立体几何高考题全.doc

立体几何高考题1.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）A. B. C.3 D.22.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A12B12C8D103.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90 B.63 C.42 D.365.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B）30 （C）20 （D）106.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则ABCD7.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ABC D8.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是9.平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1, 平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为 （A）（B）（C）（D）10.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 11.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（A）12 （B） （C）8 （D）412.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( )A. B. 16 C. 9 D. 13.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 14.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）15.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则16.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则 B若，则C若，则 D若，则17.（10）已知三棱柱A B C D 18.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 19.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_。20.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。21.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值22.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G为BC的中点.()求证：FG平面BED；()求证：平面BED平面AED；()求直线EF与平面BED所成角的正弦值.23.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD,（）证明：A1O平面B1CD1;（）设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1. 24.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD平面PBC；（）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.25.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD, BAD=ABC=90。（1）证明：直线BC平面PAD;（2）若PCD的面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积。26.如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面PAC；（）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积27.如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比28.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.29.如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（）证明：G是AB的中点；（）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积30.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置.（）证明：ACHD；（）若AB=5，AC=6，OD=，求五棱锥D-ABCFE体积.31.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小.32.如图，三棱锥中，.（）求证：平面；（）若，为中点，求三棱锥的体积.AFCDBPE33.如图，四棱锥中，分别为线段的中点. （）求证：；（II）求证：.34.如图，在四棱锥中，平面平面；，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.ADEBC35.在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。（）若，证明：直线平面；（）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。36.如图，和所在平面互相垂直，且，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.（1）求证：平面BCG；（2）求三棱锥D-BCG的体积.37.如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，,为上一点，且.（）证明：（）若，求四棱锥的体积38.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点. （I）证明：PB平面AEC; (II)设AP=1，AD=,三棱锥P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离.39.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（I）证明：（II）若,求三棱柱的高.40.（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面底面，和分别是和的中点，求证：（1）底面（2）平面（3）平面平面41.如图，三棱柱中，。（）证明：；（）若，求三棱柱的体积。42.如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB/CD，ADAB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1） 证明：BE平面BB1C1C;（2） 求点B1 到平面EA1C1 的距离43.（I）求证：（II）设试卷答案1.B解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B.2.B解答：截面面积为8，所以高，底面半径，所以表面积为.3.A解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积.4.B由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.5.D该几何体是三棱锥，如图：图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.6.C7.B如果，画出圆柱的轴截面，所以，那么圆柱的体积是，故选B.8.A由B，ABMQ，则直线AB平面MNQ；由C，ABMQ，则直线AB平面MNQ；由D，ABNQ，则直线AB平面MNQ.故A不满足，选A.9.A试题分析：如图，设平面CB1D1平面ABCD=m，平面CB1D1平面ABB1A1=n，因为平面CB1D1，所mm，nn，则m，n所成的角等于m，n所成的角. 过D1作D1EB1C，交AD的延长线于点E. 连接CE，则CE为m，连接A1B，过B1作B1F1A1B，交AA1的延长线于点F1，则B1F1为n. 连接BD，则BDCE，B1F1A1B，则m，n所成的角即为A1B，BD所成的角，为60，故m，n所成角的正弦值为.10.A试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为R，则，解得R=2，所以它的表面积是，故选A11.A因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以球面的表面积为，故选A.12.A13.B14.A15.C16.B17.C18.19.36取的中点，连接因为所以因为平面平面所以平面设所以所以球的表面积为20.12设六棱锥的高为，斜高为，则由体积得：， 侧面积为.21.解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得.则为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.22.（）详见解析（）详见解析（）（）证明：在中，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，由余弦定理可得，所以，因此，在中，所以直线与平面所成角的正弦值为.23.证明：（）取中点，连接，由于为四棱柱，所以，因此四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，（）因为 ,E,M分别为AD和OD的中点，所以,又 面，所以因为 所以又 A1E, EM所以平面平面，所以 平面平面。24.（）解：如图，由已知AD/BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.又因为BC/AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC.（）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD/BC，DF/AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.25.所以四棱锥P-ABCD的体积.26.证明：（） ，平面，平面，且，平面，平面, ；（），是的中点，,由（）知平面，平面，平面平面，平面平面，平面,，平面，平面,平面平面,（）平面，又平面平面,平面，是中点，为的中点， 是的中点， , 27.（1）证明：取中点，连，为中点，又是等边三角形，又，平面，平面，.28.（1）（2）由知 取AD中点O，所以 AO=2 = 29.（）因为P在平面ABC内的正投影为点D，所以ABPD. 因为D在平面PAB内的正投影为点E，所以ABDE.所以AB平面PED，故ABPG. 又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点.（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积30.（I）由已知得，又由得，故由此得，所以（II）由得由得所以于是故由（I）知，又，所以平面于是ACOD又由，所以，平面又由得五边形ABCFE的面积所以五棱锥D-ABCFE的体积31.解法一：（1）A1D平面ABC, A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C平面ABC,又BCAC，所以BC平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1A1C,由三垂线定理得AC1A1B.(2) BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C平面BCC1B1,作A1EC1C,E为垂足，则A1E平面BCC1B1,又直线A A1平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1间的距离，A1E=，因为A1C为ACC1的平分线，故A1D=A1E=,作DFAB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD=,得D为AC的中点，DF=,tanA1FD=,所以二面角A1-AB-C的大小为arctan.解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内.（1）设A1（a，0，c），由题设有a2，A（2,0,0）B（0,1,0），则(-2，1，0), ，由得，即，于是,所以.（2）设平面BCC1B1的法向量，则,即，因，故y=0，且（a-2）x+cz=0，令x=c，则z=2-a，点A到平面BCC1B1的距离为，又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为，所以c= .代入得a=3（舍去）或a=1.于是，设平面ABA1的法向量，则,即.且-2p+q=0，令p=，则q=2，r=1，又为平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A1-AB-C的大小为arccos32.（1）平面BCD，平面BCD，.又，平面ABD，平面ABD，平面.（2）由平面BCD，得.，.M是AD的中点，.由（1）知，平面ABD，三棱锥C-ABM的高，因此三棱锥的体积.解法二：（1）同解法一.（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCD=BD，如图，过点