鸡兔同笼应用题.docx

鸡兔同笼应用题典型应用题之鸡兔同笼 一,基本问题 鸡兔同笼是一类有名的中国古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法-假设法来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只 解:我们设想,每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,也就是2442=122(只).在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数122-88=34,有34只兔子.当然鸡就有54只.答:有兔子34只,鸡54只.上面的计算,可以归结为下面算式:总脚数2-总头数=兔子数. 上面的解法是孙子算经中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,脚数就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子,那么就有488只脚,比244只脚多了884-244=108(只).每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡(884-244)(4-2)= 54(只).说明我们设想的88只兔子中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=(兔脚数总头数-总脚数)(兔脚数-鸡脚数).当然,我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚288=176(只),比244只脚少了244-176=68(只).每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,682=34(只).说明设想中的鸡,有34只是兔子,也可以列出公式兔数=(总脚数-鸡脚数总头数)(兔脚数-鸡脚数).上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为假设法.现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.例2 红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支 解:以分作为钱的单位.我们设想,一种鸡有11只脚,一种兔子有19只脚,它们共有16个头,280只脚.现在已经把买铅笔问题,转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式,就有蓝笔数=(1916-280)(19-11)=248=3(支).红笔数=16-3=13(支).答:买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是兔子,8只是鸡,根据这一设想,脚数是8(11+19)=240.比280少40.40(19-11)=5.就知道设想中的8只鸡应少5只,也就是鸡(蓝铅笔)数是3.308比1916或1116要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,兔数为10,鸡数为6,就有脚数1910+116=256.比280少24.24(19-11)=3,就知道设想6只鸡,要少3只.要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子.例3 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时 解:我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打306=5(份),乙每小时打3010=3(份).现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了.根据前面的公式兔数=(30-37)(5-3)=4.5,鸡数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.答:甲打字用了4小时30分.例4 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年 解:4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数,弟的年龄看作兔头数.25是总头数.86是总脚数.根据公式,兄的年龄是(254-86)(4-3)=14(岁).1998年,兄年龄是14-4=10(岁).父年龄是(25-14)4-4=40(岁).因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是(40-10)(3-1)=15(岁).这是2003年.答:公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.例5 蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只 解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成8条腿与6条腿两种.利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=(118-618)(8-6)=5(只).因此就知道6条腿的小虫共18-5=13(只).也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式蝉数=(132-20)(2-1)=6(只).因此蜻蜓数是13-6=7(只).答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.例6 某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人 解:对2道,3道,4道题的人共有52-7-6=39(人).他们共做对181-17-56=144(道).由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人(2+3)2=2.5).这样兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚数=144,总头数=39.对4道题的有(144-2.539)(4-1.5)=31(人).答:做对4道题的有31人.习题一1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只 2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副 3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个 4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张 5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天 6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段 7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张 二,两数之差的问题鸡兔同笼中的总头数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例7 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.(680-840)(8+4)=30(张),这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.因此8分邮票有40+30=70(张).答:买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.也可以用任意假设一个数的办法.解二:譬如,假设有20张4分,根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分.以分作为计算单位,此时邮票总值是420+860=560.比680少,因此还要增加邮票.为了保持差是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是(680-420-860)(4+8)=10(张).因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).例8 一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天工程要多少天才能完成 解:类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有(150-83)(10+8)= 7(天).雨天是7+3=10天,总共7+10=17(天).答:这项工程17天完成.请注意,如果把雨天比晴天多3天去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例9 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只 解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡282=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚42=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是(100+282)(2+1)=38(只).鸡是100-38=62(只).答:鸡62只,兔38只.当然也可以去掉兔284=7(只).兔的只数是(100-284)(2+1)+7=38(只).也可以用任意假设一个数的办法.解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是450-250=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是(100-28)(4+2)=12(只).兔只数是50-12=38(只).另外,还存在下面这样的问题:总头数换成两数之差,总脚数也换成两数之差.例10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.解一:如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差1354+20=280(字).每首字数相差74-54=8(字).因此,七言绝句有28(28-20)=35(首).五言绝句有35+13=48(首).答:五言绝句48首,七言绝句35首.解二:假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是2023=460(字),2810=280(字),五言绝句的字数,反而多了460-280=180(字).与题目中少20字相差180+20=200(字).说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加2008=25(首).五言绝句有23+25=48(首).七言绝句有10+25=35(首).在写出鸡兔同笼公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下,就会发现非常有趣的事.