届海南人教版学海导航高中新课标总复习（第1轮）文数：第6课时函数的奇偶性和周期性.ppt

1,第六课时,函数的奇偶性和周期性,第二章 函 数,2,1函数的奇偶性 （1）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数，其图象关于 对称. （2）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象关于 对称.,f（-x）=f（x）,y轴,f（-x）=-f（x）,原点,3,2.函数的周期性 设函数y=f（x）， xD，如果存在一 个 T，使得对任何xD，都有 ，则称函数f（x）为周期函数，T为y=f（x）的一个周期.如果在所有的周期中存在一个 ，那么这个 叫做f（x）的最小正周期，简称周期.,非零常数,f（x+T）=f（x）,最小正数,最小正数,4,1.（2008福建卷）函数 f（x）=x3+sinx+1（xR）,若f（a）=2,则 f（-a）的值为（ ） A. 3 B. 0 C. -1 D. -2,5,方法1：因为f（a）=2,即a3+sina+1=2,所以a3+sina=1, 所以f（-a）=（-a）3+sin（-a）+1= -（a3+sina）+1=-1+1=0. 方法2：易知h（x）=f（x）-1为奇函数，所以f（-a）=h（-a）+1=-h（a）+1= -f（a）+2=0,故选B. 答案：B,6,2.偶函数f（x）在（-,0上是增函数，若f（a）f（2），则a的取值范围是（ ） A. （-,2 B. -2,+） C. -2,2 D. （-,-22,+） 因为f（x）为偶函数，所以f（-2）=f（2）.而f（x）在（-,0上递增，且f（a）f（2），所以a-2或a2,故选D.,7,3.已知函数f（x）满足f（x+2）= -f（x）.当x1,3时，f（x）= ，则 f（-6）=（ ） A. 1 B. C. -1 D. 由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期是4，所以f（-6）=f（-2）=f（2）= ,故选D.,8,4.偶函数f（x）在（0,+）上是减函数，若f（ ）0f（ ），则方程f（x）=0的根的个数是 . 数形结合，易知方程f（x）=0在区间（ , ）,（ , ）上各有一个根，故原方程共有2个根.,9,5.设函数f（x）为R上的奇函数，f（1）= ，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）= . 取x=-1，则f（1）=f（-1）+f（2）= -f（1）+f（2），得f（2）=2f（1）.因为 f（1）= ，所以f（2）=1.故f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）=f（1）+2f（2）= .,10,1.函数的奇偶性和周期性 （1）函数f（x）,g（x）在区间-a,a上都是奇函数，设h（x）=f（x）+g（x）, v（x）=f（x）g（x），判断h（x）,v（x）的奇偶性，h（x）是 ；v（x）是 .,奇函数,偶函数,11,（2）给出下列函数：（）y=lg|x|；（）y=xsinx；（）y=xcosx；（）y=2x+2-x，其中偶函数的个数是 . （3）已知函数f（x）=cos2x，若对于正 数b，有f（2b+x）=f（x），则b的最小值 为 . （4）分析函数f（x）=x2+ 的奇偶性： .,3,若a=1，则是偶函数，,若a1，则是非奇非偶函数,12,2.函数的奇偶性与周期性的应用 （1）已知f（x）=x3+bsinx+1（b0）. 若f（-3）=5，则f（3）= . （2）已知f（x）= ， 若f（x）+f（-x）=0，则a= .,-3,13,（3）已知R上的函数f（x）满足f（x+2）= .若f（1）= ，则f（2011） = . （4）函数f（x）=ax2+bx+3a+b是区间 a-1,2a上的偶函数，则a= ，b= .,2011,0,14,3.抽象函数的奇偶性与周期性 （1）已知函数y=f（x+2）是奇函数，若 f（5）=3，则f（-1）= . （2）已知f（x）是R上的奇函数，下列判断正确的是 . （）f（x）f（-x）0； （）f（x）f（-x）0； （）f（x）-f（-x）0； （）f（x）-f（-x）0.,-3,（）,15,（3）已知f（x）是R上的函数，若对任意的实数x、y，都有f（x+y）=f（x）+ f（y），则f（x）具有奇偶性，是奇函数还是偶函数 . （4）已知定义在R上的函数f（x），对正数b，总有f（x-b）=f（x+b）成立，则f（x）是周期函数，周期T= . （5）函数f（x）满足f（x+1）= ，则f（x）是周期函数，周期T= .,奇函数,2b,2,16,题型1 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性.,17,（1）由 0，得-1x1,故f（x）的定义域关于原点对称. 