自动控制系统的数学描述.pptVIP

2019/4/4,1,第二章 自动控制系统的数学描述,第一节 概论 第二节 机理分析建模方法 第三节 拉氏变换和传递函数 第四节 典型环节的动态特性 第五节 系统方框图等效变换 起点中文阅读 ,第一节 概论,系统的数学模型: 描述系统各变量之间关系的数学表达式 如微分方程、传递函数 控制系统的数学模型关系到对系统性能的分析结果，本章将对系统和元件数学模型的建立、传递函数的概念、结构图的建立及简化等内容加以论述。,课题： 第二节 机理分析建模方法,目的、要求： 理解电气系统、液力系统的建模过程 重点： 一阶系统、二阶系统的建模,2.1 建模举例,单容水箱 已知: 流入量 Qi, 流出量 Qo, 截面 A; 液位 H 求: 以 Qi 为输入，H 为输出的系统动态方程式. 解: 根据物质守恒定律 中间变量为 Qo, 据流量公式 线性化处理: 规范化,Qi,Qo,A,H,液力系统,2.1 建模举例,RLC 电路 求: 以U i为输入，U o为输出的系统动态方程式. 解: 由基尔霍夫定律 消中间变量,Ui,Uo,C,L,R,i,电气系统,2.2 建立模型小结,确定系统的输入、输出变量； 根据系统的物理、化学等机理，依据列出各元件的输入、输出运动规律的动态方程； 消去中间变量，写出输入、输出变量的关系的微分方程。,课题：,要求： 掌握:拉氏变换的定义， 几种典型函数的拉氏变换，拉氏变换的性质 传递函数的概念 重点：由建模得微分方程,第三节 拉氏变换与传递函数,拉氏变换,传递函数,3.1 拉普拉斯(Laplace )变换,定义 1.拉氏变换的定义 其中 x(t)_原函数, X(s)_象函数, 复变量 s = + j 2.拉氏反变换的定义,单位阶跃函数的拉氏变换,1) 线性定理 设：,拉氏变换的性质与定理,2) 微分定理,各初值为0时,3) 积分定理,各初值为0时,4）终值定理 5) 初值定理,3.2 传递函数,定义 零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比 设输入为r(t),输出为 y(t) ,则系统的传递函数为:,单容水箱:,零初始条件下对微分方程进行拉氏变换,令,如果Qi (s)不变,则输出H(s)的特性完全由G(s)的形式与数值决定.可见,G(s)反映了系统自身的动态本质.,G(s),Q i(s),H(s),传递函数的引入,传递函数的求取,对微分方程进行拉氏变换(零初始条件) 系统微分方程: 零初始条件拉氏变换: 整理得传递函数:,1) 传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与输入量的大小和性质无关 2）实际系统的传递函数是S的有理分式（nm） 3）传递函数与微分方程有相通性，两者可以相互转换 4）传递函数只适用于线性定常系统,传递函数的性质,3.3 控制系统的微分方程与传递函数,控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变，便需要重新列写并求解微分方程。 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的概念,传递函数概念的进一步说明,由基尔霍夫定律，,(3. 0),(3. 1),消去中间变量i(t)，,(3. 2),图 RC电路,输入ur(t),输出uc(t),两端进行拉氏变换，并考虑电容上的初始电压uc(0)， 得:,(3. 3),(3. 4),(3. 5),第一项称为零状态响应， 由ur(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压uc (0)决定的 分量。,图 RC网络的阶跃响应曲线,当ur(t)= u01(t)时，,根据线性系统的叠加原理 若 uc(0)=0，则 :,(3. 6),当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(3. 6) 写为:,(3. 7),用式(3. 7)来表征电路本身特性，称做传递函数，即：,式中T=RC,上图表明了电路中电压的传递关系，即输入电压Ur(s)， 经过G(s)的传递，得到输出电压Uc (s)=G(s)Ur (s) 。,注意: 传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件） 时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义:,1)系统输入量及其各阶导数 在t=0时的值均为零； 2)系统输出量及其各阶导数 在t=0时的值也为零。