高考数学二轮复习专题辅导与训练4.3与数列交汇的综合问题教学.ppt

第三讲 与数列交汇的综合问题,1.（2014辽宁高考）设等差数列an的公差为d,若数列 为递减数列,则( ) A.d0 B.d0 D.a1da1an,结合等差数列的定义即可解决问题.,【解析】选D.由于数列 为递减数列，得 再由指数函数性质得a1an-1a1an， 由等差数列的公差为d知，an-an-1=d，所以a1an-1a1an a1an-a1an-10a1(an-an-1)0a1d0.,2.(2014安徽高考)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC= 过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过 点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,以此类推,设BA=a1,AA1=a2, A1A2=a3,A5A6=a7,则a7= .,【解析】由题意可得a1=2，a2=2sin 45= ，a3=a2 sin 45=1,a4=a3sin 45= ,a5=a4sin 45= a6=a5sin 45= ,a7=a6sin 45= 答案：,3.(2014温州模拟)已知数列an中,a1=1,点(an,an+1)在函数y=4x+3的图象上(nN*). (1)求证:数列an+1是等比数列. (2)求数列an的前n项和.,【解析】(1)因为点(an,an+1)在函数y=4x+3的图象上(nN*), 所以an+1=4an+3, 所以an+1+1=4an+4=4(an+1), 又a1+1=2,所以an+1是以2为首项,4为公比的等比数列. (2)由(1)知,an+1=24n-1,所以an=24n-1-1, 设数列an的前n项和为Sn,则Sn=,热点考向一 数列与函数综合 【考情快报】,高频考向 多维探究,命题角度一 函数性质的直接应用 【典题1】(1)(2014绍兴模拟)已知函数f(x)是周期为4的函 数,当0x4时,f(x)=|x-2|-1,若f(x)的图象与射线y= (x0)的交点的横坐标由小到大依次组成数列an,则|a2- a1|= ;|an-an-1|= . (2)已知函数f(x)=x+sinx,项数为19的等差数列an满足an ,且公差d0.若f(a1)+f(a2)+f(a18)+f(a19)=0,且f(ak)=0,则k的值为 .,【信息联想】(1)看到求交点横坐标,想到_. (2)看到函数f(x)=x+sinx,想到_.,数形结合,函数的单调性、奇偶性,【规范解答】(1)由题意知,当0x4时, f(x)= 因为函数f(x)的周期为4,所以画出函数f(x)及射线y= (x0)的图象如图所示,易知|a2-a1|=3. 同理由图可知|an-an-1|=3或|an-an-1|=1. 答案:3 3或1,(2)因为函数f(x)=x+sinx是奇函数,所以图象关于原点对称, 图象过原点.而等差数列an有19项,an ,若f(a1)+ f(a2)+f(a18)+f(a19)=0,且f(ak)=0, 则必有f(a10)=0,所以k=10. 答案:10,命题角度二 构造函数处理问题 【典题2】(2014北京模拟)已知函数f(x)=x2-ax+a(xR)同时满足：函数f(x)有且只有一个零点；在定义域内存在0f(x2)成立.设数列an的前n项和Sn=f(n)(nN*).,(1)求函数f(x)的表达式. (2)求数列an的通项公式. (3)在各项均不为零的数列cn中，所有满足cici+10的整数 的个数称为数列cn的变号数. 令cn= 求数列cn的变号 数.,【信息联想】(1)看到函数f(x)=x2-ax+a(xR)有且只有一个 零点，想到_. (2)看到Sn求an，想到an= _ (3)看到求数列cn的变号数以及变号数的定义，想到_ _.,=0，从而确定解析式,从函数,角度考虑数列的性质,【规范解答】(1)因为f(x)有且只有一个零点， 所以=a2-4a=0,解得a=0或a=4, 当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减， 故存在0f(x2)成立， 当a=0时，函数f(x)=x2在(0,+)上递增， 故不存在0f(x2)成立， 综上，得a=4,f(x)=x2-4x+4.,(2)由(1)可知Sn=n2-4n+4,当n=1时，a1=S1=1,当n2时，an= Sn-Sn-1=2n-5,所以an=,(3)由题设得 因为当n3时，cn+1-cn= 所以当n3时，数列cn递增.