[研究生入学考试]线性代数——二次型.ppt

5.1二次型的概念,称为n元二次型.简称二次型。,每项都是二次的多项式称为二次型（或二次齐式）,例如,都为实二次型；,2、二次型的表示方法,例1、将二次型,用矩阵表示。,3、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例2,4、合同变换,设有一个可逆的线性变换，,定义5.2. 对于n阶矩阵A和B,如果存在n阶可逆矩阵C,使得B=CTAC,就称A合同于B,记作AB，对A进行运算称为对A进行合同变换.,矩阵间的合同关系具有反身性,对称性,和传递性.,为二次型的标准形.,5.2 化二次型为标准型,例如,若标准形的系数只取1，-1，0，即,称为二次型的规范形。,要使二次型 经可逆线性变换x=Cy化为标准形,就是要使,因此，化二次型为标准形就是对于对称矩阵A寻找可逆矩阵C，使与A合同的矩阵CTAC为对角阵。,1 正交变换法,定理5.1,对于任一个n元二次型,总有正交变换x=Py(P为n阶正交矩阵），使 f(x1,x2,xn)化为标准形,常见的化二次型为标准形的方法,其中1, 2， n是实对称矩阵A的特征值，P的n个列向量p1,p2,pn是A的对应于特征值1, 2， n的两两正交的单位特征向量.,推论5.1,对于任一个n元二次型,总有可逆线性变换x=Cz，使f(Cz)为规范形。,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例3,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,2 配方法,例5、化二次型为标准形,解：将 的项归并起来，得,令,经过可逆线性变换,将二次型化为标准型：,例5、化二次型为标准形,解,f不含平方项，含有x1,x2的乘积项，因此先用代换产生平方项,再配方，得,则有,令,所求得可逆变换矩阵为,说明：用配方的方法化二次型为标准型方法： 1）、若二次型不含平方项，仅含乘积项，先引入代换产生平方项后，再配方； 2）、若二次型含平方项，集中含有平方项的某一个变量所有项的平方，对余下的变量同样进行配方作平方和。 注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是正交变换，因此标准型中平方项前的系数不一定是特征值。,思考题,思考题解答,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,5.3 正定二次型,1、惯性定理,2、正(负)定二次型的概念,例如,为正定二次型,为负定二次型,证明,充分性,故,3、正(负)定二次型的判别,必要性,故,推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,证毕.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1. 正定二次型的概念，