例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是(680-840)(8+4)=30(张).例9,假设都是兔,鸡的只数是(1004-28)(4+2)=62(只).10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是(2013+20)(28-20)=35(首).首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与鸡兔同笼公式比较,这三个算式只是有一处-成了+.其奥妙何在呢 当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只 解:如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是(400-379.6)(1+0.2)=17(只).答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶.请你想一想,这是鸡兔同笼同一类型的问题吗 例12 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分 解一:如果小明第一次测验24题全对,得524=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是86-2(15-6)=30(分).两次相差120-30=90(分).比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16(分).(90-10)(6+10)=5(题).因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题).第一次得分519-1(24- 9)=90.第二次得分811-2(15-11)=80.答:第一次得90分,第二次得80分.解二:答对30题,也就是两次共答错24+15-30=9(题).第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去69.但两次满分都是120分.比题目中条件第一次得分多10分,要少了69+10.因此,第二次答错题数是(69+10)(6+10)=4(题)第一次答错 9-4=5(题).第一次得分 5(24-5)-15=90(分).第二次得分 8(15-4)-24=80(分).习题二1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少 2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克 3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天 4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题 5.甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发 6.甲,乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地,在停留半小时后,又从乙地返回甲地,小王从乙地到甲地,在甲地停留40分钟后,又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲,乙两地出发,经过4小时后,他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米,求两人的速度.三,从三到二 鸡和兔是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把三种转化成二种来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法.例13 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 解:从条件铅笔数量是圆珠笔的4倍,这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作(0.604+2.7)5=1.02(元).现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用鸡兔同笼公式可算出,钢笔支数是(300-1.02232)(6.3-1.02)=12(支).铅笔和圆珠笔共232-12=220(支).其中圆珠笔220(4+1)=44(支).铅笔220-44=176(支).答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.例14 商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个 解:因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是(1.52+13)(2+3)=1.2(元).从公式可算出,大球个数是(120-1.255)(3-1.2)=30(个).买中,小球钱数各是(120-303)2=15(元).可买10个中球,15个小球.答:买大球30个,中球10个,小球15个.例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系(倍数关系也可用类似方法),把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把三转化成二了.例15是为例16作准备.例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少 解:去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.平均速度=所行距离所用时间去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米.千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走(6+3)2=4.5千米.例16 从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米 解:把来回路程452=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是(90-421)(5-4)=6(小时).单程平路行走时间是62=3(小时).从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是45-53=30(千米).又是一个鸡兔同笼问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是(67-30)(6-3)=4(小时).行走路程是34=12(千米).下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是63=18(千米).答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.做两次鸡兔同笼的解法,也可以叫两重鸡兔同笼问题.例16是非常典型的例题.例17 某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数,有25题,或者16题,或者20题.那么,其中考25题的有多少次 解:如果每次都考16题,1624=384,比426少42道题.每次考25道题,就要多25-16=9(道).每次考20道题,就要多20-16=4(道).就有9考25题的次数+4考20题的次数=42.请注意,4和42都是偶数,9考25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次数是偶数,由96=54比42大,考25题的次数,只能是0,2,4这三个数.由于42不能被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次(考20题有6次).答:其中考25题有2次.例18 有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位 解:由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.如果有30人乘电车,110-1.230=74(元).还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.如果有40人乘电车110-1.240=62(元).还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62610).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍.现在又可以转化成鸡兔同笼了:总头数 50-35=15,总脚数 110-1.235=68.因此,乘小巴前往的人数是(615-68)(6-4)=11.答:乘小巴前往的同学有11位.在三转化为二时,例13,例14,例16是一种类型.利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组成一种.例17,例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成二的问题了.在小学算术的范围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.习题三1.有100枚硬币,把其中2分硬币全换成等值的5分硬币,硬币总数变成79个,然后又把其中的1分硬币换成等值的5分硬币,硬币总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱 2.京剧公演共出售750张票得22200元.甲票每张60元,乙票每张30元,丙票每张18元.其中丙票张数是乙票张数的2倍.问其中甲票有多少张 3.小明参加数学竞赛,共做20题得67分.已知做一题得5分,不答得2分,做错一题倒扣3分.又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题 4.1分,2分和5分硬币共100枚,价值2元,如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分.问三种硬币各多少枚 注:此题没有学过分数运算的同学可以不做.5.甲地与乙地相距24千米.某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米,走平路速度每小时5千米,下坡速度每小时6千米.去时行走了4小时50分,回来时用了5小时.问从甲地到乙地,上坡,平路,下坡各多少千米 6.某学校有12间宿舍,住着80个学生.宿舍的大小有三种:大的住8个学生,不大不小的住7个学生,小的住5人.其中不大不小的宿舍最多,问这样的宿舍有几间 测验题1.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个. 它一连几天采了112个松籽,平均每天采14个. 问这几天当中有几天有雨 2.有一水池,只打开甲水龙头要24分钟注满水池,只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.问注满水池总共用了多少分钟 3.某工程甲队独做50天可以完成,乙队独做75天可以完成.现在两队合做,但是中途乙队因另有任务调离了若干天.从开工后40天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天 4.小华从家到学校,步行一段路后就跑步.他步行速度是每分钟600 ,跑