因为c4=- 0, 由 n5,可知c4c50, 即当n3时，有且只有1个变号数；又因为c1=-3,c2=5,c3=-3, 即c1c20,c2c30,所以此处变号数有2个； 综上得数列cn的变号数为3.,【规律方法】数列与函数交汇问题的常见类型及解法 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解.,【变式训练】(2014济南模拟)数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(nN*),等差数列bn满足b3=3,b5=9. (1)分别求数列an,bn的通项公式. (2)设cn= (nN*),求证:cn+1cn .,【解析】(1)由an+1=2Sn+1 得an=2Sn-1+1 , -得an+1-an=2(Sn-Sn-1),所以an+1=3an,所以an=3n-1; 又因为b5-b3=2d=6,所以d=3,所以bn=3n-6. (2)因为an+2=3n+1,bn+2=3n,所以cn= 所以cn+1-cn = 0,cn+1cnc1= ,所以cn+1cn .,【加固训练】(2014武汉模拟)在数列an中,a1=1,a1+2a2+3a3+nan= an+1(nN*). (1)求数列an的通项公式an. (2)若存在nN*,使得an(n+1)成立,求实数的最小值.,【解析】(1)当n=1时,a1=1; 当n2时,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1= an a1+2a2+3a3+nan= an+1 -得(n+1)an+1=3(nan),即数列nan从第二项起是等比数列, a2=1,所以an=,热点考向二 数列与不等式综合 【考情快报】,【典题3】(2014咸阳模拟)数列an的前n项和为Sn,且an是Sn和1的等差中项,等差数列bn满足b1=a1,b4=S3. (1)求数列an,bn的通项公式. (2)设cn= ,数列cn的前n项和为Tn,证明:,【现场答案】,【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处,分析错因,并给出正确答案. 提示:以上解题过程中出错之处(1)没有讨论n=1的情形,忽略n2的限制. (2)裂项出错,系数不对,造成后面证明不对.,【规范解答】(1)因为an是Sn和1的等差中项,所以Sn=2an-1. 当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1. 当n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,所以 an=2an-1,即 =2, 所以数列an是以a1=1为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n-1,又a1=1也符合,故an=2n-1. 设bn的公差为d,b1=a1=1,b4=1+3d=7, 所以d=2,所以bn=1+(n-1)2=2n-1.,【规律方法】 1.数列与不等式交汇问题的常用方法 （1）作差（商）比较. （2）根据数列的函数特征，判断并利用其单调性. （3）利用基本不等式求最值.,【变式训练】(2014广东高考)设各项均为正数的数列an的 前n项和为Sn,且Sn满足 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*. (1)求a1的值. (2)求数列an的通项公式. (3)证明:对一切正整数n,有,【解题提示】(1)可直接令n=1. (2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n2). (3)先对每一项进行放缩,再裂项相消整理求和.,【解析】(1)令n=1,则S1=a1, -(12+1-3)S1-3(12+1)=0, 即 +a1-6=0,解得a1=2或a1=-3(舍去). (2) -(n2+ n-3)Sn-3(n2+n)=0,可以整理为(Sn+3)Sn-(n2+n)=0,因为数列an中an0,所以Sn-3,只有Sn=n2+n. 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 而a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n(nN*).,热点考向三 数列与解析几何综合 【考情快报】,【典题4】(2014上海模拟)如图,过坐标 原点O作倾斜角为60的直线交抛物线: y2=x于P1点,过P1点作倾斜角为120的直 线交x轴于Q1点,交于P2点;过P2点作倾斜角为60的直线交 x轴于Q2点,交于P3点;过P3点作倾斜角为120的直线,交x轴 于Q3点,交于P4点;如此下去.