，即是无穷大，所以调和级数发散.由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。他用简明的来证明级数的无穷性，这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。1证法一：利用反证法.假设调和级数收敛，记其和为S，即S=，由于正项级数若收敛，加括号后仍收敛，且和不变，可知：S=1+=（1+（1+从而 0 矛盾，所以调和级数必发散.2证法二：证明调和级数的部分和可任意大.依次将九项，九十项，九百项，括在一起得 从上式中可以看出的和可任意大，故级数发散.3证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列发散.，事实上，存在，对任意自然数，总能找到两个自然数，当然也有，使得=.据柯西收敛准则的否定叙述，发散，从而发散.4证法四：证明部分和数列的子列发散. = 于是 .即 .故数列 发散，从而调和级数发散.5证法五：利用欧拉常数证明.证明数列存在极限C（欧拉常数），这里，即=C+,其中0（当时）因为 ，所以 ，从而有 ， ， 上述n个不等式两边相加得 ，于是 .即有下界.其次 应用不等式，有.故有是一个单调下降的数列，因此存在，用C表示，即.也就是 .显然 .故调和级数发散.6证法六：应用级数（其中）与级数有相同的收敛性.取 ， .而级数 发散.故调和级数发散.7证法七：利用广义积分法.对于部分和数列： ，有 ， 而 ， ，因此 ，故调和级数发散.8证法八：证明由调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数发散.调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数是在此级数中，分母从10到100的项共有10项，其和大于；分母从110到1000的项共有90项，其和大于；分母从1010到10000的项共有900项，其和大于； 分母从到的项共有项，其和大于；从而 .显然 发散，于是调和级数发散.9证法九：利用命题“设正项级数收敛，且，则有”.以下是这个命题的证明：因正项级数收敛，则对于任意给定的，总存在自然数，当时，下式成立.由已知 ，而 ，得 ，故有 .又 ，故有 ，得 .故有 .所以无论为奇数或偶数时，下式成立.即通项下降趋于零的正项级数收敛的一个必要条件证毕。运用该定理可得故调和级数发散.10证法十：利用不等式. . 即 ，故调和级数发散.11证法十一：利用平均值不等式.取 ，则 ，即 .当 ，左边为，右边为，故发散.12证法十二：利用不等式来证明.首先证明上述不等式成立因为 ，所以 .所以 ； ； ； .所以 是无穷数.所以调和级数发散.13证法十三：任意给定，总可以找到一有理数，而任何正有理数可写成互异的形如的数有限和（见文献9），其中为自然数，为互异的形如的数有限和，假定最大的分母为，则有当时，具有，也就是，所以调和级数发散.以下是由作者用有关定理或方法独立导出的证法14证法十四：利用拉阿伯判别法：若是正项级数，有（），则级数收敛（发散）.在调和级数中，均有，所以调和级数发散.15证法十五：应用厄耳玛可夫判别法：若为单调减少的正值函数，且，则当时，级数收敛；当时，级数发散.令，则，故级数发散.证法十六：应用高斯判别法：在级数中，若及则 当时，级数收敛；时级数发散；当时，若则级数收敛，若则级数发散.在调和级数中，据高斯判别法知，调和级数发散.17证法十七：设级数则发散.以下是这个命题的证明：因为 单调增加，所以.因为 ，故，当充分大时，有，从而 ，所以 发散.令 ，则 ， 所以 = 发散 . 18证法十八：利用的发散性.记，为研究级数的敛散性，我们引进集合 .那么集合内的元素具有性质或写成 其个数，将内的元素从小到大排列，可记为.现考虑 ， 其中 = .下面证明级数是发散的，采用反证法，假设收敛，则由柯西收敛准则，对于任给的，存在，使得当时，对于一切自然数，均有.今取 ，对于有此所找到的，在中选一个数，此处是适当大的一个自然数，有，即 .又取自然数，则此时应有（1）但另一方面却有 (2)式与式矛盾，因而级数发散.利用这个结论我们可以证明调和级数发散。由于的部分和大于的部分和，所以由发散知发散.结束语调和级数作为去判别另外一个级数的发散的一把“尺子”起到了重要作用，它的发散性证明精彩纷呈。本文在综合已有证明方法的同时，再给出了笔者自己用有关定理或方法导出的另外几种证明，具有一定的创新意义。参考文献1 朱永生，龚晓.欧拉常数的性质及在解题中的应用J.高师理科学刊，2005（08）：15-173.2 王连昌，王锐. P级数敛散性的一个新证法J.第四军医大学学报，2005（12）：86-86.3 夏晓峰. 调和级数发散性的几种证明J.本溪冶金高等专科学校院报，2000（12）：44-45.4 韩宗霖.不完整调和级数的敛散性J.唐山师范学院院报，2005（9）：24-25.5 杨翰深，夏代月. 调和级数和P级数敛散性的一次简单证法J.数学的实践与认识，2000（7）：342-344. 6 王连昌，王锐. P级数敛散性的一个新证法J.第四军医大学学报，2005（12）：86-86.7 于文凯.调和级数发散性证明及讨论J.天津轻工业学院院报，1996（1）：91-92.8 张永利.对调和级数性态的研究 J.高等数学研究，2005（8）：16-17.9 姜洪文.对于调和级数的分析J.沈阳师范学院院报，2002（7）：170-172.10 张军学.关于调和级数发散性的几种证明方法J.西安教育学院院报，2001（9）：31-40.11 黄永东.证明调和级数发散性的7种方法J.西北民族学院院报，2001（3）：1-3.12 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法 M.高等教育