高三数学二轮复习 专题突破 专题二 函数与导数 第3讲 导数的综合应用课件 文

第3讲 导数的综合应用,热点突破,高考导航,高考导航 演真题明备考,高考体验,1.(2014全国卷,文21)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2. (1)求a;,(1)解:f(x)=3x2-6x+a,f(0)=a. 曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2. 由题设得- =-2, 所以a=1.,(2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,(2)证明:由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2. 设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知1-k0, 当x0时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增, g(-1)=k-10时,令h(x)=x3-3x2+4, 则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x). h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增, 所以g(x)h(x)h(2)=0. 所以g(x)=0在(0,+)没有实根. 综上,g(x)=0在R有唯一实根, 即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,2.(2015全国卷,文21)设函数f(x)=e2x-aln x. (1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;,(2)证明:当a0时,f(x)2a+aln .,3.(2016全国卷,文21)设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性;,(1)解:由题设,f(x)的定义域为(0,+), f(x)= -1, 令f(x)=0解得x=1. 当00,f(x)单调递增; 当x1时,f(x)0,f(x)单调递减.,(2)证明当x(1,+)时,1 x;,(3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.,高考感悟 1.考查角度 (1)利用导数研究多项式函数、幂函数、分式函数,以e为底的对数函数和指数函数的性质及求参数等. (2)导数与方程、函数、不等式等综合考查单调性、最值、零点等问题. 2.题型及难易度 解答题为主,难度较大.,热点突破 剖典例促迁移,利用导数解决不等式问题,热点一,考向1 利用导数证明不等式 【例1】 (2016河北邯郸模拟)设函数f(x)=(x+a)ln x+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+y-2=0. (1)求y=f(x)的解析式;,(1)解:因为f(x)=ln x+ , 所以f(1)=1+a=-1,所以a=-2, 又点(1,f(1)在切线x+y-2=0上, 所以1+b-2=0,所以b=1, 所以y=f(x)的解析式为f(x)=(x-2)ln x+1.,(2)证明: 1.,考向2 利用导数解决与不等式有关的恒成立或存在性问题,【例2】 (2016福建福州质检)已知函数f(x)=x2-2x+aln x(aR). (1)当a=2时,求函数f(x)在(1,f(1)处的切线方程;,解:(1)当a=2时,f(x)=x2-2x+2ln x, f(x)=2x-2+ , 则f(1)=-1,f(1)=2, 所以切线方程为y+1=2(x-1), 即为y=2x-3.,(2)当a0时,若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),不等式f(x1)mx2恒成立,求实数m的取值范围.,【方法技巧】 (1)利用导数解决与不等式有关的恒成立或存在性问题的“两种”常用方法 分离参数法: 第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题; 第二步:利用导数求该函数的最值; 第三步:根据要求得所求范围. 函数思想法: 第一步:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题; 第二步:利用导数求该函数的极值(最值); 第三步:构建不等式求解. (2)利用导数证明不等式的基本步骤 作差或变形. 构造新的函数h(x). 利用导数研究h(x)的单调性或最值. 根据单调性及最值,得到所证不等式. 特别地:当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时,一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题.,利用导数解决与方程根(或函数零点)有关的问题,热点二,【例3】 (2016全国卷,文21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)讨论f(x)的单调性;,(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,突破痛点,本例中当a=0时,若方程f(x)=m有两个根,试确定m的取值范围.,答案:(-e,0),【方法诠释】 解决有关函数的零点、方程的根的个数问题,一般根据函数的单调性,确定其极值点,利用数形结合进行求解.,【方法技巧】 (1)利用导数研究函数零点的思路 转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)的交点问题. 利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象. 结合图象求解. (2)利用导数研究方程根的个数的方法 将问题转化为可用导数研究的某函数的零点问题或用导数能研究其图象的两个函数的交点个数问题求解. (3)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤 第一步:利用导数证明该函数在该区间上单调. 第二步:证明端点值异号.,热点训练:(2016广西桂林市、北海市、崇左市联合调研)已知函数f(x)=xeax+ln x-e(aR). (1)当a=1时,求函数y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;,解:(1)y=f(x)的定义域为(0,+), 因为a=1,所以f(x)=xex+ln x-e,f(1)=0. 所以f(x)=(x