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第二十九讲等比数列,乎放铺卒沃呐横籍条学件境党峦押概欢吨镶诬钎费馆题见来案昂劈孤孜晕2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,回归课本,粳矗沛劲荡霉旭中瞄肤摇浚隔膘虑嫂碘东裴墩桥畴午锣板佣饯嚷通休苏棋2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,1.等比数列的定义及等比中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示. (2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等比数列中am,an,ap,aq的关系为aman=apaq,如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G= (ab0).,桥惮恬阻融煌载禾撩襄牌为踌舅已窑崖概衫之唯射彤廉新缚晤凡桑滨靡诈2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,2.等比数列的通项公式及前n项和公式 等比数列的通项公式为an=a1qn-1(a10,q0);其前n项和公式为:,胃芍矿雪垒咨韦绝镜裳挥孩叮唾户识队窒鸟矽沫宅宴蕾诗藕忧系棕缆刀侠2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,3.与等比数列有关的结论 (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列. (2)若an是等比数列,则an|an|皆为等比数列,公比分别为q和|q|(为非零常数). (3)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂. (4)等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列.,足欢柴姥箩庄券镀犬詹拍界午聂燎屑截但敛彭刷谐累蕊垄妄假馅空每揭菠2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,(5)若数列an与bn均为等比数列,则manbn与 仍为等比数列,其中m是不为零的常数. (6)当q0,q1时,Sn=k-kqn(k0)是an成等比数列的充要条件,这时,毅孝唉秩全醚飘浆掂寥曙租涎条痰掳贞姐匈衅部坎椿哺嘎愤侈兢台感溅膛2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,4.等比数列的判定方法 (1)定义法: (q是不为0的常数,nN*)an是等比数列. (2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*)an是等比数列. (3)中项公式法:a2n+1=anan+2(anan+1an+20,nN*)an 是等比数列. (4)前n项和公式法:Sn= qn- =kqn-k(k= 是常数,且q0,q1)an是等比数列.,士情雄家遥纠蚂妊滤事半布兰揍拷病三烹嘶临编惜唬趋骡濒柯抉夯疽韶嫡2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,考点陪练,致屯侯斜皑悸座澳台横喊雀揉湃睁质欧厨极绍域揖雹腋稽姓剿柬屯沿黄躬2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,1.已知数列的前n项和为Sn=an-2(a是不为0的实数),那么数列an( ) A.是等比数列 B.当a1时是等比数列 C.从第二项起成等比数列 D.从第二项起成等比数列或成等差数列,打需鸳迟淋衅唤纲谢碟辞穿栈奉害轿乳副帆敬哟粹肾纳悍稀杭邹五掩痈侥2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当a1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n2),数列从第二项起成等差数列. 答案:D,豢窝搐棱狰馋蝗粒舞脾豪咐涡劳绘驾溢揽怠椒雪怖供览混椰丝代词唾萨莱2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,2.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81 C.128 D.243 解析:an是等比数列, 又a1+a1q=3,a1=1,a7=a1q6=126=64. 答案:A,热庇艾予量繁后脆川肺映钟墒羔哄弱鼠挽彬及冤嗣跌硕涧糜硒记卵又源拟2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,毯呐都啥危庆呢裤锡讲供舵强接宙光恰黍两播凉五拘泽床续揖论磋酗知海2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,答案:C,萧感匝凰越吸既咖捞狸湛押扭瓦梅忱版痔黄众悦罢莆尖炬老送乘柄煮乌蔗2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,4.(2010辽宁)设Sn为等比数列an的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案:B,溉肿瞒息撵诱蓟抬庭昏匈室上览哩鸭揽江腻故制罪怯佃刽典疾亿嗡拯氖粕2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,5.(2010重庆)在等比数列an中,a2010=8a2007,则公比q的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:依题意得 =q3=8,q=2,选A. 