又设线段OQ1,Q1Q2,Q2Q3, Qn-1Qn,的长分别为a1,a2,a3,an,OP1Q1,Q1P2Q2, Q2P3Q3,Qn-1PnQn,的面积分别为G1,G2,G3,Gn, 数列an的前n项的和为Sn.,(1)求a1,a2. (2)证明,【信息联想】(1)看到OQ1P1是边长为a1的等边三角形,P1点 在抛物线:y2=x上,想到_ _. (2)看到求证 想到_ _.,点P1的坐标适合方程,求出a1,同理,求出a2,求出Gn和Sn,从而探求an+1,an,的递推关系,进而利用数列知识求解,【规范解答】(1)由OQ1P1是边长为a1的等边三角形, 得点P1的坐标为 又P1 在抛物线y2=x上,所以 同理P2 在抛物线y2=x上,得a2=,(2)点Qn-1的坐标为(a1+a2+a3+an-1,0), 即点(Sn-1,0)(点Q0与原点重合，S0=0),所以直线Qn-1Pn的方程 为y= (x-Sn-1)或y=- (x-Sn-1), 因此,点Pn的坐标满足 消去x得 y2-y- Sn-1=0, 所以|y|= 又|y|=ansin 60= an,故3an=1+,从而 -2an=4Sn-1 由有 -2an+1=4Sn -得3( )-2(an+1-an)=4an, 即(an+1+an)(3an+1-3an-2)=0, 又an0,于是an+1-an= , 所以an是以 为首项, 为公差的等差数列,【规律方法】求解点列问题的关键及规律 (1)关键:寻求点的横坐标或纵坐标之间的关系. (2)规律:根据横坐标或纵坐标的关系将其转化为等差或等比数列或数列求通项及求和问题,进行求解.,【变式训练】在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2), ,Pn(xn,yn),对一切正整数n,点Pn位于函数y=3x+ 的图 象上,且Pn的横坐标构成以- 为首项,-1为公差的等差数列xn. (1)求点Pn的坐标. (2)设抛物线列c1,c2,c3,cn,中的每一条的对称轴都垂直 于x轴,第n条抛物线cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛 物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn,求:,【解析】(1)xn=- +(n-1)(-1)=-n- ，所以yn=3xn+ =-3n- ,所以Pn(-n- ,-3n- ). (2)因为cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn. 所以设cn的方程为：y= 把Dn(0,n2+1)代入上式，得a=1,所以cn的方程为：y=x2+(2n+3)x+n2+1.kn=y|x=0=2n+3,【加固训练】已知曲线C:xy=1,过C上的点An(xn,yn)作斜率为 kn=- 的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1),点列An 的横坐标构成数列xn,其中x1= . (1)求xn与xn+1的关系式. (2)令bn= ,求证:数列bn是等比数列. (3)若cn=3n-tbn(t为非零整数,nN*),试确定t的值,使得对任意nN*,都有cn+1cn成立.,【解析】（1）依题意知，过An(xn,yn)的直线方程为 y-yn=- (x-xn). 联立方程 所以xnxn+1=xn+2,即xn+1=,（3）由（2）知，bn=(-2）n，要使cn+1cn恒成立， 则cn+1-cn=3n+1-t(-2)n+1-3n-t(-2)n =23n+3t(-2)n0恒成立.即(-1)nt-（ ）n-1恒成立. 当n为奇数时，即t（ ）n-1恒成立. 又( )n-1的最小值为1，所以t1. 当n为偶数时，即t-( )n-1恒成立， 又-( )n-1的最大值为- ，所以t- . 即- t1，又t为非零整数， 所以t=-1，使得对任意nN*，都有cn+1cn.,函数与方程思想 解决数列中的最值问题 【思想诠释】 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型: (1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或不等式求解.,(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或 不等式组 (3)数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数 的单调性或求使an0(an0)成立时最大的n值即可求解.,【典例分析】 【典题】(2014杭州模拟)已知数列an满足a1=3, an+1=an+p3n(nN*,p为常数),a1,a2+6,a3成等差数列. (1)求p的值及数列an的通项公式. (2)设数列bn满足bn= ,证明:bn .,【思