2017年中考数学专题复习数学思想方法问题.docx

数学思想方法问题【专题点拨】整体思想：整体思想，就是研究和解决问题时，从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，从而达到迅速解题的目的.分类讨论思想：当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.转化思想：转化思想亦可在狭义上称为划归思想.就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A的方法.数学建模思想：为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学.使用数学语言描述的事物就称为数学模型.数学建模，其实就是把数学问题转化为用方程、不等式、函数等来解决的数学方法. 数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简.类比思想：类比思想是数学创造型思维中很重要的一种思想方法，它可以帮助学习者建立新旧知识联系的桥梁，实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移到陌生的问题中，进而使问题得到解决.【解题策略】整体思想：分析问题整体结果发现问题特征找到相互关联运用整体思想化难为易解决问题 分类讨论思想：分析问题有变化探索不同分析思路找到需分解的部分运用分类讨论的思想多种情况分析解决问题 转化思想：分析问题有难度转化手段和方法从难到易转化运用转化化归的思想通过另一途径解决问题 建模思想：分析抽象问题借助模型思想找到相同本质运用数学建模的思想采用方程或函数等解决问题 数形结合思想：分析问题较抽象转化为直观易分析找到相对应图形运用数形结合的思想化难为易解决问题 类比思想：分析问题有深度借助新旧知识的关联合理进行知识迁移运用类比的思想轻松解决疑难问题 【典例解析】类型一：整体思想应用问题例题1：（2016青海西宁2分）已知x2+x5=0，则代数式（x1）2x（x3）+（x+2）（x2）的值为2【考点】整式的混合运算化简求值【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=x2+x3，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：原式=x22x+1x2+3x+x24=x2+x3，因为x2+x5=0，所以x2+x=5，所以原式=53=2故答案为2变式训练1：（2015菏泽）已知m是方程x2-x-1=0的一个根，求 的值.类型二：分类讨论思想问题例题2：（2016贵州安顺3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A20或16B20C16D以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选B【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键变式训练2：（2016江西3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 类型三：转化思想问题例题3：（2016浙江省绍兴市4分）解分式方程： +=4【考点】解分式方程【分析】观察可得方程最简公分母为（x1），将方程去分母转化为整式方程即可求解【解答】解：方程两边同乘（x1），得：x2=4（x1），整理得：3x=2，解得：x=，经检验x=是原方程的解，故原方程的解为x=变式训练3：（2016吉林5分）解方程： =类型四：数学建模问题例题4：（2016四川宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【分析】分别利用“A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元”得出等式求出答案【解答】解：设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组：故答案为：变式训练4：（2016四川眉山3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为类型五：数形结合问题例题5：（2016黑龙江齐齐哈尔12分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为95米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段FGx轴，则此段时间，甲机器人的速度为60米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米【考点】一次函数的应用【分析】（1）结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前2分钟的速度；（2）根据题意求出点F的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式；（3）根据一次函数的图象和性质解答；（4）根据速度和时间的关系计算即可；（5）分前2分钟、2分钟3分钟、4分钟7分钟三个时间段解答【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+602）2=95米/分；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，1（9560）=35，点F的坐标为（3，35），则，解得，线段EF所在直线的函数解析式为y=35x70；（3）线段FGx轴，甲、乙两机器人的速度都是60米/分；（4）A、C两点之间的距离为70+607=490米；（5）设前2分钟，两机器人出发xs相距28米，由题意得，60x+7095x=28，解得，x=1.2，前2分钟3分钟，两机器人相距28米时，35x70=28，解得，x=2.8，4分钟7分钟，两机器人相距28米时，（9560）x=28，解得，x=0.8，0.8+4=4.8，答：两机器人出发1.2s或2.8s或4.8s相距28米变式训练5：（2016湖北荆州8分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用类型六：数学类比问题例题6：（2016浙江省湖州市）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120的平行四边形ABCD（BAD=120）进行探究：将一块含60的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：BCEACF，AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CHAD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t=【考点】几何变换综合题【分析】（1）先证明ABC，ACD都是等边三角形，再证明BCE=ACF即可解决问题根据的结论得到BE=AF，由此即可证明（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，由ACEHCF，得=由此即可证明（3）如图3中，作CNAD于N，CMBA于M，CM与AD交于点H先证明CFNCEM，得=，由ABCM=ADCN