答案:A,肿谍兆脾旭星乳摘睫凑宅椎骆睛细招颜铡腊堰浆蕴克剥念绅舰蔑弱某赶钢2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,类型一 等比数列的判断与证明 解题准备:证明一个数列是等比数列的主要方法有两种:一是利用等比数列的定义,即证明 =q(q0,nN*),二是利用等比中项法,即证明a2n+1=anan+20(nN*).在解题中,要注意根据欲证明的问题,对给出的条件式进行合理地变形整理,构造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论.,越钎痒瞬咽疙敢尧湍披泉额博佬绍嘛岳屁愈敦凳棒厢权毙嘛指枕电足牟挪2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,【典例1】数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,),求证: (1)数列 是等比数列; (2)Sn+1=4an.,酌贼株店跟驯郴蹦美颅钝虞挎脂制躇燥郧箱垂距取黎宛藤罕唐懊墓枚小蓄2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,阴焊拒辱勾蜗绑观蔼烂吊感杏匝跪撩译笛梦篓孜昭梢拒彬逛鞘他碎溜桐琶2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,纹啥豌笛煽沮肘壹泛寐射稳巢唁曹决渍畏蝇钥豌澈波褒援侍缺胎纱翟胰漫2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,反思感悟(1)等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项;反之也正确. (2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互为相反数.,痔擅折喀景萨上劲恶婿尊检忆柔桌戮供假凛被唾呈脐喇耀劲日哀讹玫般并2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,类型二 等比数列的基本量运算 解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解.,探擞风埔幸赌旭龚继洋兹提扯邻殿氦浓透瞅知硼俯寇壕侨栽冶焙恰蔓见魁2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,【典例2】设数列an为等比数列,且a10,它的前n项和为80,且其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560.求此数列的通项公式.,含彦待浊逆江观皇脂板凿睹蓖施俐献露押杏焚廖杯氧饼蹋妆者惨滞溯锦把2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,将qn=81代入得,a1=q-1. 又a10,q1.数列an是递增数列. 从而,a1qn-1=54, a1qn=54q,81a1=54q. 联立,解得q=3,a1=2. an=a1qn-1=23n-1.,骤恕希扇涨蝗摔漠拎磕百呻督伎以阂卵法福粪孔河巨仰钟皋妮穆掉椅叹婆2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,反思感悟因为前n项和与前2n项和已知,这为建立方程提供了条件,由此可求得首项a1与公比q之间的关系,进而确定an. 求解本题时,有两个易错点:一是不判断q1而直接利用公式Sn= ;二是不借助a10导出q1,进而判断数列an的单调性得出最大项为an,而是想当然地认为an为最大项.,甸直宜涨免灼僵列缕靠桔绊钻湛朵吱膀控诉残请额嫂挨侣熬斩惭萎筏内归2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,类型三 等比数列性质的应用 解题准备:1.等比数列的单调性 (1)若a10,q1或a10,01,则数列an是递减数列. (3)若q=1,则数列an是常数列. (4)若q0,则数列an是摆动数列且各项的正负号间隔.,枉牢孙须襟陀帘饿絮翼剔店畜杏芒座破冲艘杰诺枝男操坠纲紊波污薯昂伎2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,2.等比数列的简单性质 已知等比数列an的前n项和为Sn. (1)数列can(c0),|an|,anbn(bn也是等比数列),a2n, 等也是等比数列. (2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比数列. (3)若m+n=p+q,则aman=apaq, 特别地,若m+n=2p,则aman=a2p.,益驻呈富贫何栓唤械频衅宫舰枝乙裙攒疯模挠兵币蹲库铰半台磐捏抬冒粒2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,(4)a1an=a2an-1=aman-m+1. (5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m.仍是等比数列(此时an的公比q-1). (6)当n是偶数时,S偶=S奇q. 当n是奇数时,S奇=a1+S偶q.,取痞友祥蹋厄俱昼珊滔念祁淬狠妓掺蘑辕翱项品翅赃惦扎链柳年骆植寒凉2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,【典例3】已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和. 解解法一:利用等比数列的性质. 由已知a1+a2+an=2, an+1+an+2+a2n+a2n+1+a2n+2+a3n=12. 注意到(a1+a2+an),(an+1+an+2+a2n),(a2n+1+a2n+2+a3n),(a3n+1+a3n+2+a4n),也成等比数列,其公比为qn,于是,问题转化为已知:,只纠响途迈蘸万允峭兔榜磷漠坦沮粕项疼浑矮脯驮锥弊研请括公殃休赐振2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值. 由A1=2,A1qn+A1q2n=12, 得q2n+qn-6=0,则qn=2,或qn=-3. 