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主要内容：,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、初等函数的连续性,四、闭区间上连续函数的性质,第一章 函数与极限 第八-九节 连续函数的概念与性质,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如，多项式函数在R上是连续的。,四则运算的连续性,定理1,例如,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例3,解,定理2,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例6,解,例7,解,例8,解,内容小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,思考题1,思考题1解答,且,1、一类；一类；二类。,2、,定理3 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,三、初等函数的连续性,初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意1,注意2 初等函数求极限的方法代入法.,例9,例10,解,解,四. 连续性在求极限中的应用,利用函数y=f(u)在u=A点连续的定义，可以证明，如果,特别：（1）当f(u)=au 则,（2）当f(u)=logau 则,(3)当f(u)=,(为实数)，则,特别：,第二章中的对数函数、幂函数、指数函数求导公式 的推导过程要用到下面几个极限,例11. 求下列极限,（a0 a1）,解：（1）,(重要极限),=lne=1,1、最大值和最小值定理,定义:,例如,五、闭区间上连续函数的性质,定理3(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理4(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,2、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例11,证,由零点定理,例12,证,由零点定理,小结,四个定理,最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.,注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足, 上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函
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