高考数学第8章立体几何初步第7节空间角与距离高考AB卷理.docx

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第8章 立体几何初步 第7节 空间角与距离高考AB卷 理直线与平面所成的角及二面角1.(2014全国，11)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B. C.D.解析以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BCCACC12，则A(2，0，2)，N(1，0，0)，M(1，1，0)，B(0，2，2)，(1，0，2)，(1，1，2)，cos，故选C.答案C2.(2013大纲全国，10)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B. C.D.解析设AB1，则AA12，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.如图所示：则D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2).(1，1，0)，(0，1，2)，(0，1，0)，设n(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即，取n(2，2，1).设CD与平面BDC1所成角为则sin ，故选A.答案A3.(2012全国，19)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小.(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.BC平面BCD，故DC1BC.(2)解由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直.以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2).则(0，0，1)，(1，1，1)，(1，0，1).设n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则即可取n(1，1，0).同理，设m(x1，y1，z1)是平面C1BD的法向量.则即可取m(1，2，1).从而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小为30.空间距离4.(2012大纲全国，4)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A.2B. C.D.1解析连接AC交BD于点O，连接OE，AB2，AC2.又CC12，则ACCC1.作CHAC1于点H，交OE于点M.由OE为ACC1的中位线知，CMOE，M为CH的中点.由BDAC，ECBD知，BD平面EOC，CMBD.CM平面BDE.HM为直线AC1到平面BDE的距离.又ACC1为等腰直角三角形，CH2.HM1.答案D直线与平面所成的角及二面角1.(2014广东，5)已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A.(1，1，0)B.(1，1，0)C.(0，1，1)D.(1，0，1)解析设选项中的向量与a的夹角为，对于选项A，由于cos ，此时夹角为120，不满足题意；对于选项B，由于cos ，此时夹角为60，满足题意.故选B.答案B2.(2014四川，8)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin 的取值范围是()A. B. C. D.解析易证AC1平面A1BD，当点P在线段CC1上从C运动到C1时，直线OP与平面A1BD所成的角的变化情况：AOA1C1OA1(点P为线段CC1的中点时，)，由于sinAOA1，sinC1OA1，sin 1，所以sin 的取值范围是，1.答案B3.(2013山东，4)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B. C.D.解析如图所示，由棱柱体积为，底面正三角形的边长为，可求得棱柱的高为.设P在平面ABC上射影为O，则可求得AO长为1，故AP长为2.故PAO，即PA与平面ABC所成的角为.答案B4.(2015四川，14)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_.解析建立空间直角坐标系如图所示，设AB1，则，E，设M(0，y，1)(0y1)，则，cos .设异面直线所成的角为，则cos |cos |，令t1y，则y1t，0y1，0t1，那么cos |cos |，令x，0t1，x1，那么cos ，又z9x28x4在1，)上单增，x1，zmin5，此时cos 的最大值.答案5.(2016四川，18)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE.所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角PCDA的平面角.所以PDA45.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA平面ABCD，从而PACE.且PAAHA，于是CE平面PAH.又CE平面PCE所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH.所以sinAPH.法二由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角.所以PDA45.由PAAB，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0).所以(1，0，2)，(1，1，0)，(0，0，2).设平面PCE的法向量为n(x，y，z).由得设x2，解得n(2，2，1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.6.(2016北京，17)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M；使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.(1)证明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD.又ABAD，AB平面ABCD.AB平面PAD.PD平面PAD.ABPD.又PAPD，PAABA.PD平面PAB.(2)解取AD中点O，连接CO，PO，PAPD，POAD.又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，CO平面ABCD，POCO，ACCD，COAD.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，1，0)，C(2，0，0).则(1，1，1)，(0，1，1)，(2，0，1).(2，1，0).设n(x0，y0，1)为平面PDC的一个法向量.由得解得即n.设PB与平面PCD的夹角为.则sin |cosn，|.(3)解设M是棱PA上一点，则存在0，1使得，因此点M(0，1，)，(1，)，因为BM平面PCD，所以BM平面PCD，当且仅当n0，即(1，)0，解得，所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.7.(2015安徽，19)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EFB1C.(2)求二面角EA1DB1的余弦值.(1)证明由正方形的性质可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1CA1D，又A1D面A1DE，B1C面A1DE，于是B1C面A1DE.又B1C面B1CD1.面A1DE面B1CD1EF，所以EFB1C.(2)解因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD.