赵洪銮《离散数学》第五章5节.ppt

1,1、阿贝尔群 定义5-5.1：如果群中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群(Abel)，或称交换群。 思考：与群的关系 满足哪些条件,5-5 阿贝尔群和循环群,2, 满足封闭性和可结合性 f0是 的幺元； f0，f2的逆元是自身，f1 ，f3互逆， 由运算表可知是可交换的。 是一个阿贝尔群,例1：设S=a,b,c,d，双射函数f：f(a)=b，f(b)=c，f(c)=d，f(d)=a，构造复合函数，f0(x)= x，f1=f，f2=f(f(x)，； 构造集合F=f0, f1, f2, f3，证明是一个阿贝尔群。,证明： F=f0，f1，f2，f3上的运算表如下,3,定理5-5.1：设是一个群，是阿贝尔群的充要条件是对任意的a, bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。,证明：充分性： a*(a*b)*b = ( a*a )*(b*b ) = (a*b)*(a*b) = a*(b*a)* b a-1*(a*(a*b)*b)*b-1= a-1*(a*(b*a)*b)*b-1， 得： a*b=b*a 可交换 是阿贝尔群。 必要性：设是阿贝尔群，则对任意的a, bG 有 a*b=b*a 则 (a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b =a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b),4,定义5-5.2：设为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。 即 G是由a生成的循环群xG，iZ使x=ai,2、循环群,5,例：设是由下面的运算表定义的四阶群，G是否为循环群。,b1=b b2=b*b=a b3=a*b=c b4=c*b=e,c1=c c2=c*c=a c3=a*c=b c4=b*c=e,循环群的生成元不唯一,6,定理5-5.2：任何一个循环群必定是阿贝尔群,证明：设是一个循环群，它的生成元是a，那么对于任意的x, yG， 必有r, sI，使得 x=ar， y=as x*y= ar * as= ar+s = y*x， 是一个阿贝尔群。,7,定理5-5.3 设是一个由元素aG生成的有限循环群。如果G的阶数是n，即|G|=n，则an=e，且G=a, a2, a3, , an-1, an=e，其中，e是中的幺元，n是使an=e的最小正整数(称n为元素a的阶)。,证明: (1)不存在m，m是循环群，xG，有x=ak(kI) 且k=mq+r，其中q是k/m的商，r是余数，显然0 r m 所以有ak=amq+r=(am)q*ar=ar 与|G|=n相矛盾,8,(2)a，a2，an各不相同 假定ai=aj，且1 ijn，有aj-i=e 且1j-in，这在前面证明是不可能的，故a，a2，an各不相同，因此G=a, a2, , an=e,为群，则其为循环群的充要条件是在G中存在一个阶为n的元素a，其中|G|=n。,9,例3 设G=，在G上定义二元运算*，求证是一个循环群。,证明：由运算表可知，*是封闭的。 是幺元， 、的逆元分别是、 。 在这个代数系统中，有 2 = ， 3 = ， 4 = ， 2 = ， 3 = ， 4 = 又(