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以=，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，想办法求出AC，AE+3AF即可解决问题【解答】解；（1）四边形ABCD是平行四边形，BAD=120，D=B=60，AD=AB，ABC，ACD都是等边三角形，B=CAD=60，ACB=60，BC=AC，ECF=60，BCE+ACE=ACF+ACE=60，BCE=ACF，在BCE和ACF中，BCEACFBCEACF，BE=AF，AE+AF=AE+BE=AB=AC（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，AD=2AB=4x，AH=ADDH=3x，CHAD，AC=2x，AC2+CD2=AD2，ACD=90，BAC=ACD=90，CAD=30，ACH=60，ECF=60，HCF=ACE，ACEHCF，=2，AE=2FH（3）如图3中，作CNAD于N，CMBA于M，CM与AD交于点HECF+EAF=180，AEC+AFC=180，AFC+CFN=180，CFN=AEC，M=CNF=90，CFNCEM，=，ABCM=ADCN，AD=3AB，CM=3CN，=，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，MAH=60，M=90，AHM=CHN=30，HC=2a，HM=a，HN=a，AM=a，AH=a，AC=a，AE+3AF=（EMAM）+3（AH+HNFN）=EMAM+3AH+3HN3FN=3AH+3HNAM=a，=故答案为变式训练6：（2016陕西）问题提出（1）如图，已知ABC，请画出ABC关于直线AC对称的三角形问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由问题解决（3）如图，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使EFG=90，EF=FG=米，EHG=45，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AFBF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由【能力检测】1. （2016四川泸州）分式方程=0的根是2. （2016黑龙江齐齐哈尔3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30，则以它的腰长为边的正方形的面积为3. （2016湖北荆门3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若PAB是等腰三角形，则点P的坐标是什么？4. （2016内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度5. （2016陕西）昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象根据下面图象，回答下列问题：（1）求线段AB所表示的函数关系式；（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？6. （2016河南）（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，BPM=90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标【参考答案】变式训练1：（2015菏泽）已知m是方程x2-x-1=0的一个根，求 的值.【解析】把m代入方程求得m2-m=1，再把有关m的代数式化简，最后整体代入求出代数式的值.【解答】m是方程x2-x-1=0 的一个根，m2-m-1=0.即m2-m=1.m(m+1)2-m2(m+3)+4=m3+2m2+m-m3-3m2+4=-m2+m+4=-(m2-m)+4=-1+4=3.【点评】本题考查代数式的求值，解答这类问题要善于观察代数式的整体特征，先将条件进行转化，再把代数式化简，然后将化简结果转成与条件有关的式子进行计算.变式训练2：（2016江西3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理【分析】分情况讨论：当AP=AE=5时，则AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=5即可；当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论【解答】解：如图所示：当AP=AE=5时，BAD=90，AEP是等腰直角三角形，底边PE=AE=5；当PE=AE=5时，BE=ABAE=85=3，B=90，PB=4，底边AP=4；当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或5变式训练3：（2016吉林5分）解方程： =【考点】解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x2=x+3，解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解变式训练4：（2016四川眉山3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为100（1+x）2=169【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程【解答】解：由题意可得，100（1+x）2=169，故答案为：100（1+x）2=169【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的方程变式训练5：（2016湖北荆州8分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用【分析】（1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；（2）根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得：解得：y=6.4x+32（2）B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，22.5x35，设总费用为W元，则W=6.4x+32+7（45x）=0.6x+347，k=0.6，y随x的增大而减小，当x=35时，W总费用最低，W最低=0.635+347=137（元）【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键变式训练6：（2016陕西）问题提出（1）如图，已知ABC，请画出ABC关于直线AC对称的三角形问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由问题解决（3）如图，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使EFG=90，EF=FG=米，EHG=45，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AFBF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由【考点】四边形综合题【分析】（1）作B关于AC 