又f（-x）= = = = -f（x）， 故原函数是奇函数. （2）由 0，得-1x1，定义域不关于原点对称，故原函数是非奇非偶函数.,18,（3）定义域为（-,0）（0,+），它关于原点对称.又当x0时，f（x）=x2+x，则当x0,故f（-x）=x2-x=f（x）; 当x0时，-x0, 故f（-x）=x2+x=f（x）. 故原函数是偶函数. （4）因为定义域为一切实数，且f（-x）= =-f（x）， 故原函数是奇函数.,19,【评注】在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f（x）与f（-x）是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）+f（-x）=0（奇函数）或f（x）-f（-x）=0（偶函数）是否成立，这样能简化运算.,20,如本题中（4），判断f（x）+f（-x）=0是否成立，要方便得多.本题（3）是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数.分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式 f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.,21,判断下列函数的奇偶性. （1）因为定义域-1,1关于原点对称，且f（-x）=f（x）=0，所以原函数既是奇函数又是偶函数.,22,（2）由1-x20，得-1x1,则|x-2|-2=-x，且 f（-x）=-f（x）,故原函数是奇函数. （3）因为定义域为全体实数，且f（-x）= =-f（x），故原函数是奇函数.,23,题型2 函数奇偶性的应用 若函数 是奇函数，求实数a的值. 方法1：由f（x）+f（-x）=0，得 即loga2a2=0，所以2a2=1.,24,因为a0，所以a= . 方法2：因为奇函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义， 则f（0）=0,即 ，则2a2=1,得 a= . 【评注】抓住奇函数的定义或特殊性质，是解决此类问题的重要法宝.,25,已知函数 长方形和部（a,b,cZ）是奇函数，又f（1）=2，f（2）3，且f（x）在1，+）上递增，求a,b,c的值. 由f（-x）=-f（x），得 .比较等式两边的系数 知c=0，所以 .,26,因为f（1）=2，所以 ，即2b=a+1.又因为f（2）3，f（x）在 1，+）上递增，所以2f（2）3， 即2 3.联立解得 a2.因为aZ，所以a=1，则b=1. 综上所述，a=b=1,c=0.,27,题型3 函数的周期性 偶函数f（x）满足f（x+3）=-f（x），当x-3,-2时，f（x）=2x，求f（1165）的值. 因为f（x+6）=f3+（x+3）= -f（x+3）=f（x），所以函数f（x）的周期T=6.,28,又1165=196+25， 所以f（1165）=f（25）=f（-25）=2（-25）=-5. 【评注】求周期函数的函数值，要根据函数的周期性，将自变量的范围转化到已知区间上，利用已知区间上函数的表达式求函数的值.,29,已知函数f（x）（xR）的图象经过原点，且f（x+2）=f（x+5），求 f（2010）的值. 令u=x+2，得x=u-2， 则f（u）=f（u+3）， 所以函数f（x）的周期为3. 依题意，f（0）=0，且2010=6703， 所以f（2010）=f（0）=0.,30,已知f（x）是定义在R上的函数， f（2+x）=-f（2-x）,f（x+2）= . （1）函数f（x）是不是周期函数，若是，求出周期; （2）判断f（x）的奇偶性. （1）f（x）是周期函数. 因为f（x+4）=f2+（x+2）=国家的共和 =f（x），,31,故其周期为4. （2）由f（2+x）=-f（2-x）， 令u=2-x, 则x=2-u,故f（u）=-f（4-u）, 即f（x）=-f（4-x）. 用-x代x，得f（-x）=-f（x+4）. 结合（1）知，f（-x）=-f（x）， 所以函数f（x）是奇函数.,32,【评注】在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性是紧密联系在一起的，如偶函数具有对称轴x=a（a0），则一定是周期函数.因为图象关于x=a（a0）对称，则f（a-x）=f（a+x）成立，所以 f（2a+x）=fa+（a+x）=fa-（a+x）= f（-x）=f（x），所以周期为2a.,33,f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+3）=f（3-x）.若x（0,3）时，其解析式为y=x2+1,求x（-6,-3）时，函数f（x）的解析式. 