,课题：第四节 典型环节的动态特性和传递函数,要求： 掌握典型环节的动态特性和传递函数 难点： 微分环节、惯性环节,第四节 典型环节的动态特性和传递函数,4.1 比例环节 4.2 积分环节 4.3 微分环节 4.4 惯性环节 4.5 振荡环节 4.6 迟延环节,4.1 比例环节,动态方程: y(t)=K x(t) 传递函数: G(s)=Y(s)/X(s)=K 阶跃响应: ,t,y=Kx0,0,t,x0,X(t),Y(t),特点:输入与输出成比例,4.2 积分环节,动态方程: 传递函数: 阶跃响应: ,t,0,X(t),x0,Y(t),特点： T大则积分慢,水泵,Q0,Qi,hy,Qx=Qi-Q0,例,4.3 微分环节,动态方程: (理想) (实际) 阶跃响应: 传递函数:,t,x=x0,Td,Kdx0,Td：微分作用时间,4.4 惯性环节,动态方程: 传递函数: 阶跃响应:,t,x=x0,Tc,Kx0,特点:,Tc 决定过渡过程时间,K 决定稳态输出值.,例:单容水箱 已知: 流入量 Qi, 流出量 Qo, 截面 A; 液位 H 求: 以 Qi 为输入，H 为输出的系统动态方程式. 解: 线性化处理:,Qi,Qo,A,H,代换得,零初始条件下对微分方程进行拉氏变换,4.5 振荡环节,动态方程: 传递函数: 单位阶跃响应: 特点: 决定了振荡特性, n 决定振荡周期.,t,y,1,4.6 迟延环节,动态方程: 传递函数: 阶跃响应:,t,y(t)=x0 t,x=x0,Y(t),特点: y(t)比x(t)迟延了一段时间.,课题： 第五节 系统方框图等效变换,要求： 掌握方框图等效变换基本概念 ，等效变换规则,难点： 系统方框图等效变换的具体应用,第五节 系统方框图等效变换,5.1 基本概念 5.2 等效变换规则 5.3 应用举例,1 基本概念,（一 ）方框图的概念 右图RC网络的微分方程式为:,(5. 1),(5. 2),即,对二式进行拉氏变换，得,(5. 2a),(5. 1a),:,图 (a)描绘了 图 (b)表示了 将图(a)、图 (b)合并如图 (c) ，得RC网络的结构图。,图中 符号表示信号的代数和，箭头表示信号的传递方向，称作“加减点”或“综合点”。,（二）系统结构图的建立 其步骤如下： （1）建立控制系统各元部件的微分方程。 （2）对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。 （3）按系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，置系统的输入变量于左端，输出变量于右端，便得到系统的结构图。,（三）结构图的等效变换 等效变换-方框图合并和分解变换前后 输入输出关系不变，效果等同。 结构图的运算和变换，就是将结构图化为一个等效的方框，使方框中的数学表达式为总传递函数。 结构图的变换应按等效原理进行。,结构图的基本组成形式,结构图的基本组成形式可分为三种： （1）串联连接 方框与方框首尾相连。前一个方框的输出，作为后一个方框的输入。 （2）并联连接 两个或多个方框，具有同一个输入，而以各方框输出的代数和作为总输出。 （3）反馈连接 一个方框的输出，输入到另一个方框，得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端。,A处为综合点，返回至A处的信号取“+”，称为 正反馈；取“-”，称为负反馈。负反馈连接是控制系统 的基本结构形式。,图 反馈连接,结构图中引出信息的点（位置）常称为引出点。,2 等效变换规则 （1）串联方框的等效变换,图 串联结构的等效变换,由图可写出,图 n个方框串联的等效变换,n个传递函数依次串联的等效传递函数，等于 n个传递函数的乘积。,图 n个方框并联的等效变换,（2）并联连接的等效变换 G1(s)与G2(s)两个环节并联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的代数和，即：,G(s)= G1(s)G2(s),（3）反馈连接的等效变换,由图 (a) 得：,图 (a):反馈连接的一般形式，图 (b):其等效变换,消去E(s)和B(s)，得:,得 :,上式为系统的闭环传递函数。 注:式中分母的加号，对应于负反馈；减号对应于正反馈。,H(s)=1，常称作单位反馈，此时:,（4）综合点与引出点的移动 a. 综合点前移 挪动前的结构图中，信号关系为:,图 (a) 原始结构图 (b) 等效结构图,挪动后，信号关系为:,b. 综合点之间的移动,图 (a)原始结构图 (b) 等效结构图,挪动前，总输出信号 : 挪动后，总输出信号 :,c. 引出点后移 ,图 (a)原始结构图 (b) 等效结构图,挪动后的支路上的信号为:,d. 相邻引出点之间的移动,图 相邻引出点的移动,若干个引出点相邻，引出点之间相互交换位置，完全不会改变引出信号的性质。,3应用举例 例:简化下图系统的结构图， 求系统传递函数GB (s) 即C(s)/R(s)。,解: 1)将综合点后移，然后交换综合点的位置，化为图 (a)。 2)对图 (a)中由G2，G3，H2组成的小回路实行串联及反馈变换，简化为图 (b)