数学建模E题李欣韦金慧梁雪梅.doc

个人住房贷款模型数学系 李欣 韦金慧 梁雪梅 论文写作:李欣、韦金慧 数据处理: 李欣 、梁雪梅 程序编写：梁雪梅、韦金慧一 摘要个人住房贷款可通过分期付款的方式使买房这个天方夜谭式的梦想变成现实。在市场经济的信息时代，面对不同的经营决策方案，正确的决策意味着经济资源的最优配置。本文采用等额本息还款的方法，建立贷款额（本金）A（元）、月利率rn、贷款期限n(月)与月均还款额B（元）之间的关系模型：令Ck为第k个月末还款后的本利余额:Ck=A(1+ rn)k- i=0k=1(1+rn)iB =A(1+ rn)kB根据题意，当k=n，Cn=0,于是B=( (1+rn)nrn)/(1+rn)n-1)A. 关键词：贷款额 月利率 贷款期限 月均还款额 复利二、问题的重述与分析1. 问题的重述: 今年年初由中国建设银行北京市分行印发的个人住房贷款简介的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。其中指明贷款额最高为拟购买住房费用总额的70%；贷款期限最长为20年。个人住房贷款利率如附表1所示。借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。附表2列出了不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和。试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的。近年来国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房。各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年。每笔贷款年限由商业银行依据借款个人的年龄、工作年限、还款能力等因素与借款人协商确定。个人住房款年利率最高水平降为5.88%。并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下（含5年）为年利率5.31，5年以上为年利率5.88%。请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，并与原附表2中的同期贷款的负担情况比较，住房贷款的负担各降低了多少。附表1中国建设银行北京分行个人住房贷款利率表 附表2中国建设银行北京分行个人住房贷款1-20年月均还款金额表 2问题的分析 根据个人住房贷款办法要求：贷款期限在一年以内（含一年）的，实行到期本息一次性清偿的还款方法。1 贷款期限在一年以上的，可采用等额本息还款法和等额本金还款法（但一笔借款合同只能选择一种还款方法，合同签定后，不得更改）：（1）等额本息还款法，在偿还初期利息支出最大，本金最少，以后利息支付逐步减少，本金逐步增加，但每月以相等的额度偿还金额（本+息）。它比较适合收入低且积蓄少的年轻人，因为月供压力小不会降低生活质量。（2）等额本金还款法，指每月等额偿还贷款本金，贷款利息随本息逐月递减，每月偿还金额（本+息）逐渐减少。总共偿还的利息比等额本息法要少。适合收入高且有一定积蓄的中年人。由于本问题中借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。所以对本问题采用等额本息还款法计算住房还贷问题。三、模型假设1银行及信贷公司在贷款期限内利率不变；2不考虑物价变化及货币贬值等经济波动的影响；3利率转化函数合理性及实用性已经实践检验；4银行利息按复利计算，且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化；5个人能够保证满足每月基本生活后还能有足够的钱来偿还每月的贷款本息。6计算得到的数据与已知数据的误差在一定范围内为人们所接受。四、符号说明符号含义单位备注A贷款本金元定量n贷款期限月变量rn（）月利率定量B月均还款额元定量五、模型的建立与求解1根据附表1中个人住房贷款月利率工资，附表2列出的不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和，及本问题所采用的等额本息还款法，作如下假设：设贷款额(本金)为A(元)，贷款期限为n(月)，月利率为rn,月均还款额为B，令Ck为第k个月末还款后的本利余额。则 C1=A(1+rn)B；C2 = A(1+ rn)B(1+ rn)B=A(1+ rn)2B(1+ rn)B=A(1+ rn)2(1+ rn)+1B；C3=A(1+ rn)2(1+ rn)+1B(1+ rn)B=A(1+ rn)3(1+ rn)2+(1+rn)+1B；一般地，Ck=A(1+ rn)k- i=0k=1(1+rn)iB =A(1+ rn)kB.根据题意，当k=n，Cn=0时,于是B=( (1+rn)nrn)/(1+rn)n-1)A.综上得，附表2中后三列数是由B=( (1+rn)nrn)/(1+rn)n-1)A这个公式计算得到。2根据新规定贷款期限划分为两个档次：5年以下（含5年）为年利率5.31%，5年以上为年利率5.88%。贷款期限5年时，由 n=60,r60=5.55%,A=10000元，得B=(1+0.00555)600.00555)/(1+0.00555)60-1)10000=196.41还款总额：60B=11784.60,利息负担总额：60B-A=1784.60，得到附表2上相应的值.降低贷款利率后,r60=5.31%12=0.004425,A=10000,则月均还款：B=(1+0.004425)600.004425)/(1+0.004425)6010000=190.14. 总还款：60B=11408.4,总利息：60B-A=1408.4,同理可得，20年，月均还款：69.24,总还款：16617.6,总利息：6617.6。计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，列表如下： （借款额为壹万元） 单位：元贷款期限（年）年利率（%）还款总额利息负担总和月均还款额55.3111408.41408.4190.14205.8817028.6 702867095与原附表2中的同期贷款的负担相比,当贷款期限为5年时,每月少交6.27元,一共少负担 376.2元. 当贷款期限为20年时,每月省11.69元,共省2805.6元。利率变换前后的还款总额、月均还款额的走向如下图所示：图1：图2六、模型的推广此模型可推广到的20年以后甚至更长时间的住房贷款还贷问题的预测，依据借款个人的年龄、工作年限、还款能力等因素可使个人的经济计划得到统筹安排, 促进城镇居民购房的热情。七、模型的评价:1优点： 模型对个人住房贷款问题给予定量的分析,利用等额本息还款的建模方式及离散连续结构分析,对贷款买房问题给予了决策参考。2缺点：模型的建立过于简单，由于利率的变化、物价上涨 、货币贬值及个人经济变动问题在此模型中没有考虑到，如果根据这些因素建立新的模型将会更加符合实际，但计算起来比较复杂。八、模型的检验在模型结构的简化中,使利率及还款额与时间成线性变化的理想状态与银行利率受物价水平和经济指数等多方面影响的现实之间存在误差,但作为决策分析,其误差在允许范围之内;在提高经济资源的最优化配置上可供参考.九、参考文献1姜启源.数学模型M.北京：高等教育出版社(第三版). 20032 参考网站：/gcwzcfb/200611/t20061101_5140.htm十、附录附录1：还款总额(Y)与月均还款额(B)计算程序设本金为A元，还款总额Y元，月利