因为f（x）在R上是奇函数, 所以 f（6+x）=f3+（3+x）=f3-（3+x）= f（-x）=-f（x），所以f（x）=-f（x+6）. 当x（-6,-3）时，x+6（0,3），所以 f（x+6）=（x+6）2+1， 则f（x）=-x2-12x-37（x（-6,-3）.,34,题型4 函数性质的综合应用 已知函数f（x）的定义域为R，且 f（x+2）=-f（x）. （1）求证：f（x）是周期函数； （2）若f（x）为奇函数，且当0x1时， f（x）=x.求使f（x）=1（x0,2011）的所有x的个数.,35,（1）证明：因为f（x+2）= -f（x），所以f（x+4）=-f（x+2）= -f（x）=f（x）， 所以f（x）是以4为周期的周期函数. （2）当0x1时，f（x）=x. 设-1x0，则0-x1，所以f（-x）=-x. 因为f（x）是奇函数，所以f（x）=-f（-x）=x. 故f（x）=x（-1x1）.,36,又设1x3，则-1x-21，所以f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=2-x. 所以 由f（x）=1，解得x=1.因为f（x）是以4为周期的周期函数，所以使f（x）=1的x满足x=4n+1（nZ）.,37,令04n+12011，则 . 又因为nZ，所以0n502（nZ）， 所以在0，2011上共有503个x使f（x）=1. 【评注】判断函数的周期只需证明 f（x+T）=f（x）（T0），便可证明函数是周期函数.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，合理地进行转化是解决这类问题的关键.,38,已知梦里不知身是客 是奇函数. （1）求k的值和函数的定义域； （2）由（1）判断f（x）在（1,+）上的单调性.,39,（1）由f（x）+f（-x）=0， 得 ,则k2=1. 依题意，k1，所以k=-1. 于是由 ，得x1. 故函数f（x）的定义域为（-,-1）（1,+）.,40,（2）设x1,x2（1,+）,x10,x2-10,所以u（x1）-u（x2）0, 即u（x）在（1,+）上是减函数. 由于y=logau（a1）在（0,+）是增函数，故函数f（x）在（1,+）上是减函数.,41,1.函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，这一点与函数的单调性是有区别的.一般来说，单调性是函数在定义域内局部的性质，在定义域内的局部上，讨论函数的奇偶性是没有意义的.设函数的定义域为D，若xD，则 -xD，这是讨论函数奇偶性的先决条件，否则，函数就不具有奇偶性.若命题“若xD，则-xD”成立，作f（-x）的运算才有意义.,42,此时，若f（x）-f（-x）=0，则函数是偶函数；若f（x）+f（-x）=0，则函数是奇函数.奇、偶函数的图象具有对称性，奇函数的图象关于坐标原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以奇函数在原点有定义时，一定有f（0）=0，在原点无定义时，函数的图象以坐标轴为渐近线.根据函数图象的对称性特点，奇函数在关于原点对称的区间上，单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上，单调性相反.,43,2.常见函数的奇偶性 正比例函数f（x）=kx（k0）是奇函数; 反比例函数f（x）= （k0）,x（-,0）（0,+）是奇函数;三角函数 f（x）=sinx（xR）,f（x）=tanx（x|x2+k,kZ）是奇函数,f（x）=cosx（xR）是偶函数，多项式函数f（x）=anxn+an-1xn-1+a1x+a0，当奇次项为0时，是偶函数；当偶次项为0时，是奇函数.,44,3.函数的周期性 已知函数f（x）的定义域为D，对于xD，总有f（x+T）=f（x），称函数 f（x）为周期函数，其中T是函数的一个周期.若T是最小的正数，则T称为最小正周期，简称周期.因此研究周期函数的周期，就是指最小正周期.,45,4.函数的奇偶性与周期性 设函数y=f（x+a）（a0），如果函数y=f（x+a）（a0）为偶函数，则用-x代x得f（a-x）=f（a+x），于是函数有对称轴x=a.事实上，将函数y=f（x+a）的图象向左平移a个单位长度，可得到函数g=f（x）的图象，该函数的图象关于y轴对称；,46,如果函数y=f（x+a）（a0）为奇函数，则用-x代x得f（a-x）=-f（a+x），于是函数有对称点（a,0）.事实上，将函数y=f（x+a）的图象向左平移a个单位长度，可得到函数g=f（x）的图象，该函数的图象关于原点对称.,47,1.（2008辽宁卷）若函数y=（x+1） （x-a）为偶函数，则a=（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 由f（-1）=f（1），得0=2（1-a），所以a=1. 答案：C,4