统计学第5章概率与概率分布.ppt

第5章 概率与概率分布,5.1 随机事件及其概率,基本概念： 1. 试验：在相同条件下，对事物或现象所进行的观察或实验。 2. 事件：随机试验的每一个可能结果。 3. 随机事件：在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件。 4. 概率：是某一事件在试验中出现的可能性大小的一种度量。,5.2 概率的性质与运算法则,（1） 0P(A) 1 （2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 P() = 1，P()= 0 （3） 若A与B互斥，则 P(AB)= P(A)+P(B) 对于任意两个随机事件 P(AB)= P(A)+P(B)-P（AB）,条件概率： 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为 乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B) 或P(AB)=P(A)P(B|A),【例】设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？ 解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品” (i=1,2)，所求概率为P(A1A2),事件的独立性,1. 一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立 2. 若事件A与B独立， 则P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) 3. 概率的乘法公式可简化为 P(AB)=P(A)P(B) 推广到n个独立事件，有 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2) P(An),全概率公式和贝叶斯公式, 设事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则对任意事件B，有,我们把事件A1，A2，An 看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有A1，A2，An 之一发生的条件下发生，求事件B 的概率就是上面的全概公式,【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据全概公式有,贝叶斯公式 （逆概率公式）,与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因 设n个事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An= (满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则,【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：,随机变量及其分布,一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概率分布 三、连续型随机变量的概率分布,随机变量的概念,1. 一次试验的结果的数值性描述 2. 一般用 X、Y、Z 来表示 3. 在同一组条件下，把每次试验的结果都列举出来，即把X的所有可能值x1,x2,xn都列举出来，其有确定的概率P(x1),P(x2),P(xn)。 则X称为P(X)的随机变量，P(X)称为随机变量X的概率函数。 4. 根据取值情况的不同，分为离散型随机变量和连续型随机变量,离散型随机变量的概率分布,1. 列出离散型随机变量X的所有可能取值 2. 列出随机变量取这些值的概率 3. 通常用下面的表格来表示,P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0 0,P,【例】如规定打靶中域得3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为,离散型随机变量的概率分布,01分布：离散型随机变量X只可能取0和1两个值。,P(X=1) = p P(X=0) = q p, q 0 p + q = 1,【例】已知一批产品的次品率为p0.05，合格率为q=1-p=1-0.5=0.95。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为,均匀分布 一个离散型随机变量取各个值的概率相同 【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为,离散型随机变量的数字特征,（1）数学期望：在离散型随机变量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和,描述离散型随机变量取值的集中程度,（2）方差与标准差 方差：随机变量X的每一个取值与期望值的离 差平方和的数学期望，记为D(X),标准差：随机变量方差的平方根,财务分析中的投资风险问题,【例】一位投资者有一笔现金可用于投资，现有 两个投资项目可供选择。项目A和B有如下 资料可供参考。试比较哪个投资项目较佳？,1.375 1.625 1.875 2.125,7,项目A,项目B,0.2 0.5 0.9 2.8 1.2 0.9 0.5,7,解：比较哪个投资项目较好，要看哪个项目的预期回报率高、风险小。,E(x)=,= 7,项目B的预期回报率为,项目A的预期回报率为,E(x)=,= 7,项目A的标准差为,项目B的标准差为,期望值或平均数衡量平均回报率或收益率 方差或标准差反映每一个可能出现的回报率与平均回报率的平均差异。,方差或标准差越大，回报率的变化越大，风险越高；方差或标准差越小，回报率的变化越小，风险越低；,当投资回报率相等时，风险较小的项目为最佳选择 当投资回报率不相等时，通过离散系数来衡量风险。,【例】如果投资项目A的预期回报率为7%，标准差为5%；投资项目B的预期回报率为12%，标准差为7%，问哪个投资风险较大？ 解：,项目A的离散系数V = 0.05/0.07 = 0.714,项目B的离散系数V = 0.07/0.12 = 0.583,项目A每单位回报率承受0.714单位的风险， 项目B每单位回报率承受0.583单位的风险。 因此，A的风险较大。