如何在统计物理教学中.ppt

如何在统计物理教学中 适当反映学科新进展？ 林宗涵（北京大学物理学院）,1. 统计物理学发展简况 2. 如何适当反映学科的发展？,1. 统计物理发展简况,热力学与统计物理从建立到现在已经有一百多年了。学科不断发展：不仅应用领域不断扩大，小到原子核，大到宇宙；从物理学到其它自然科学(化学，生物，信息科学,)；而且，学科本身也有了许多重大的发展，包括概念，理论和方法。自颁发Nobel奖以来，直接因对统计物理学作出重大开创性贡献而获Nobel物理奖的有两项(RG,BEC)，化学奖的两项(Onsager, Prigogine)。 因此，在教学内容上理应有所反映。 这一点是大家的共识。,下面让我们简单地回顾一下统计物理学的发展简况。 经典统计建立于19世纪下半叶，主要是 Maxwell, Boltzmann 和 Gibbs 的贡献。平衡态的 最普遍理论是Gibbs的统计系综理论（1902）； 非平衡态的理论以Boltzmann方程和 H-定理为核心， 不像系综理论那么普遍，仅适用于稀薄气体。应 该指出，玻氏方程和 H-定理的意义重大，涉及统 计物理的基本问题：趋于平衡的不可逆性。,量子力学的建立与量子统计的建立有着相互依赖，相互促进的复杂关系。 1900年，Planck 在研究黑体辐射谱的统计理论中提出了量子假说，当时他用的是Boltzmann 统计。随后，Einstein (1907), Debye (1912) 和Born 与 von Karman （1912，1913）应用Boltzmann 统计及能量量子化研究了固体比热。 有意思的是：量子假说的提出并不是从原子 光谱的研究，而是从黑体辐射的统计理论。为什么？ 参看：A.Pais的“Subtle is the Lord”(方在庆等译“上帝难以捉摸爱因斯坦的科学与生活”,1905年，Einstein 提出了光量子的假说，这篇论文是唯一被爱氏自己称为革命性贡献的。它也源于黑体辐射。爱氏根据Wien区（高频区）内的辐射与经典实物粒子的经典理想气体的类比，而提出光量子假说，并用以解释了光电效应。 1924年，Bose 提出了一种新的统计方法（这是在量子力学建立以前），重新推导了Planck 的黑体辐射公式，1925年，Einstein 推广了Bose 的统计方法(以后被称为Bose-Einstein 统计），把它用到理想原子气体，并从理论上预言了一种新的凝结现象（以后被称为 Bose-Einstein Condensation）.,1926年，Fermi 提出了另一种符合 Pauli 不相容原理的统计方法，稍后，Dirac 独立地提出了同样的统计方法（以后被称为Fermi-Dirac 统计），并论证了 Bose 统计和 Fermi 统计与多粒子体系波函数对称性之间的关系。 对Bose 统计和 Fermi 统计与粒子自旋之间的关系的认识要晚的多，是1945年由 Pauli 论证的。,1927年，Von Neumann 提出了密度矩阵的概念，证明密度矩阵的作用类似于经典统计系综的几率密度，他还推导出量子的Liouville 方程。Landau 与 Kramers, Pauli等人对量子统计系综的建立也作出了重要的贡献。至此，量子统计系综理论的理论框架已经建立起来了. 1929年出版的 Fowler 的“统计力学”反映了当时统计物理学的几乎所有的主要成果。可以说是一部（当时的）统计物理学的“百科全书”。,下面列举从1930s年代以来统计物理的若干 主要进展（不完全）： 稠密气体和液体（经典与量子） 严格可解模型 元激发的概念和方法 * 负绝对温度 * 线性响应理论 相变和临界现象 *,各态历经问题 稀薄原子气体的玻色爱因斯坦凝聚（BEC）* 介观体系中的统计问题 * 天体物理和宇宙学中的统计问题 混沌，分形, 渗流， 凝聚态物理中的统计问题（许多许多） 软凝聚物质（高分子，液晶） 非平衡相变（远离平衡态） 交叉学科中的统计问题（经济学，社会学，） 计算机模拟（Monte Carlo,分子动力学，） ,2. 如何适当反映学科的发展？ 四大力学中，统计物理与量子力学从学科发展看，最 为突出。这对教学是很有利的，有可能给学生展示丰富多 彩的内容，并体会学科的生命力。 统计物理的基本原理并不复杂，平衡态的理论框架也 很简单（等几率原理，几种系综，配分函数与巨配分函数， 分布与关联函数）。但是，对有相互作用的体系，如何计 算是相当困难的任务。必须抓住物理主要矛盾，作合理的 近似，这是最难的。