《计算机图形学教学资料》第10讲-5-2三维变换.ppt

2019/4/4,1,第三节 三维几何及建模变换,三维图形的几何变换及其矩阵表示 平移变换 旋转变换 缩放变换 反射变换 错切变换 物体在不同坐标系之间的建模变换,2019/4/4,2,三维代数空间定义,基底：,任意矢量：,定理:三维空间中任意矢量可唯一地表示为其基底的线性组合,2019/4/4,3,三维几何变换的代数表示,2019/4/4,4,三维几何变换的矩阵表达式,引入齐次坐标后可表示为：,2019/4/4,5,平移变换（1）,2019/4/4,6,平移变换（2）,记为：,其中,三维平移变换矩阵：,2019/4/4,7,平移变换（3）,点的平移 图形的平移,2019/4/4,8,缩放变换（1）,相对于原点进行的缩放变换矩阵,记为：,2019/4/4,9,缩放变换（2）,相对于任意点的缩放,设缩放参考点为：,则分解为：平移、关于坐标原点的缩放以及逆平移变换,2019/4/4,10,缩放变换（3）,即：,2019/4/4,11,缩放变换（4）,2019/4/4,12,旋转变换（1）,由旋转轴和旋转角度确定 二维旋转变换是三维空间中绕Z轴的旋转,记为：,2019/4/4,13,以X为轴的旋转变换（1）,可视作x,y,z坐标系变换为y,z,x坐标系,变换矩阵为：,2019/4/4,14,以X为轴的旋转变换（2）,记为：,2019/4/4,15,以Y为轴的旋转变换（1）,可视作x,y,z坐标系变换为z,x,y坐标系，变换矩阵为：,2019/4/4,16,以Y为轴的旋转变换（2）,记为：,注：相反角度的旋转实现其逆变换,2019/4/4,17,绕任意轴的旋转变换（1）,旋转轴不与坐标轴重合时变换的实现： 经复合变换使旋转轴与坐标轴重合 绕指定轴进行旋转变换 还原坐标系,2019/4/4,18,绕任意轴的旋转变换（2）,（1）平移使P1与坐标原点重合,不妨设P1P2为方向矢量，P2点为(a,b,c),2019/4/4,19,X,Y,Z,O,P1,P2,2019/4/4,20,X,Y,Z,X,Y,Z,O,绕任意轴的旋转变换(3),（2）绕X轴旋转使指定旋转轴落在XZ面上,2019/4/4,21,X,Y,Z,X,Y,Z,O,2019/4/4,22,X,Y,Z,X,Y,Z,O,2019/4/4,23,X,Y,Z,X,Y,Z,O,2019/4/4,24,X,Y,Z,X,Y,Z,O,2019/4/4,25,X,Y,Z,X,Y,Z,O,2019/4/4,26,X,Y,Z,X,Y,Z,O,2019/4/4,27,X,Y,Z,X,Y,Z,O,此时P2点为(a,0,d),P2,2019/4/4,28,绕任意轴的旋转变换（4）,（3）绕Y轴旋转使指定旋转轴与Z轴重合,X,Y,Z,X,Y,Z,O,2019/4/4,29,X,Y,Z,X,Y,Z,O,2019/4/4,30,绕任意轴的旋转变换（5）,（4）绕Z轴即指定旋转轴旋转指定角度,2019/4/4,31,绕任意轴的旋转变换（6）,（5）坐标系还原 上述变换的复合实现绕任意轴的旋转：,2019/4/4,32,对称变换（1）,是关于某个对称轴或对称平面进行的 关于某个轴进行的反射变换等同于关于该轴做180度的旋转变换 例如：关于Z轴的对称变换矩阵为：,考虑：关于任意轴的对称变换,2019/4/4,33,对称变换（2）,当反射平面是坐标平面时，等同于进行左、右手坐标系的互换，相应变换矩阵是把第三维坐标值取反 例如：关于xy平面的反射变换矩阵为：,2019/4/4,34,对称变换（3）,关于任意平面的反射 可以分解为 平移、旋转（使得指定的反射平面与某坐标平面重合） 关于坐标平面的反射 逆变换,2019/4/4,35,错切变换,依赖轴：对应坐标保持不变 方向轴：对应坐标关于依赖轴坐标呈线性变化 变换表达式分别是：,2019/4/4,36,建模变换（1）,实现两个不同坐标系之间的转换 新坐标系定义方式如右图所示：,2019/4/4,37,建模变换（2）,可由线性代数方法得到建模变换公式： （即：新坐标系的坐标轴在旧坐标系下的表示矩阵的逆矩阵）,当坐标系使用不同的缩放时，还需定义缩放补偿。,2019/4/4,38,建模变换的合成方法（3）,可由以下变换复合得到同样结果： 平移：使两坐标系原点重合 绕X轴旋转：使Z轴落在XOZ面上； 绕Y轴旋转：使Z轴与Z轴重叠； 绕Z轴旋转：