,常见的离散型概率分布,二项分布,二项分布与贝努里试验有关 贝努里试验具有如下属性 试验包含了n 个相同的试验 每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败” 出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1 试验是相互独立的 试验“成功”或“失败”可以计数,设X为n次重复试验中“成功”出现的次 数，X 取 x 的概率为,二项分布有两个参数，分别为n，p， 故二项分布记作 XB（n，p）,E(X) = np D(X) = npq = np(1-p),二项分布的期望和方差：,【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则XB ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有,泊松分布,用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内某一事件出现次数的分布。 泊松分布的例子 一个城市在一个月内发生的交通事故次数 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数,泊松分布的公式为, 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数,泊松分布的期望和方差 E ( X ) = D ( X ) = ,【例】假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求 （1）X 的均值及标准差 （2）在给定的某周一正好请事假是5人的概率 解：(1) E(X)=2.5； (2),泊松分布 （作为二项分布的近似）,当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即,实际应用中，当 P0.25，n20，np5时，近似效果良好,用Excel计算二项分布概率值 的操作步骤,【插入】 【函数】 “BINOMDIST” 【Number_s】: 成功的次数X 【Trials】: 试验的总次数n 【Probability_s】: 每次试验成功的概率p 【Cumulative】: 输入0（False），表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率； 输入1（True），表示计算成功次数小于或等 于指定数值的累积概率值。,用Excel计算二项分布概率值 的操作步骤,【插入】 【函数】 “POISSON” 【X】：事件出现的次数 【Mean】: 泊松分布的均值 【Cumulative】: 输入0（False），表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率； 输入1（True），表示计算成功次数小于或等 于指定数值的累积概率值。,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量的概率分布,则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)为X 的概率密度函数。,定义：如果对于随机变量X的分布函数F(x), 存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有,概率密度函数,1. 概率密度函数具有以下性质：,（3）,（4）若f(x)在点x处连续,2. 概率密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x),3. 在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 a b，P(a X b)是该曲线下从a到 b的面积,概率是曲线下的面积, 密度函数曲线下的面积等于1 分布函数F ( x0 )是曲线下小于 x0 的面积,连续型随机变量的期望和方差,连续型随机变量的数学期望为,2. 方差为,连续型随机变量的概率分布,均匀分布,1. 若随机变量X的概率密度函数为,称X在区间a ,b上均匀分布,数学期望和方差分别为,均匀分布例题,【例】设连续型随机变量X在有限区间(a,b)内取值， 其概率密度为：,aXb (ab),0,其他,试求：（1）分布函数F(x)；（2）期望值与方差,解：,（1）,xa时，f(x) = 0, 所以F(x) = 0,axb时，,xb时，,F(x)=,0 xa,axb,1 xb,(2),正态分布, 最重要的一种连续型分布； 在实际中应用广泛,正态分布,f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- x ) = 总体均值,定义：如果随机变量X的概率密度为,则称X服从正态分布，记作XN（,2）,正态分布函数的性质,f (x) 0，即概率密度曲线在x轴的上方 正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数 每一特定正态分布通过均值和标准差来区分。 决定曲线的中心位置，决定曲线的陡缓程度。 曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交 随机变量的概率由曲线下的面积给出,标准正态分布函数,任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布,标准正态分布的概率密度函数,标准正态分布的分布函数,标准正态分布,将一般正态分布转换为标准正态分布，再查表 对于负的 x ，可由 (-x) x得到 对于标准正态分布，即XN(0,1)，有 P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1 对于一般正态分布，即XN( , 2)，有,【例】设XN(0，1)，求以下概率： (1) P(X 2)； (3) P(-12)= 1-P(X 2)=1-0.9973= 0.0227 (3) P(-1X 3)= P(X 3)-P(X -1) = (3)-(-1) =(31-(1) = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) P(|X|2)= P(-2X 2) = (2)-(-2) = 2(2)- 1 =0.9545,【例】设XN(5，32)，求以下概率 (1) P(X 10) ； (2) P(2X 10) 解： (1),(2),【例】一本书排版后一校时出现错误处数X服从 正态分布N（200,400），求： （1）出现错误处数不超过230的概率； （2）出现错误处数在190210之间的概率。,解：,（1）,（2）,= 20.6915-1