的对称点D，连接AD，CD，ACD即为所求；（2）作E关于CD的对称点E，作F关于BC的对称点F，连接EF，得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF=BF=AF=2，DE=DE=2，A=90，于是得到AF=6，AE=8，求出EF=10，EF=2即可得到结论；（3）根据余角的性质得到1=2，推出AEFBGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作EFG关于EG的对称EOG，则四边形EFGO是正方形，EOG=90，以O为圆心，以EG为半径作O，则EHG=45的点在O上，连接FO，并延长交O于H，则H在EG的垂直平分线上，连接EHGH，则EHG=45，于是得到四边形EFGH是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1）如图1，ADC即为所求；（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E，作F关于BC的对称点F，连接EF，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则FG=FG，EH=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：BF=BF=AF=2，DE=DE=2，A=90，AF=6，AE=8，EF=10，EF=2，四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+EF=2+10，在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；（3）能裁得，理由：EF=FG=，A=B=90，1+AFE=2+AFE=90，1=2，在AEF与BGF中，AEFBGF，AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3x，x2+（3x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），AF=BG=1，BF=AE=2，DE=4，CG=5，连接EG，作EFG关于EG的对称EOG，则四边形EFGO是正方形，EOG=90，以O为圆心，以EG为半径作O，则EHG=45的点在O上，连接FO，并延长交O于H，则H在EG的垂直平分线上，连接EHGH，则EHG=45，此时，四边形EFGH是要想裁得符合要求的面积最大的，C在线段EG的垂直平分线设，点F，O，H，C在一条直线上，EG=，OF=EG=，CF=2，OC=，OH=OE=FG=，OHOC，点H在矩形ABCD的内部，可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH部件，这个部件的面积=EGFH=（+）=5+，当所裁得的四边形部件为四边形EFGH时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m2【能力检测】1. （2016四川泸州）分式方程=0的根是x=1【考点】分式方程的解【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x（x3）进行检验即可【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x（x3）得：4x（x3）=0，解得：x=1，经检验：x=1是原分式方程的解，故答案为：x=12. （2016黑龙江齐齐哈尔3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质【分析】分两种情形讨论当30度角是等腰三角形的顶角，当30度角是底角，分别作腰上的高即可【解答】解：如图1中，当A=30，AB=AC时，设AB=AC=a，作BDAC于D，A=30，BD=AB=a，aa=5，a2=20，ABC的腰长为边的正方形的面积为20如图2中，当ABC=30，AB=AC时，作BDCA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，AB=AC，ABC=C=30，BAC=120，BAD=60，在RTABD中，D=90，BAD=60，BD=a，aa=5，a2=20，ABC的腰长为边的正方形的面积为20故答案为20或203. （2016湖北荆门3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若PAB是等腰三角形，则点P的坐标是什么？【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标【解答】解：反比例函数y=图象关于原点对称，A、B两点关于O对称，O为AB的中点，且B（1，2），当PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），A（1，2），B（1，2），AB=2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=3或5，此时P点坐标为（3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或5，此时P点坐标为（3，0）或（5，0）；综上可知P点的坐标为（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0），故答案为：（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0）4. （2016内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，y=20x+212x2xx=3x2+54x，即y与x之间的函数关系式为y=3x2+54x；（2）根据题意，得：3x2+54x=2012，整理，得：x218x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），x=3，答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm5. （2016陕西）昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象根据下面图象，回答下列问题：（1）求线段AB所表示的函数关系式；（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？【考点】一次函数的应用【分析】（1）可设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，根据待定系数法列方程组求解即可；（2）先根据速度=路程时间求出小明回家的速度，再根据时间=路程速度，列出算式计算即可求解【解答】解：（1）设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，依题意有，解得故线段AB所表示的函数关系式为：y=96x+192（0x2）；（2）12+3（7+6.6）=1513.6=1.4（小时），1121.4=80（千米/时），80=8080=1（小时），3+1=4（时）答：他下午4时到家6. （2016河南）（