高中数学第二章解三角形1_2余弦定理(一)课件北师大版必修5

第二章 解三角形 1.2 余弦定理(一) 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一 余弦定理的推导 当abc时，C60， a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2， 即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有c2a2b2 2abcos C. 根据勾股定理，若ABC中，C90，则c2a2b2a2 b22abcos C. 试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案 在c2a2b22abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数 量积？你能由此证明思考1的猜想吗？ 思考2 答案 a2b22abcos C 梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要.因为两边及 其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示 进而求出模. 另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理. 知识点二 余弦定理的呈现形式 1.a2 ，b2 ，c2 . 2.cos ； cos ； cos . b2c22bccos Ac2a22cacos B a2b22abcos C A B C 知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 思考1 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角 形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形. 观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量 ？你认为可用来解哪类三角形？ 答案 思考2 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已 知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形. 观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量 ？你认为可用来解哪类三角形？ 答案 梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知 三边，解三角形. 题型探究 类型一 余弦定理的证明 例1 已知ABC，BCa，ACb和角C，求解c. 解答 则|c|2cc(ab)(ab) aabb2aba2b2 2|a|b|cos C. 所以c2a2b22abcos C. 反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地 形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知 识，看有没有相似的地方. 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立 直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)， C(bcos A，bsin A)， BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A， 即a2b2c22bccos A. 同理可证b2c2a22cacos B， c2a2b22abcos C. 跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式 来研究这个问题？ 解答 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度1 已知两边及其夹角 例2 在ABC中，已知b60 cm，c34 cm，A41，解三角形.(角 度精确到1，边长精确到1 cm)解答 根据余弦定理，a2b2c22bccos A60234226034cos 41 1 676.78， 所以a41(cm). 因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C33， 所以B180(AC)180(4133)106. 反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用 正弦定理求其余的角. 跟踪训练2 在ABC中，已知a2，b ，C15，求A. 解答 由余弦定理，得c2a2b22abcos 因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A30. 命题角度2 已知三边 例3 在ABC中，已知a134.6 cm，b87.8 cm，c161.7 cm， 解三角形(角度精确到1). 解答 B3253. C180(AB)180(56203253)9047. 反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ，cos B ，cos C求一个角，求其余角时，可用余弦定理 也可用正弦定理. 跟踪训练3 在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的 形状. 解答 因为abcsin Asin Bsin C245， 所以可令a2k，b4k，c5k(k0). 所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形. 当堂训练 1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是 ，则三角 形的另一边长为 A.52 B. C.16 D.4 答案解析 123 4 2.在ABC中，a7，b ，c ，则ABC的最小角为 1234 abc，C为最小角且C为锐角， 答案解析 设顶角为C，角A，B，C所对的角分别为a，b，c，周长为l，因为l5c ，所以ab2c， 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 1234 答案解析 1234 4.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差 数列，B30，ABC的面积为 ，那么b等于 答案解析 1234 ac6. b2a2c22accos B(ac)22accos B2ac， 又2bac， 规律与方法 1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广， 勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个