在本科教学中，这部分介绍得很少。 由于课程的性质，学时的限制，以及学生的基础，显 然不可能把学科发展的内容简单地搬过来，只能选择少量 的内容。如何做才恰当，是一个需要研究和尝试的问题。 我们在教学中，作了一些尝试。这里想和大家讨论。 下面结合几个例子来具体说明。,例一元激发的概念和方法 * 1940s 和50s 年代，在研究相互作用多粒子系统（凝聚体系：固体和液体）的低温性质中，发展了元激发或准粒子的概念和方法。如声子,旋子，准电子，准空穴，磁波子, 激子,等离子激元，极化激元, 激化子，等等。在足够低的温度下（“足够低”是相对于某一特征能量而言的），元激发之间的相互作用很弱，可以忽略，以致可以近似当作元激发的理想气体。在元激发近似适用的条件下，相互作用多粒子系统的低温性质可以搬用近独立子系的理论来处理，使理论处理大为简化。完全的理论处理必须知道元激发的能谱和服从的统计。这可以根据实验结果去猜；或从理论上去求，最系统的方法是场论方法。,在课程中，我们只介绍一点元激发的概念， 说明某一种（几种）元激发的能谱及所服从的统 计，然后就用Fermi或Bose 分布计算。目的在于 扩大学生的眼界，也加深对Fermi分布和Bose 分 布性质的理解。 例如，对固体比热的Debye理论，可以用波的 图像及玻尔兹曼统计，还可以用声子的图像和玻 色统计处理。并可将二者加以对比。 其它一些元激发理想气体的例子可以放在习 题中让学生去练习。 至于元激发的能谱和服从的统计如何从理论 上去求，不是本科课程的任务。,例二：负绝对温度 * 1951年,Pursell&Pound在很纯的LiF晶体的核自旋系 统中实现了负绝对温度的状态,1956年Ramsey提出了有关 负绝对温度的热力学与统计理论。 现在，几乎所有的大学统计物理都介绍这部分内容。 由于理论比较简单，只需稍稍化简，即可移植到教学中。 物理学是以实验为基础的，新的实验发现促使人们重 新认识原有的概念。 什么条件下可以把整个体系分为核自旋系统 和晶格系统，并实现核自旋系统的负绝对温度？,实现负绝对温度的条件（相当苛刻）： （1）系统的能量有上界； （2）系统与环境隔绝（至少一段时间）； （3）系统内部实现平衡。 （2）（3）相当于系统本身达到平衡的弛予时间远小于 系统与环境之间达到平衡的弛予时间。今为： 实际上只有满足以上条件，划分才有意义。对LiF晶体： 今局部平衡的两个系统占据同样的空间，对应不同的自由 度（可与局部平衡的其它例子比较）。激光依靠泵浦形成 二特定能级占据数反转，实为非平衡态。故“占据数反转 的态就是负温度态”的说法是不对的。,例三：临界现象和重整化群 * 从三十年代开始，相变和临界现象的研究就是统计物理的一个重要的传统课题，也是一个大的方面，函盖的现象极广。由于相变理论必须考虑粒子之间的相互作用（理想Bose气体的BEC除外），使理论处理相当困难，这也是为什么通常把相变和临界现象称为合作现象的原因。从三十年代开始，提出了一些模型和最简单的理论平均场理论，以及在平均场理论基础上的改进，以及发展各种级数展开方法（如低温展开，高温展开等。原则上需要找小参量）。四十年代Onsager关于2D-Ising模型的严格解（曾被批评为象牙塔里的研究，后来认识到是很有意义的）。五十年代由于实验的改进，积累了许多有关临界现象的实验数据（由于临界慢化，在临界点的邻域要得到比较准确的实验数据是相当困难的）。严格解，级数展开和实验三方面，使研究人员认识到幂律能正确地描写临界点邻域的行为。,临界现象的特征，挑战性的问题： 从平滑的哈密顿量出发，计算的配分函数，所得到的热力学函数如何会出现奇异性？（Onsager 2D-Ising 模型的严格解第一次对一个非平庸的问题，证明了在热力学极限下才会出现奇异性） 连续相变的对称性自发破缺，图像？机制？ 关联长度在 时趋于无穷，后果？ 标度律； 普适性，普适类由什么决定？ 标度变换； See Kadanoff:Statistical Physics (2000,World Scientific),六十年代，通过实验与理论的工作，建立起临界现象的标度理论。后者又提出了新的问题：为什么只需要两个独立的临界指数？如何从理论上确定它们？经过Kadanoff，Fisher等人的努力，最后，1971年K.Wilson 发展了完整的重整化群（Renormalization Group）理论。重整化群理论与传统的相变理论不同，在概念和方法上另辟蹊径，具有强大的威力，已成为研究临界现象的有力理论方法，Wilson 也因此而获得1981年的Nobel 物理学奖。