2019年高考数学总复习专题等差数列及其前n项和导学案理.docx

第二节 等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知识梳理1等差数列的定义从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数)2等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A.4等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.5等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列(6)等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列(7)等差数列an的前n项和为Sn, 则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列，其公差为n2d.（8）等差数列an的前n项和为Sn，则数列也是等差数列（9）两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则有.6等差数列的前n项和公式与函数的关系 Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)注意：公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值8.等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2 (nN)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列典型例题考点一等差数列的基本运算【例1】（1）(2017全国)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8【答案】C【解析】设an的公差为d，由得解得d4.故选C.（2）(2016全国)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于()A100 B99 C98 D97【答案】C【解析】法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选C法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选C（3）设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.【答案】30规律方法 等差数列运算问题的通性通法（1）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法【变式训练1】（1）在等差数列an中，a24，a3a720，则a8()A8 B12 C16 D24【答案】C【解析】因为数列an是等差数列，由等差数列的性质得：a2a8a3a7，又a24，a3a720，所以a8a3a7a220416.故选C.(2)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()ABC10D12【答案】B【解析】公差为1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.(3)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m()A9 B10 C11D15【答案】B【解析】设等差数列an的公差为d，依题意解得ama1(m1)d7m4030，m10.考点二等差数列的判断与证明【例2】已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列(2)求数列an中的通项公式an.【答案】（1）略；（2）an1.【解析】 (1)证明：因为an2(n2，nN*)，bn.所以n2时，bnbn11.又b1，所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bnn，则an11.规律方法1.等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(解答题)（2）等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(解答题)(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(小题)(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列(小题)注意：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.2用定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义【变式训练2】 若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式.【答案】（1）略；（2）an【解析】(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式. 故an考点三 等差数列的性质及应用【例3】(1)在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A.1 B.0 C.1 D.6【答案】B【解析】由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B.（2）在等差数列an中，已知a4a1012，则该数列前13项和S13_.【答案】78【解析】由等差数列的性质与前n项和公式，得S1378.（3）设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9()A63 B45 C36 D27【答案】B【解析】由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.（4）已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8，则an的通项公式是_【答案】an3n5或an3n7.【解析】设等差数列an的前三项为a2d，a2，a2d，由题意得 解得 或所以an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.（5）等差数列an中，Sn是其前n项和，a19，2，则S10()A0 B9C10 D10【答案】A【解析】因为是等差数列，且公差为d1，故1(101)990，故选A规律方法应用等差数列的性质应注意两点(1)在等差数列an中，若mnpq2k(m、n、p、q、kN*)，则amanapaq2ak是常用的性质(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口【变式训练3】（1）在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.【答案】18【解析】由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a518(2)已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332.若am8，则m()A8 B12 C6 D4【答案】A【解析】由a3a6a10a1332，得(a3a13)(a6a10)32，即4a832，a88，m8.故选A. (3)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.【答案】B 【解析】S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.(4)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】.(5)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A10 B20 C30 D40【答案】A【解析】设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25152n，故2n10，即数列的项数为10.故选A.考点四 等差数列前n项和的最值问题【例4】（1）等差数列n中，已知50，470，则n的前n项和Sn的最大值为()AS7 BS6 CS5 DS4【答案】C【解析】 Sn的最大值为S5.（2）设数列an是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n()A5 B6 C5或6 D11【答案】C【解析】由题意，得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大，故选C.(3)在等差数列an中，已知a110，前n项和为Sn，若S9S12，则Sn取得最大值时，n_，Sn的最大值为_.【答案】当n10或11时，Sn有最大值，且最大值为S10S1155.【解析】法一：a110，S9S12，910d1210d，d1.ann11.a110，即当n10时，an0，当n12时，an0，当n10或11时，Sn取得最大值，且最大值为S10S111010(1)55.法二：同法一求得d1.Sn10n(1)n2n.因为nN，所以当n10或11时，Sn有最大值，且最大值为S10S1155.法三：同法一求得d1.又由S9S12得a10a11a120.3a110，即a110.当n10或11时，Sn有最大值且最大值为S10S1155.规律方法求等差数列前n项和Sn最值的两种方法1函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解2邻项变号法：(1)当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；(2)当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.【变式训练4】（1）等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n()A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】2a64,2a72，a620，a710.又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6，故选B.（2）等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】(1)法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a85时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20100130.课后总结1.等差数列的判定方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法2.方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解3.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定课后作业1.设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.【答案】72【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得S16163(1)72.2.设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2 D2【答案】A【解析】法一(常规解法)：设公差为d，则8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6.法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.3.数列an满足2anan1an1(n2)，且a2a4a612，则a3a4a5等于()A9 B10 C11 D12【答案】D【解析】数列an满足2anan1an1(n2)，则数列an是等差数列，利用等差数列的性质可知，a3a4a5a2a4a612.故选D.4.在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.【答案】1105.在等差数列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A21B20C19D18【答案】B【解析】因为a1a3a53a3105，a2a4a63a499，所以a335，a433，所以d2，a139.由ana1(n1)d392(n1)412n0，解得n，所以当n20时Sn达到最大值，故选B6.已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 017_.【答案】4034【解析】由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为D则6d6，d1.故2 016d2 0142 0162，S2 01722 0174 034.7.若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，已知，则_.【答案】 【解析】.8.(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列【答案】(1)an(2)n；(2) Sn1，Sn，Sn2成等差数列【解析】(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12. 故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列9.在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S1