群论思想的产生发展和意义.pdf

第22卷第3期 V ol . 22No . 3 昭通师范高等专科学校学报 J o u r n a l o f Zha o t o n gTe a c h e r 5 c o l l卿 20砚 洲 】 跳p 年9月 20加 群论思想的产生 、 发展和意义 张绍康 (昭通师范高等专科学校数学系) 【摘要】 以群论思想的产生 、 发展和意义来论述数学首先是人的一种思想 , 这种思想在人的实践活动中产生 , 并发展成为数学科学知识 , 从而成为人们认识世界 、 改造世界的极为重要的工具 . 因此 , 数学思想是数学的精健 . 数学 思想在数学教育中应当受到高度的重视 . 【关键词 群论思想方程论代数学单位根数学思想数学教育 中图分类号 1 0152 文献标识码】 A 文章编号 10 05一9 322(20 00)0 3一0 031 - 0 6 Pr o d u ein g , D ev elo Ping an d Sig n if i eane eo f the T h o u ghts o fG r o u p T h e o 叮 Zha ngSha o 一 k an g Abstra ct:Withpr o d u eing , de velo pi飞 a nd 51, if i e a n e eofthe t h o u g h ts of 脚 up the o可w ee a n ex 卯u nd thatmathematie s 1 5 f ir stlya nide ao fm a n . T h isidea15 P r o d u eed i n Pe oPl e 5 Pr a etieala etivities , a nd de veloP to bem athematiea lseiene e kn owl edge a n d , b e eo meave叮 im P o r t a nt to o lw ithwhiehpe opl ee a n r ea liz e a nd re f o r m wor l d . T h eref o r e , m a t h ematieal t h o u g h t15 m a r m w O f m a t h ematie s a nd it sho u l d b e a t t a c he d 脚a t imPor t antt o in edueationof m a them atie s . Ke y words:thetho u g h tsGr o u pthe or y: epu atio n ; a lgebr aie; r o o ts ofu n it y;m athematiealthou g ht: ed- ueatio nof m athematies二 群论思想的产生 群论思想的产生主要来源于对方程论的研究 。 方程论一直是古典代数学的基本研究课题 。 方程论 包括两个方面的问题 : 方程的根的存在间题 ; 不解方程 , 按其系数来考察方程的根的性质 , 并利用公式 求出方程的根的问题 . 对于第一个问题 , 高斯才2 2岁时就彻底解决了 , 179 9 年他在其博士论文中证 明了代数基本定理 : 收稿日期:1999 一 12 一13 作者简介:张绍康(19 5 9 一 ) , 男 , 云南省昭通市人 , 副教授 , 学士 , 65 70( X ) , 云南昭通 第22卷 昭通师范高等专科学校学报20加 年 (总74期) 任一个实系数多项式方程至少有一个实根或复根 . 高斯的证 明也开创了 “存在性”证明的先河 . 对于第二个问题 , 一次方程和二次方程的公式解法 , 分别早在公元前及公元九世纪就已解决 , 三 次 、 四次方程的公式解法是在1 6 世纪解决的 , 具体就是 : 方程 妙 + P x + q 二0 的三个根为 : xl= A + B , xZ二。A+ 。ZB , 劣3二。ZA+。B 其中 ,_: / 卫 . 厂厂 不下 :一于 一万 又 一飞 D _ 。 / 。 石 -万 ; 一玉 . 二下 . 