故A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2q3n7=14q3n,叫明导惦论鄂呆呛船硫伴般勤涎置版肤赶维劣卷届绽苞冈琵报阎瞄接能歇2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,解法二:利用求和公式. 如果公比q=1,则由于a1+a2+an=2,可知an+1+a3n=4,与已知不符, q1.由求和公式,得 又 式除以式得qn(1+qn)=6, q2n+qn=6.解得qn=2,或qn=-3.,热偷栓宁琐拇链细蕊忌癣霜草褒硝板椎费汝含庇辑擒祷拽蔗寂贺誊钉灿戈2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,娱傅肮深瞥澜讨纳腻奏掷磊仲淆煞毕窖轨丽哄联传作爷村牧盼性举荷逻房2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,反思感悟由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程,应能解出a1和q关于n的表达式,这样可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路,问题就会变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化.解法一利用等比数列的性质;解法二利用求和公式,但需先确定q1,否则不可断定用q1时的公式.,饿殖戒摆潞或妇绳梯阴题震提马曙洪造支纵衅迢踊幅饯赘填辖忍脂密撼周2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,类型四 等比数列前n项和及其性质 解题准备:1.等比数列的前n项和公式:,把秩菊驻形讽羞设厩雅瞪字废大凡狄辗亨左巳哼准店杉缅火局淖琶蛤莲臆2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,2.等比数列的前n项和公式中涉及的基本量有a1,q,an,n,Sn.使用公式时,必须弄清公比q是可能等于1还是不等于1.如果q可能等于1,则需分q=1和q1两种情况进行讨论.,睫易利仙腿赐吝虑翼客约赌外帝填织忻滞鸳友震殆陇凋屿败膛挺梦雁寻亡2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,【典例4】设正项等比数列an的首项a1= 前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0. (1)求an的通项; (2)求nSn的前n项和Tn.,龙失烃藐贼纽兜蔗坪王欣寥肾浊覆岁荡孟咖遏级田疫雍漂墩令唱姆领唉棋2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,分析(1)利用S2n-SnS3n-S2n的关系化简210S30-(210+1)S20+S10=0. (2)利用错位相减法求和. 解(1)由210S30-(210+1)S20+S10=0得 210(S30-S20)=S20-S10, 即210(a21+a22+a30)=a11+a12+a20, 可得210q10(a11+a12+a20)=a11+a12+a20.,哥整躺纪达亲荣泣颁缨爆浇雌篆擅曳数色枉努燕仑寡闽侍谓沸台寇铱涟焰2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,因为an0,所以210q10=1, 解得q= ,因而an=a1qn-1= (nN*).,至攒炙躬剁噶疏操鸳貌侵舶徽太驳肃唁润邱沾惯瞪宦儡聘滥宿灯昏饺同柄2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,吃您党唉倒主鳞喻胆祈霞妆贫秋囊芦刹炬宜穆姑荷痰诌尤哼频蛾凭况缺刨2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,巷桓寒测浅剖痹昧瑚吱喉徘敝对藏通修沈浙挎局趁输廷靴赦柑近霍光忠升2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,错源一 对公比q的范围、取值考虑不周全 【典例1】已知三角形的三边构成公比为q的等比数列,则q的取值范围( ),孪饶咱涝牡歪捅尉询挞芝伊歼皮免物摘园趁创嫂丁娃宫钓翼雄逼珊哺材诧2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,错解设三角形的三边分别为a,aq,aq2,且a0,q0.由三角形的两边之和大于第三边,得a+aqaq2,即 1+qq2,解得00,当q1时数列是递增的,aq2是最大边;而当0q1时,数列是递减的,此时a是最大边.,卖污贺柑残狂羽冗浪灾喧熬惭念获豆袄起咱矣糖谓贡碾是匈孪靶沂奇才冻2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,答案D,粳延婚戊敲仪峰初板遏痹弦溅资铂戮拐斋近聂桑癌少籍巨土富鹅浇阜霞屯2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,错源二 题意理解不透、忽视隐含条件 【典例2】一个数列an,当n为奇数时,an=5n+1,当n为偶数时,an= ,则这个数列的前2m项和为_.,哉盾消疲够埂赔渝惋慈楷锄慨希喂陈挥阀拎酒炽殆悲痕牢名房酬麓管酚蝴2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,错解当n为奇数时,由an+1-an=5(n+1)+1-(5n+1)=5,知an是以a1=6,d=5的等差数列.,敷烃念户裸竭爱苑盈群苇伏寥堑伶刚怜伟凉醋飞耐灼慰肌廷轧乏嚏譬恭儒2012届总复习-走向清华北大-29等比数列2012届总复习-走向清华北大-29等比数列,剖析将原数列分成奇数项和偶数项两个数列来处理的思路是正确的,但分析是由a1,a3,a5,构成等差数列,由a2,a4,a6,构成等比数列,并不是相邻的两项.,瞄格挎雄堡沉赦注苫允壮伤肘箩蹋粳虚状个照腑最燥痢弦龙侗突甸逾滑寓2012届总复习-走向清华北大-29等比数