清华第五版数值分析第4章课件

第四章 数值积分和数值微分,为什么要数值积分？,要求被积函数f(x) 有解析表达式； f(x)的原函数F(x)为初等函数,问题 1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g.,2) f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.， 它们的原函数都不是初等函数。,解决办法,1) 我们用不同的办法近似 可得到不同的积分公式。 2）用简单曲线的积分代替复杂曲线的积分。,求积公式举例,1）梯形公式 2）中矩形公式 3）一般公式,求积节点， 求积系数，也称为节点 的权，权仅与节点的选取有关，不依赖于被积函数的具体形式。 这种数值积分方法称为机械求积，特点是积分问题转变为被积函数值的计算。,求积公式的代数精度,定义 若求积公式对所有次数不超过 m 的代数多项式都精确成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称此求积公式具有m次代数精度. 上述定义等价于：若求积公式对 f(x)=1,x,x2,xm 均精确成立，而对 f(x)=xm+1 不精确成立,则称此求积公式具有 m 次代数精度. 求积公式的代数精度概念是衡量公式逼近好坏的标准之一.,例1 判别下列求积公式的代数精度,例2 试确定一个具有3次代数精度的公式,解： 由条件可得下列方程组,例 设有求积公式 求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式的代数精度 解：（3个未知系数需三个方程） 令求积公式分别对f(x) = 1、x、x2准确成立。即 解之得A0 = A2 = 1/3，A1 = 4/3，即有,又易知求积公式对f(x) = x3也准确成立： 但 所以该求积公式具有3次代数精度。,容易验证: 梯形公式 1 次代数精度 中矩形公式 1 次代数精度,求积公式的构造,1）若已经选定求积节点 则解线性方程组,2）若系数和节点都不确定，则解关于 和 的非线性方程组。 3）用简单函数的积分代替被积函数的积分。,定理 求积公式至少具有 n 次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。 证明：1） 2）,求积公式的余项，收敛性，稳定性,若求积公式代数精度为 ，则可设 求出K即可。K不依赖于函数f。令 得到,梯形公式余项,中矩形公式余项,例：求 余项 解：1）确定代数精度是2. 2）设 3）令 求得,收敛性定义,在 中，若 则称求积公式是收敛的。,稳定性定义,设 对任给 若存在 ，只要 就有 则称求积公式是稳定的。,定理：若 ， 则求积公式稳定。 证明,将区间 a,b分成 n等分,步长 ,特殊的求积公式Newton-Cotes公式,若记,则,于是 有求积分公式,(2),当n=1时， Newton-Cotes公式(2)为梯形公式 当n=时， Newton-Cotes公式(2)为辛普森（Simpson）公式,Cotes系数性质:,(1) 对称性,即,(2) Cotes系数之和等于1,即,证明：令 代人求积公式俩边得到。 3）当 柯特思系数出现负值。,对于n阶的Newton-Cotes求积公式 当n为奇数时，至少具有n次代数精度；当n为偶数时，至少具有n+1次代数精度. 因为被积函数为奇函数。,梯形公式的余项,定理 若f(x) C2a,b ,则梯形公式余项为,Simpson公式的余项,定理 若f(x) C4a,b ,则Simpson公式余项为,证明：1）确定代数精度为3. 2）令 3）,柯特思公式余项,例 用梯形公式和Simpson公式计算积分 ,并估计误差.,解 记a=0, b=1, f(x)=e-x ,则f (x)=-e-x f(x)=e-x , f(x)=-e-x , f(4)(x)=e-x,复合求积法,当积分区间较大时，直接使用牛顿-柯特斯公式所得积分近似值的精度是很难得到保证的。因此在实际应用中，为了既能提高结果的精度，又使算法简便且易在计算机上实现，往往采用复合求积的方法。,将区间a,b适当分割成若干个子区间，对每个子区间使用低阶求积公式，构成所谓的复合求积公式，这是提高积分精度的一个常用的方法。,复合梯形公式,将区间a, b分成n等份，其分点为xi=a+ih (i=0,1,2,n), 步长h=(b-a)/n. 在每个小区间xk-1, xk (k=1,2,n)上利 用梯形公式 则 称 为复合梯形公式,复合梯形公式的误差,定理：若 ,则,证 ( ) 由于f(x)C2a,b ，利用闭区间上连续函数的介值定理知存在一点a,b,使,因为求积系数为正，所以复合梯形公式稳定。,复合辛甫生公式,复合Simpson公式,复合Simpson公式的截断误差,定理 若f(x) C4a,b ,则,可以看出，复合Simpson公式是收敛的。,证明 ( ) ( ),实际上，只要f(x)可积，就可得到收敛性。 复合辛普森公式计算稳定。,例：用n=8的复合梯形公式和复合Simpson公式计算,解：,= 3.138988494,= 3.141592502,结论：相同节点个数时，辛甫生求积公式的精度更高,第三节 龙贝格(Romberg)算法,一. 梯形法的步长逐次分半算法,将a,b分成n等分,有复合梯形公式,将a,b分成2n等分,有复合梯形公式,即,由以上递推公式可以看出，在已经算出Tn的基础上再计算T2n时，只要计算n个新分点上的函数值就行了。与直接利用复合梯形公式求T2n相比较，计算工作量几乎节省了一半。,为编程方便,常取 ,则有,例: 计算积分值,不断二分可得下表：,二分10次得到的近似值0.9460831具有7位有效数字，要计算1025= +1 个分点的值，计算量较大 。,外推技巧,定理：设 ， 则有 其中 与 无关。,龙贝格算法,算法过程,例用Romberg公式计算积分 解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：,龙贝格算法例题,龙贝格算法例题(续1）,龙贝格算法例题(续2）,至此得 ，因此积分,3 数值微分,其中h为一增量，称为步长。中心差商公式实际上是前两种方法的算术平均，但是它的误差阶却由O(h)提高到O(h2)。,误差分析,插值型求导公式,对于列表函数y=f(x).,运用插值原理，可以建立差值多项式y=Pn(x)作为它的近似，由于多项式求导比较容易。取 作为 的近似。,但是即使f(x)与y=Pn(x)的值相差不大，但是导数的近似值仍然可能相差很大，因此误差分析非常重要。,对于任意给出的x，该项无法估计，但是对于某个节点上的导数值，第二项为零。,误差估计,1. 两点公式,2. 三点公式,中心差商公式,在实际应用中常使用中点公式。从截断误差的角度来看，h越小误差越小，但是从舍入误差的角度来看，h越小，分子的有效数位越少。因此在实际应