下 万 下 Jl 一J _ , - 一二尸, 尸Al I e s二尸, . 了弓 -二 , . 立J一J, 一 二 一 . ,. -二, 万州 尸I, . , Z ,、 Z 产 j 了 份 Z v 、 2 产、 3 产 卫土述些 , . 而疏方程 12= 二上兰孙是 :,一 1 = 0 的两个根(另一个根是 1) 。 2 x 4 + b x 3+ 。 2+ 击 + 。二 0的四个根与下面两个方程的根完全相同 : :2+ (b + 了 8, + b, 一 4 。) 音 + (, + 了 8, + 沙 一4。) 音 + (, - 妙 一 d ) 二0 , + (b - 其 中y是三次方程 8 尹 一 4俘2 + (Zb d 一 se )y + 。(4。一 护) 一 尹 二0 的任一实根 . 之后 , 人们 自然地去探讨5次以上的方程的公式解法 . 但是包括欧拉等大数学家在内的许多人的 努力都没有获得成功 , 他们总认为五次方程的求根公式是存在的 . 只是没有找到而已 . 到了1 8世纪下半叶 , 法国数学家拉格朗日总结分析了前人失败的教训 , 开始意识到这种用代数方 法求解五次方程的公式是不存在的 . 他在 177 0 年发表的论文(关于代数方程解法的思考中作了这一 工作 . 利用配平方 、作变换等方法 求二次 、 三次 、 四次方程的公式解 , 有很大的局限性 , 解次数不同的方程 都要重起炉灶 , 似乎没有什么普遍的规律性 . 拉格朗日研究了前人各种求解方程的方法 , 并用根的置 换理论将其统一起来 , 其基本思想方法如下 : 对于三次方程 :,+ 。 + 尹 二 o (l) 引人变换 二 y一二 - . jy 得到辅助方程 、 + 厅 一 釜 二0 . , , 卜昔 0 . (2) 令 r二 尹 , 则得 : 称此方程为拉格朗日预解方程 , 利用二次方程 的求根公式 , 求出它的根 r, 和 几 . 再由方程 尹 一r二 0 就得 y 值 : 抓 、 。 厂 、 。, 杯 、 杯 、 。 抓 、 。, 几 . 张绍康 群论思想的产生 、 发展和愈义 第 3 期 其 中. 、 扩是 1 的三次单位根 . 这样 , 原方程(1 )的根就是 二,二 厂 + 抓 xZ二。 厂 +。2 抓 二, 二。, 厂 +。 抓 因此 , 原方程的根是通过二次预解方程的根而得到的 . 上述解法的关键是引进变换 x 二 , 从而得到一个二次预解方程 . 可见方程(2 )的根 y要受到 n 一勺 y 一 石 方程 (l )的根 : 的制约 . 拉格朗日指出 : “我们不 应该把注意集中于变换 x 二 y - 到底是如何用 x 表示出来的 , 奥秘就在这里 . ” 拉格朗日观察到各个y值都能写成 本身 , 而应研究 y , 二 合 ( xl+ 。 xZ+ “”) 这里三个字母 x, , :2 , x3 共有 3! 二 6个置换 , 即有6个 y值 , 所以 y应满足一个6次方程 . 这就得 出结 论 : 预解方程的次数由原方程的根的置换的种数来决定 . 但这6种置换 中 , 三种是交换所有的 x。, 另三种只交换其中两个而固定一个 , 如下 : x 3工x 2工 ( 劣l 工 劣3) 1 ./、 、 . ,/ x 3上为 、 、,/ x 3工勿为 工 x l为 工 匀 / .、 、 /. 翔 4 勿 工 x 3 为 上 为 上 勿x l工 劣3 勿 劣1 / .、/ ,、 .心 . .寺 .心 . 弓 二l 告 ,空 劣 , 劣X 、 劣 勿 上 幻幻 丰 幻x l土 x jx l 土 为 ( 由 。 的定义 , 有 y, = 扩气 二 “为 入 二 扩气 = “气 各自立方 , 有 川 二 暇 二 此 , 此 二 此 二 y 即函数( x :+ 。、+。,、)在、 , x z , x 3 的所有6种置换下只能取两个不同的值 , 这说明了 y所满足的 方程是尹的二次方程 , 而且 y所满足的6 次方程的系数是原三次方程 的系数的有理函数 . 格拉格朗日还利用上述思想方法处理了四次方程的公式解问题 , 也获得成功 . 可是 , 当他用这种 思想方法去解五次方程时 , 发现无法找到一个次数低于五次的预解方程 . 