重整化群理论还得到广泛的应用（凝聚态物理，宇宙学，)。 在热力学课程中，通常会简单介绍Landau 的相变理论，Landau引入序参量统一地描述一阶和二阶相变。对重整化群理论，认真的讲不可能，内容超出大学本科水平。只能介绍一点相关的概念，如临界指数，标度律，普适性等。也许可以讲一点最简单的一维的例子，用选择性消去法(Decimation)，因为学时不够，没有试过. 作为科学报告的形式，给学生介绍过。,例四：稀薄原子气体的玻色爱因斯坦凝聚 * 历史的回顾: 1924年，Bose 对黑体辐射（光子气体）提出一种新的数态的方法，重新导出Planck 辐射公式。投稿被拒后，求助于Einstein.Einstein将该文译成德文，并加注“是一个重要的进展”。 192425，Einstein 将该方法推广到实物粒子，相继发表了两篇文章（注），即“单原子理想气体的量子理论”（一）（二），在文（二）中，理论上预言了“condensation”,后来被称为Bose-Einstein Condensation(BEC).其实，预言“condensation” 与 Bose 无关，应该称为 “Einstein Condensation” 更合适。 192530s末，BEC的理论受到批评。 注：见 Einstein文集第二卷,1938年，F.London 提出液氦的超流与金属的 超导转变可以近似理解为BEC，此后逐渐被接受。 1940s1960s, Bogoliubov, Penrose, Schafroth, Lee & Yang 等人研究了弱相互作用Bose 气 体的BEC。 1976,MIT,Netherland, Canada等几个研究组开始探索 用自旋极化原子氢实现BEC的可能。其间，发展了Laser cooling 等方法。1998年实现BEC。 1980s,开始探索用碱金属原子气体的道路。 1995年，Colorado 大学的 Cornell 和 Wieman 首先 在铯原子气体中实现了BEC。同年稍后，MIT 的 Ketteler 在钠原子气体中观察到BEC. 他们三人共同获得2001年Nobel物理学奖。,（均匀）理想Bose气体的BEC（教科书）: 凝聚温度: 温度必须低于临界温度，才能实现BEC .,Einstein 的理论为什么当年受批评？ 气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作 用力。对理想气体，粒子之间的相互作用已被忽 略，如何发生凝聚？Einstein 自己已意识到这一 点，他写到“这个公式间接地表达了一个确定 的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方 式相互影响着，” 由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系 存在（量子起源的）统计关联：对bosons是有效 吸引；而fermions是有效排斥。因此，即使没有 动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相 互作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源 的相变。,实现BEC究竟有多难？,实现BEC实际上极困难。原则上，如能将气 体冷到使 但大多数情况下，在远高于BEC 的 到达以前， 已发生液化甚至固化的相变。为了实现原子气体 的BEC,必须用极稀薄的气体，且要求二体弹性碰 创的弛予时间远小于形成分子或原子集团的非弹 性碰创的弛予时间 碱金属原子气体,原子气体BEC的基本特征,新领域的开辟 (1) 新的量子流体（气体） 非均匀约束； 有排斥或吸引的相互作用； 多组分，spinor； 超流； (2) Atom Laser, Atom Optics (3) New atom / Molecule BEC (4) New Cooling, trapping (5) Applications precision measurement, nanotechnology, Nobel Lectures: Cornell Ketterle, RMP74,1131(2002),例五介观体系中的统计问题 * 介观体系的大小介于宏观与微观之间，其基本特征是：粒子保持位相相干（位相记忆）的特征长度大于体系的尺度。因而量子相干效应对其