2019年高考数学总复习专题等比数列及其前n项和导学案理.docx

第三节 等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q0) 数学语言表达式：q(n2，q为非零常数)，或q(nN*，q为非零常数).2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(a10，q0)3等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G，称G为a，b的等比中项4等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.5等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN)(2)若an为等比数列，且若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列 (4)等比数列an的单调性：当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递增数列； 当q1，a10或0q1，a10时，数列an是递减数列；当q1时，数列an是常数列.(5)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(6)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.典型例题考点一等比数列基本量的运算【例1】(1)在等比数列an中，a37，前3项和S321，则公比q的值为()A1B C1或 D1或【答案】C【解析】根据已知条件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)2017江苏高考等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.【答案】32【解析】设an的首项为a1，公比为q，则两式相除得，解得所以a8272532. (3)(2016全国卷)设等比数列满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.【答案】6规律方法1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算【变式训练1】(1)2017全国卷我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏 D9盏【答案】B【解析】设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B.（2）设正项等比数列an的前n项和为Sn，且1，若a3a520，a3a564，则S4等于()A63或120 B256 C120 D63【答案】C【解析】由题意得解得或又0，q1，a3a520，a2a664，则S5_.【答案】31【解析】a3a5a2a664，因为a3a520，所以a3和a5为方程x220x640的两根，因为an0，q1，所以a3a5，所以a516，a34，所以q2，所以a11，所以S531.9.设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B C. D.【答案】A【解析】因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6.故选A.10.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30 C26 D16【答案】B【解析】由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列由(x2)22(14x)，解得x6或x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.故选B.11.(2016全国)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.【答案】（1）略（2）1.【解析】(1)证明由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列， 于是ann1.(2)解由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.12.已知数列an满足对任意的正整数n，均有an15an23n，且a18. (1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.【答案】（1）an3n5n.（2）Tnn.【解析】(1)因为an15an23n，所以an13n15an23n3n15(an3n)，又a18，所以a1350，所以数列an3n是首项为5、公比为5的等比数列所以an3n5n，所以an3n5n.(2)由(1)知，bn1n，则数列bn的前n项和Tn11121nnn.13.已知数列an满足2a14a22nan.(1)求证：数列是等比