最后他认识到 , 方程的公式 解与根的置换有关 , 而一般 n 次方程( n 4)的公式解看来是不存在的 . 拉格朗日解决上述问题的思想 就是 : 考虑一个有理函数当它的变量发生置换时所取 的值的个数 . 其本质就是置换群的概念 , 因此群 论的基本思想首先是由拉格朗日提出来的 . 18巧年 , 法国数学家柯西系统地研究了置换群理论 . 第22卷 昭通师范高等专科学校学报20加年 (总74 期) 2 群论思想的发展 18 24 年 , 富有创造才能的挪威青年数学家阿贝尔证明了著名的阿贝尔定理 : 如果一个方程能用公 式求解 , 那么根的表达式中每个根式都是已给方程根和某些单位根的有理函数 . 然后阿贝尔利用这个 定理证明了 : 高于 4次的一般方程不能用公式求解 . 但由于阿贝尔才2 7岁时就因贫病交加去世 , 因而 究竟哪些方程可用公式求解?哪些不能?阿贝尔设有找出判别准则 . 而这一数学成就最终是 由法国天 才数学家伽罗瓦完成的 . 伽罗瓦仅活了 20 年零 7 个月 , 也只留下8 0页数学手稿 , 但他伟大的数学成就却开创了一个数学新 领域群论 . 伽罗瓦关于群的思想 , 是在研究方程可解性问题中闪现和发展起来的 . 他在阿贝尔工 作的基础上 , 深人研究了方程根的置换群的结构 , 提出 “子群”、“最大正规子群” 等全新的概念 , 发现 了可将 分解成一串子群键 : 1场 E , 其中 1 是 的最大正规子群 , 认是 : 的最大 正规子群 , 等等 . 最后 E 是只含一个恒等置换的单元素子群 . 设方程为 n 次 , 则有 n 个根 , 这 n 个根的置换 : x l 2” . “” “ ) 为l从2 二 ” 二 万认l (其中( i :, 几 , 动是 (1 , 2 , , n )的一个排列)共有 n t 个 . 由它们组成的集合 , 关于置换乘 法构成群C , 其阶数为 n, , , 的阶数是 n I 的约数 , 偏的阶数又是 : 阶数的约数 , 等等 . 以 , 的阶数 除G的阶数 n ! , 所得商数称为 ; 的指数 , 仇的阶数除 , 的阶数 , 所得商数称为 仇的指数 , 等等 . 于 是 , 对于 n 次方程 , 就有一串置换群及其最大正规子群链和一组指数序列与之相对应 . 例如四次方程 , 的阶数是4 i 二 2 4 , 1 的阶数是 8 , 场的阶数是4 , 偏的阶数是2 , 认 二 E , 阶数是 1 . 于是得出它们的指数序列 : (3 , 2 , 2 , 2 ) . 同理 , 三次方程对应的指数序列是(2 , 3) . 伽罗瓦成功地证明了 : 的每一个最大正规子群C i 对应每一个次数等于其指数k 的预解方程 , 如 果每一个预解方程有公式解 , 那么这个 n 次方程就有根式解 . 特别地 , 如果每个预解方程都是二次或 三次方程 , 那么该方程就一定有公式解 . 例如 , 上面的三次方程和四次方程 的指数序列就全是2和3 , 因此 , 一定有公式解 . 这样一来 , 一个 n 次方程是否可解 , 只要看它所对应的置换群最大正规子群指数序列的情况就可 判定了 , 而且不必去找 预解方程 . 若方程次数 n 4 , 则在其置换群最大正规子群的序列中 , 一般要出现 素数 5 , 故一般来说是没有公式解的 . 伽罗瓦上述理论的重要意义 , 并不在于实际上求解方程 , 而是在于群概念本身 . 他虽然只对置换 群的结构进行了研究 , 但所提出的子群 , 正规子群以及不变子群和同构等概念 , 实际上已具有抽象群的 思想 . 他还讨论过域论 , 群和域以及环都是近世代数的最基本概念 , 是最基本的代数结构 . 因此 , 伽罗 瓦不仅开创了群论研究的道路 , 而且开创了近世代数的新篇章 . 185 4 年 , 英国数学家凯莱最终给出抽象群的定义 , 他指出 , 群的本质结构仅依赖于元素间的二元运 算的性质 , 到1 9世纪7 0年代 , 抽象的群概念已被数学界所接受 . 