[工学]第5章 直线与平面和平面与平面.ppt

第5章 直线与平面和平面与平面的相对位置,5.1 直线与平面、平面与平面平行,5.2 直线与平面、平面与平面相交,5.3 直线与平面、平面与平面垂直,2,5.1 直线与平面、平面与平面平行,5.1 直线与平面、平面与平面平行,几何条件： 若直线平行于平面内的任一直线，则此直线必与该平面平行。,a,e,d,a,f,c,b,e,d,b,f,c,DE与ABC 相互平行。,5.1.1直线与平面平行,3,【例5-1】过M点作一水平线平行于平面ABC。,O,分析：过平面外一点可作无数条直线平行该平面，但本题要作一水平线与ABC平行，所以在平面上作一条辅助的水平线才能满足要求。,a,作图： （1）过B点在ABC面内作一条水平线。 （2）过M点作水平线MN，使其水平投影和正投影分别平行过B点的水平线的水平投影和正面投影，MN即为所求。,c,b,X,a,c,b,m,m,5.1 直线与平面、平面与平面平行,4,n,n,【例5-2】判断直线MN是否与平面ABC平行。,O,分析：要判断直线MN与ABC是否平行，实际上是要看ABC平面内能否作出一条与直线MN平行的线。如果能作出来，则说明直线MN与ABC平行，否则，直线MN与ABC不平行。,a,作图： （1）在ABC上作一直线BD，使bdmn。 （2）求出直线的BD的水平投影bd。 （3）bd与mn不平行，则可判断出MN与ABC不平行。,c,b,X,a,c,b,m,m,5.1 直线与平面、平面与平面平行,d,d,5,特殊情况下，若直线与投影面垂直面平行，则该投影面垂直面的积聚投影与该直线的同面投影平行。,n,O,a,b,X,a,b,m(n),m,5.1 直线与平面、平面与平面平行,c,f,d,e,c(d),f(e),5.1.1直线与平面平行,6,5.1.2 平面与平面平行,平面与平面平行的几何条件：若一平面内两条相交直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则该两平面相互平行。,5.1 直线与平面、平面与平面平行,7,【例5-3】试判断平面ABC和DEFG是否平行。,5.1 直线与平面、平面与平面平行,分析：判断两平面是否平行，可以先在一个平面上作出两相交直线，然后在另一个面上看能否找到与这两条相交线分别平行的两相交线。如果能找到，则两平面相互平行，否则，不平行。,作图： （1）在DEFG平面上过D点作直线段D,令其正投影d 2 a b。 （2）作出D的水平投影d2，判断d2与AB的水平投影ab不平行。 不平行,c,c,O,a,e,b,X,a,g,b,d,d,2,f,g,e,f,2,8,特殊情况下，当两平面都是同一投影面的垂直面时，如果两平面平行，则在有积聚性投影面上的投影相互平行。,O,a,b,X,a,b,e,5.1 直线与平面、平面与平面平行,c,f,g,f,5.1.2 平面与平面平行,c,g,e,9,5.2 直线与平面、平面与平面相交,5.2 直线与平面、平面与平面相交,直线与平面相交于一点，该点称为交点，它是直线和平面的共有点。两平面相交于一条直线，该线称为交线，它是两平面的共有线。 直线与平面、平面与平面相交问题，主要是求交点和交线问题。即已知直线、平面的投影，求交点和交线的投影；此外，还要判别直线与平面或平面与平面的重影部分的可见性。,10,5.2.1 特殊位置的直线或平面相交,5.2 直线与平面、平面与平面相交,特殊位置的相交问题是指相交的两要素（直线或平面）中至少其一是垂直于投影面的。此时该要素的一个投影具有积聚性，因此利用积聚投影直接确定交点或交线的一个投影。然后用直线上取点、平面上取点和线的作图方法求出交点、交线的另一投影。 可见性的判别原则：在有积聚性的投影面上，可见性无需判别，另一投影面上的投影可见性可通过直接观察相交线面或面面的积聚投影的相对位置来确定或者借助重影点判断可见性。,11,【例5-4】求铅垂线DE与一般位置平面ABC的交点，并判断可见性。,1投影面垂直线与一般位置平面相交,分析： 投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚成一点，那么它与一般位置平面的交点在此投影面上的投影也在该点上。同时该交点又属于一般位置平面内，从而利用面上作点的方法求出另一投影面上的投影。,c,c,O,a,b,X,a,b,e,d,d(e),5.2 直线与平面、平面与平面相交,12,【例5-4】求铅垂线DE与一般位置平面ABC的交点，并判断可见性。,1投影面垂直线与一般位置平面相交,c,c,O,a,b,X,a,b,e,d,d(e),作图： （1）在平面ABC的水平投影abc内，过点d（e）作一直线am交 bc边于点m。 （2）由m作连系线交bc边于点m。连结am与直线de交于点k。,m,m,5.2 直线与平面、平面与平面相交,13,【例5-4】求铅垂线DE与一般位置平面ABC的交点，并判断可见性。,1投影面垂直线与一般位置平面相交,c,c,O,a,b,X,a,b,e,d,d(e),判断可见性： 利用直线DE与平面上边AB的重影点1、2来判断可见性，由于1点在前，2点在后，故1点可见，2不可见，2k画虚线。,k,1 (2),m,m,5.2 直线与平面、平面与平面相交,14,【例5-5】 求直线DE与铅垂面ABC的交点，并判断可见性。,2. 一般位置直线与特殊位置平面相交,分析及作图： ABC在水平投影面上的投影积聚成一直线。因此它们的交点K的水平投影为DE与ABC水平投影de与abc的交点k，然后由k作连系线交de于k。点K（k，k）即为直线DE和ABC的交点。,c,c,O,a,b,X,a,b,e,d,e,5.2 直线与平面、平面与平面相交,d,k,15,【例5-5】 求直线DE与铅垂面ABC的交点，并判断可见性。