高中数学第3章导数应用3.1.1导数与函数的单调性学案北师大版.docx

1函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.(重点、难点)3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)基础初探教材整理导数与函数单调性的关系阅读教材P57P58“例1”以上部分，完成下列问题.一般地，在区间(a，b)内导数函数的单调性f(x)0单调增加f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增.()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.()【答案】(1)(2)(3)2.函数yf(x)的图像如图311所示，则导函数yf(x)的图像可能是()图311 A B C D【解析】函数f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0.其中正确的序号是()A.B.C.D.(2)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图313所示，则导函数yf(x)的图像可能为()图313AB CD【精彩点拨】研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.【自主解答】(1)由图像可知，函数的定义域为1，5，值域为(，02，4，故正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.【答案】(1)A(2)D1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可.2.通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负.再练一题1.(1)设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是()ABCD(2)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图像可能是()ABCD【解析】(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则yf(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则yf(x)应为减函数，也不符合.(2)因为yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的.【答案】(1)D(2)A利用导数求函数的单调区间求函数f(x)x(a0)的单调区间. 【导学号：94210055】【精彩点拨】求出导数f(x)，分a0和a0求得单调增区间，由f(x)0时，令f(x)10，解得x或x；令f(x)10，解得x0或0x；当a0恒成立，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，0)和(0，).当a0(或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0，可得x1.即函数f(x)exex，xR的单调增区间为(1，)，选D.(2)函数的定义域为(0，)，又f(x)1，由f(x)10，得0x1，所以函数f(x)ln xx的单调递增区间是(0，1)，选B.【答案】(1)D(2)B探究共研型已知函数单调性求参数的取值范围探究1函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f(x)的单调性如何？【提示】求函数的导函数f(x)3x22axb，导函数对应方程f(x)0的4(a23b)0恒成立，故f(x)是增函数.探究2若函数f(x)x在(1，)上是增函数，试求实数p的取值范围.【提示】f(x)10在(1，)上恒成立，即x2p在(1，)上恒成立，1p，p1.已知关于x的函数yx3axb.(1)若函数y在(1，)内是增函数，求a的取值范围；(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，)，求a的值.【精彩点拨】(1)函数在区间(1，)内是增函数，则必有y0在(1，)上恒成立，由此即可求出a的取值范围.(2)函数y的一个单调递增区间为(1，)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值.【自主解答】y3x2a.(1)若函数yx3axb在(1，)内是增函数.则y3x2a0在x(1，)时恒成立，即a3x2在x(1，)时恒成立，则a(3x2)min.因为x1，所以3x23.所以a3，即a的取值范围是(，3.(2)令y0，得x2.若a0，则x2恒成立，即y0恒成立，此时，函数yx3axb在R上是增函数，与题意不符.若a0，令y0，得x或x.因为(1，)是函数的一个单调递增区间，所以1，即a3.1.解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2.已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立.再练一题3.将上例(1)改为“若函数y在(1，)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y3x2a，当a0，函数在(1，)上单调递增，不符合题意.当a0时，函数y在(1，)上不单调，即y3x2a0在区间(1，)上有根.由3x2a0可得x或x(舍去).依题意，有1，a3，所以a的取值范围是(3，).构建体系1.命题甲：对任意x(a，b)，有f(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】f(x)x3在(1，1)内是单调递增的，但f(x)3x20(1x1)，故甲是乙的充分不必要条件.【答案】A2.已知函数f(x)ln x，则有()A.f(2)f(e)f(3)B.f(e)f(2)f(3)C.f(3)f(e)f(2)D.f(e)f(3)f(2)【解析】因为在定义域(0，)上f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3).故选A.【答案】A3.函数f(x)2x39x212x1的单调减区间是_.【解析】f(x)6x218x12，令f(x)0，即6x218x120，解得1x2.【答案】(1，2)4.已知函数f(x)在(2，)内单调递减，则实数a的取值范围为_. 【导学号：94210056】【解析】f(x)，由题意得f(x)0在(2，)内恒成立，解不等式得a，但当a时，f(x)0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.【答案】5.已知函数f(x)x3ax1.(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(1，1)；(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围.【解】f(x)3x2a.(1)f(x)的单调减区间是(1，1)，1x1是f(x)0的解，x1是方程3x2a0的两根，所以a3.(2)f(x)在R上是增函数，f(x)3x2a0对xR恒成立，即a3x2对xR恒成立.y3x2在R上的最小值为0.a0，a的取值范围是(，0.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.函数yxxln x的单调递减区间是()A.(，e2)B.(0，e2)C.(e2，)D.(e2，)【解析】因为yxxln x，所以定义域为(0，).令y2ln x0，解得0x0，所以函数f(x)在(4，5)上单调递增.故选C.【答案】C3.若函数f(x)ax3x在R上是减函数，则()A.a0B.a1C.a2，则f(x)2x4的解集为()A.(1，1)B.(1，)C.(，1)D.(，)【解析】构造函数g(x)f(x)(2x4)，则g(1)2(24)0，又f(x)2.g(x)f(x)20，g(x)是R上的增函数.f(x)2x4g(x)0g(x)g(1)，x1.【答案】B5.已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是() 【导学号：94210057】A.(，)，)B.，C.(，)(，)D.(， )【解析】f(x)3x22ax10在(，)上恒成立且不恒为0，4a2120a.【答案】B二、填空题6.函数f(x)x2sin x在(0，)上的单调递增区间为_.【解析】令f(x)12cos x0，则cos x，又x(0，)，解得x0，得a21，解得a1.【答案】(，1)(1，)8.若函数yx3bx有三个单调区间，则b的取值范围是_.【解析】若函数yx3bx有三个单调区间，则y4x2b0有两个不相等的实数根，所以b0.【答案】(0，)三、解答题9.(2016吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx3同时满足以下条件：f(x)在(，1)上是增函数，在(1，0)上是减函数；f(x)的导函数是偶函数；f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直.求函数yf(x)的解析式.【解】f(x)3ax22bxc，因为f(x)在(，1)上是增函数，在(1，0)上是减函数，所以f(1)3a2bc0.由f(x)的导函数是偶函数，得b0，又f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f(0)c1，由得a，b0，c1，即f(x)x3x3.10.若函数f(x)x3mx22m25的单调递减区间是(9，0)，求m的值及函数的其他单调区间.【解】因为f(x)3x22mx，所以f(x)0，即3x22mx0.由题意，知3x22mx0，解得x0或x9.故(，9)，(0，)是函数f(x)的单调递增区间.综上所述，m的值为，函数f(x)的单调递增区间是(，9)，(0，).能力提升1.已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图像如图315所示，那么yf(x)，yg(x)的图像可能是()图315【解析】由题图，知函数g(x)为增函数，f(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小.又由f(x0)g(x0)，知选D.【答案】D2.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(b)f(b)g(x)D.f(x)g(x)f(a)g(a)【解析】因为.又因为f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以在R上为减函数.又因为ax，又因为f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x).因此选C.【答案】C3.(2016亳州高二检测)若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为_.【解析】f(x)3x22xm，由于f(x)是R上的单调函数，所以f(x)0或f(x)0恒成立.由于导函数的二次项系数30，所以只能有f(x)0恒成立.法一：由上述讨论可知要使f(x)0恒成立，只需使方程3x22xm0的判别式412m0，故m.经检验，当m时，只有个别点使f(x)0，符合题意.所以实数m的取值范围是m.法二：3x22xm0恒成立，即m3x22x恒成立.设g(x)3x22x3，易知函数g(x)在R上