但是 , 群论的研究本经历了漫长的岁 月 , 就以有限单群的分类为例 , 事实表明 , 对这种较简单的 、 最基本的群的分类工作也是十分困难的 , 直 到196 3年 , 美国数学家汤普森才证明了一个重要命题 : “除了只含素数个元素的循环群外, 一切有限单 张绍康群论思想 的产生 、发展 和意义 第3期 群都是含偶数个元素的 . ” 其证明印了美国太平洋数学杂志的整整一期(23 8页) . 为此汤普森获得了 1970 年的菲尔兹奖 . 有限单群的全部分类工作只到1 9 8 1年才告完成 , 并被认为是2 0世纪最重大的数 学成就之一 群论思想的意义 群论思想的产生和发展 , 对数学产生 了重大的影响 , 它使代数研究进人了新的时代 , 即从局部性研 究转向系统结构的整体性分析研究的阶段 . 抽象群论标志着抽象代数学的产生 , 在数学发展史上占有 重要的地位 . 抽象代数学 (也称为近世代数学) , 象古典代数学一样 , 是关于运算和运算规则的理论学 科 , 但它不象古典代数那样限于研究数的运算 , 而是研究一般的元素集合上的运算和运算规则 , 使得新 的数学对象如矩阵 、矢量、变换等的运 算有了理论依据 , 从而把数学理论抽象到新的层次 . 群论的思想还向各门数学分支渗透 . 群论提供的结构分析思想是典型的现代数学思想 , 伽罗瓦所 采用的多次映射 , 把问题化归为结构简单的问题的思想也成为现代数学的典型思想方法 . 利用群论的 思想方法解决了一系列复杂的数学问题 , 开辟了数学的新领域 , 同时 , 也促使数学得到更加广泛的应用 . 下面试举出一些实例加以说明 . 3 . 1 群论思想时数学的影响 187 2 年 , 德国数学家克莱因在他著名的爱尔兰根纲领中指出 : 无限的变换群 , 即具有无限多个元素 的变换群 , 可以用来对几何进行分类 . 他利用无限变换群的思想研究几何变换 , 获得了巨大的成功 . 克莱因的基本思想就是 : 每种几何都是由变换群所刻划的 . 每种几何理论就是这个变换群下的不 变量 , 子几何是其子群的不变量 . 例如射影变换群的不变量有线性 、 共线 、 交比等等 . 仿射变换群是射 影变换群的子群 , 其不变量是线性 、平 行 . 欧氏几何是旋转 、平移、 反射等变换下的不变性理论 . 按照克莱因的观点 、 空间的性质是按照裸度和稳定性分成很多层次 . 欧氏几何是除掉了现实世界 的具体物质物性而仅保留了空间形式的特点 . 我们可以就我们所关心的空间的性质来建立所需要的 “几 何 ” 理论 , 如在保角变换群下形成的几何 . 保角几何 . 也可以讨论不一定是整个空间的变换 , 如 仅考虑把圆变为自身 , 把弦变为弦的变换群下的几何中考虑圆域内点和弦的不变性质这就是罗巴 切夫斯基几何的模型 . 利用置换群研究代数方程 的求根问题 , 启发了人们去考虑利用群的思想方法去研究微分方程的求 解问题 , 187 4 年 , 挪威数学家李创建了连续群理论( 李群论) , 并发明了用它来研究微分方程的新方法 . 群论还是解决许多数学难题的有效工具 . 例如 , 古老的尺规作图问题 , 正是利用伽罗瓦理论彻底 解决的 : 根据已知条件建立起相应的代数方程 , 如果这个方程左端多项式的伽罗瓦群是可解群 , 即此方 程的根可以用含平方根式的式子表出时 , 则已知条件是可作图的 , 否则就不可作 . 在函数论 、 组合论 、 代数学中群论思想也起着重要的作用 , 开辟出了同调代数 、 拓朴代数 、 交换代数 等新的数学分支 . 3 . 2 在其他科学中的应用 群论在物理 、 化学 、 生物 、 计算机科学等许多科学中有着重要的应用 , 群论的思想对这些学科的发 展有着重要的意义 . 例如 , 在量子力学中 , 一个物理系统的状态由一个波函数来描述 , 而状态的一个对称变换产生一个 第22卷昭通师范商等专科学校学报 20( X ) 年(总74 期) 新的波函数 , 新的波函数与原来的波函数通过一个线性变换来联系 . 就对称系统是平衡状态这个特殊 情况而言 , 在所考虑的对称变换下 , 新的波函数必然同样地与原来的波函数有相同的能量平稳状态 . 于是 , 一个对称变换把属于能量的某一个特征值的波函数变成它们 自己的线性组合 . 总之 , 从数学的 思想来说 , 就是在给定的对称群下