以A为原点，分别以，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为.设面A1DE的法向量n1(r1，s1，t1)，而该面上向量，(0，1，1)，由n1.n1得r1，s1，t1应满足的方程组(1，1，1)为其一组解，所以可取n1(1，1，1).设面A1B1CD的法向量n2(r2，s2，t2)，而该面上向量(1，0，0)，(0，1，1)，由此同理可得n2(0，1，1).所以结合图形知二面角EA1DB1的余弦值为.8.(2015重庆，19)如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值.(1)证明由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE.由CE2，CDDE得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.(2)解由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE，如图，过D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又已知EB1，故FB2.由ACB得DFAC，故ACDF.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A，E(0，2，0)，D(1，1，0)，(1，1，0)，(1，1，3)，.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2，1，1).由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2(1，1，0).从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos n1，n2，故所求二面角APDC的余弦值为.9.(2015北京，17)如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点.(1)求证：AOBE；(2)求二面角FAEB的余弦值；(3)若BE平面AOC，求a的值.(1)证明因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB.AO平面AEF，所以AO平面EFCB.所以AOBE.(2)解取BC中点G，连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB.又OG平面EFCB，所以OAOG.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则E(a，0，0)，A(0，0，a)，B(2，(2a)，0)，(a，0，a)，(a2，(a2)，0).设平面AEB的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则x，y1，于是n(，1，1).平面AEF的法向量为p(0，1，0).所以cosn，p.由题知二面角FAEB为钝角，所以它的余弦值为.(3)解因为BE平面AOC，所以BEOC，即0，因为(a2，(a2)，0)，(2，(2a)，0)，所以2(a2)3(a2)2.由0及0a2，解得a.10.(2015四川，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N. (1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN平面BDH； (3)求二面角AEGM的余弦值.(1)解点F，G，H的位置如图所示.(2)证明连接BD，设O为BD的中点，因为M，N分别是BC，GH的中点，所以OMCD，且OMCD，HNCD，且HNCD，所以OMHN，OMHN，所以MNHO是平行四边形，从而MNOH，又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH.(3)解法一连接AC，过M作MPAC于P，在正方体ABCDEFGH中，ACEG，所以MPEG，过P作PKEG于K，连接KM，所以EG平面PKM，从而KMEG，所以PKM是二面角AEGM的平面角，设AD2，则CM1，PK2，在RtCMP中，PMCMsin 45，在RtPKM中，KM，所以cosPKM，即二面角AEGM的余弦值为.法二如图，以D为坐标原点，分别以，方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，设AD2，则M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，所以，(2，2，0)，(1，0，2)，设平面EGM的一个法向量为n1(x，y，z)，由取x2，得n1(2，2，1)，在正方体ABCDEFGH中，DO平面AEGC，则可取平面AEG的一个法向量为n2(1，1，0)，所以cosn1，n2，故二面角AEGM的余弦值为.11.(2014陕西，17)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.(1)证明由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形.又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形.(2)解法一如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，(0，0，1)，(2，2，0)，(2，0，1).设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0，得取n(1，1，0)，sin |cos，n|.法二建立以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E是AB的中点，F，G分别为BD，DC的中点，得E(1，0，)，F(1，0，0)，G(0，1，0).，(1，1，0)，(2，0，1).设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得 取n(1，1，0)，sin |cos，n|.12.(2014天津，17)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.13.(2013湖南，19)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，BB1BDB，所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1.从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190.在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故.即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设ABt，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3).从而(t，3，3)，(t，1，0)，(t，3，0).因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1，0).因为3300，所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0，3，3)，(，1，0)，(0，1，0).设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin|cosn，|.空间距离14.(2014江西，10)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB11，AD7，AA112.一质点从顶点A射向点E(4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i2，3，4)，L1AE，将线段L1，L2，