,2. 一般位置直线与特殊位置平面相交,c,c,O,a,b,X,a,b,e,d,e,5.2 直线与平面、平面与平面相交,d,k,判断可见性： 利用直线DE与ABC上的边AB重影点3、4 判断它们的可见性。由水平投影看出，点4在后、点3在前，故直线 3k可见，画实线，另一段不可见，画虚线。,3 (4),16,3. 两特殊位置平面相交,作图： 两铅垂面P、Q相交，其水平投影积聚为两条直线p、q的交点m（n）为交线MN的水平投影，由之作连系线，可定出mn，它的长度仅为两个平面的V面投影中共有的一段mn。,p,p,O,X,q,5.2 直线与平面、平面与平面相交,q,m,分析：两个平面同时垂直于一个投影面时，则交线是垂直于该投影面的直线，且交线的投影是两平面积聚投影的交点。,n,17,3. 两特殊位置平面相交,正面投影中的可见性: 可根据H面投影中p、q的前后位置来直观地判断。如MN右方，q位于p之前，故V面投影中，q的右竖直线与P重影部分可见，画成实线； 也可利用两个平面上的重影点12来判断。,p,p,O,X,q,5.2 直线与平面、平面与平面相交,q,m,判断可见性：在相交两平面的投影公共区域，以交线MN为界，将平面图形分为可见和不可见部分。由于水平面投影积聚成直线，故无需可见性判断。,n,18,4. 特殊位置平面与一般位置平面相交,分析及作图： 平面P是铅垂面，其水平投影积聚为一条直线。根据共有性，平面P与ABC的公共线段mn即是交线MN的水平投影，交线的两端点M和N分别在ABC的边AB、AC上，对应求出m和n，连线即得交线的正面投影。,PH,O,X,p,5.2 直线与平面、平面与平面相交,a,判断可见性：由于相交两平面之一的水平投影积聚，故水平投影的可见性无需判断。V面投影，可用重影点判断。,c,b,a,c,b,19,5.3 直线与平面、平面与平面垂直,5.3直线与平面、平面与平面垂直,5.3.1直线与平面垂直,如果一直线垂直于平面内的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。,B,A,如果一直线垂直于一平面，则该直线垂直于平面上的所有直线。,20,当直线垂直于平面时，则该直线的水平投影必定垂直于该平面上水平线的水平投影；直线的正面投影必定垂直于该平面上正平线的正面投影。,水平线,正平线,a,b,e,d,c,h,b,e,d,c,h,a,5.3.1 直线与平面垂直,5.3直线与平面、平面与平面垂直,AHBCDE,21,水平线,正平线,a,b,e,d,c,h,b,e,d,c,h,a,反之，若一直线的水平投影垂直于某一平面的水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于该平面的正平线的正面投影，则该直线必垂直于该平面,5.3.1 直线与平面垂直,5.3直线与平面、平面与平面垂直,AHBCDE,22,【例5-8】求K点到ABC的距离。,分析： 求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线。根据线面垂直的条件，在面上作出两条相交线（一条为水平线，一条为正平线），然后过点作一条同时垂直于该两条相交线的垂线，并求出垂线与平面的交点，点到垂足之间的距离即为所求。,k,a,O,X,5.3直线与平面、平面与平面垂直,b,c,k,a,b,c,23,【例5-8】求K点到ABC的距离。,作图： （1）在ABC上作一水平线BD（bd，bd）和正平线AE（ae，ae）。 （2）自K 点向BD、AE引垂线KL，即作klbd，klae。,k,a,O,X,5.3直线与平面、平面与平面垂直,b,c,k,a,b,c,24,【例5-8】求K点到ABC的距离。,作图： （1）在ABC上作一水平线BD（bd，bd）和正平线AE（ae，ae）。 （2）自K 点向BD、AE引垂线KL，即作klbd，klae。 （3）求KL与ABC平面的交点F（f，f），即为垂足。 （4）用直角三角形法求出KF 的实长K1f ，则K1 f 即为所求的距离。,k,a,O,X,5.3直线与平面、平面与平面垂直,b,c,k,a,b,c,l,l,1,2,K1,25,【例5-9】试过M点作直线与铅垂面ABC垂直。,a,O,X,5.3直线与平面、平面与平面垂直,b,分析： 特殊情况下，若直线与特殊位置平面垂直，则平面的积聚投影与直线的同面投影垂直，直线为该投影面的平行线。 因为ABC是铅垂面，所以过点M作出的该面的垂线是一条水平线，线与面的H面投影相互垂直。,a,c,c,b,26,a,O,X,5.3直线与平面、平面与平面垂直,b,作图： （1）过m作直线mkabc。 （2）过m作平行于X轴的直线与过k作的竖直线交于点kMK，即为所求。,a,c,c,b,【例5-9】试过M点作直线与铅垂面ABC垂直。,27,5.3直线与平面、平面与平面垂直,5.3.2 平面与平面垂直,如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。,28,5.3直线与平面、平面与平面垂直,5.3.2 平面与平面垂直,反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。,29,【例5-10】 包含直线MN作一平面与ABC平面垂直。,O,m,分析：只要过直线MN上任意一点，作一直线与ABC平面垂直，则这两相交直线所决定的平面必与ABC平面垂直。,n,5.3直线与平面、平面与平面垂直,作图： （1）在平面ABC内，分别作一水平线CE（ce，c e）和正平线AD（ad，a d）。 （2）过点M（m，m），分别作mkce，mkad，则MN（mn，mn）和MK（mk，mk）两相交直线所决定的平面与ABC平面垂直。,n,m,a,b,c,a,b,c