统计学--第四章概率基础.ppt

第四章 概率基础,概率,总体与样本的符号区分：,总体 样本 规模大小（容量） N n 平均数（均值） 方差 2 2 标准差 成数（比例） p ,X,p,1、随机试验与随机事件,随机试验的条件： 它可以在相同的条件下重复进行； 试验的所有可能结果是事先已知的，并且不止一个； 每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现那个结果。,随机事件之间的关系： 包含：B A或A B 和：AB 交： AB或AB 差：A-B 对立：A 互不相容：AB= ,2、概率,随机事件A发生可能性的大小称为事件A发生的概率，记为P（A）。,具体包括： 古典概型（等可能概型） 试验概率 主观概率,频率学派,贝叶斯学派,3、概率的基本运算,概率的基本性质,0P（A）1 P（）=1，P（ ）=0 P（A B）= P（A）+ P（B）- P（AB） （AB为任意事件） P（A B）= P（A）+ P（B） （AB为互不相容事件）,P（A）=1-P（A） 设事件A包含事件B，即 ，则 P（A - B）= P（A）- P（B） P（A）P（B）,设事件A1，An两两互不相容，则,条件概率,在实际问题中，除了要知道A发生的概率外，有时还要知道“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率，称为条件概率，记作P（A|B）。,定义：设A、B是任意两个事件，且P（B）0，则称 为在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。,全概率公式,设B1，B2，Bn为n个互不相容事件，且 则任一事件A的概率为,贝叶斯公式,设B1，B2，Bn为n个互不相容事件，且 则对任一事件A有,事件的独立性,对任意两个事件A与B，事件B的发生往往会对事件A的概率产生影响，即P（AB）P（A），但如果事件B的发生并不影响事件A发生的概率，则有P（AB）=P（A），这时P（AB）=P（B）P（AB）=P（A）P（B）,设A与B是任意两个事件，如果满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B相互独立。,概率分布,1、随机变量,随机试验可能产生的各个不同的结果称为试验的基本结果（样本点），记作 ，若每个结果都可以有一个实数X与之对应，则称X为随机变量。,特点： 随机性 规律性,2、概率分布,类型,离散型,设 的各可能取值为 ，相应的概率为 ,则其概率分布表示为：,连续型,概率密度函数（密度函数）的性质：,（1）f(x) 0 （2）,设X是一个随机变量，对任一实数x，事件“Xx”称为随机变量X的分布函数，记为F(x)。,（1）0F(x)1 （2） （3） F(x)是非降函数。,随机变量的数字特征,（1）数学期望E（X） expected value （集中趋势的度量）,离散型r.v. E(X)=,连续型r.v. E(X)=,性质：,E(C)=C E(CX)=CE(X) E(X+Y)= E(X)+ E(Y),设X1，X2，Xn是n个随机变量，则有E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn),（2）方差D（X） variance （离散程度的度量）,离散型r.v. D(X)=E(X-E(X)2=,连续型r.v.D(X)=E(X-E(X)2=,D(X)=E(X2)-(E(X),性质： D(C)=0 D(CX)=C2D(X) D(X+Y)= D(X)+D(Y) 若X、Y相互独立， D(X)= E(X2)- (E(X)2,常见的离散型分布,0-1分布,可用于描述只有两种结果的试验。,=p，2=pq,在一次贝努里试验中，成功的次数X只可能取0和1两个值，分布列为：,X 0 1 P p q,二项分布,=np，2=npq,n重贝努里试验：贝努里试验在相同的条件下重复n次，并且各次的试验结果相互独立。,超几何分布,自有限总体的非还原抽样中具有某种特征的个体出现次数的分布。,=np，2=np（1-p）,泊松分布,其中0是个常数，则称X服从参数为的泊松分布。,=，2=,当n很大，p很小时，二项分布近似于泊松分布。 通常取n20，p0.05时，就可以近似计算。,卡里的钱并不能跟快乐成正比，也不成反比，也许是。泊松分布。,常见的连续型分布,如果 的分布函数可以表示成如下形式：,其中f(x)为非负可积函数，则称 为连续型随机变量，称f(x)为 的概率密度函数。,定义,均匀分布,=(a+b)/2，2=(b-a)2/12,正态分布,法国数学家德莫弗于1733年提出，德国数学家高斯用来刻画误差。,特点：,单峰钟型对称； 曲线在x=处达到最高； 均值、中位数、众数三者合一，都为 ； 正态分布完全由参数和确定。,性质：,若X服从正态分布，则对任意的常数a、b，Z=aX+b也服从正态分布； 若X、Y皆服从正态分布，且相互独立，则对任意的常数a、b，Z=aX+bY也服从正态分布； 若X1，X2，Xn皆服从正态分布，且相互独立，则对任意常数a1，a2，an，Z=a1X1+a2X2+ +anXn也服从正态分布。,应用：,标准正态分布 XN(0,1),概率密度函数：,分布函数：,正态分布标准化,若XN（ ， 2），则z=(X- )/ 也服从正态分布，且服从标准正态分布，于是X的分布函数,这种将X变量线性变换为Z变量的过程，称为正态分布标准化。,分布,设随机变量X1X2Xn独立且同服从N（0，1）分布，则随机变量 服从自由度为n的 分布，记作 。,性质：,分布为不对称分布，一般为正偏分布，但随着自由度n的增大，曲线逐渐趋向于正态分布； 分布的数学期望=n，方差2=2n； 分布可用于方差估计与检验。,t分布,设随机变量XN（0，1），Y （n），且X与Y相互独立，则随机变量 的分布称为自由度为n的t分布，并记为Tt（n）。,=0，2=n/(n-2),用于总体方差未知时正态总体均值的估计与检验。,大数定律与中心极限定理,大数定律 中心极限定理 Excel应用,练习：,1、设有独立工作的同类设备90台，每台发生故障的概率为0.01，现有三名维修人员管理90台设备，如果每人包30台，求设备发生故障无人修理的概率；如果3人共同负责90台设备，求发生故障无人修理的概率。 2、产品的废品率为0.005，求10000件