线性代数课件第四章线性方程组第1节消元法、线性方程组解的判定与解的性质.ppt

1 消元法、线性方程组解的讨论,第四章 线性方程组,1 消元法、线性方程组解的讨论,2 线性方程组解的结构,1 消元法、线性方程组解的讨论,一、消元法,1 消元法、线性方程组解的讨论,二、线性方程组解的判定与解的性质,1、线性方程组的基本概念,2、线性方程组的初等变换,3、消元法,1、线性方程组解的判定,2、线性方程组解的性质,(1) 一般线性方程组是指形式为,(1),是方程的个数 ;,的方程组，其中 代表 个未知量，,称为方程组的系数； 称为常数项 。,一、消元法 1、线性方程组的基本概念,简记为,(2) 方程组的解,设 是 个数，如果 分别用,代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,则称有序数组 是（1）的一个解.,(1)的解的全体所成集合称为它的解集合,解集合是空集时就称方程组（1）无解,(3) 同解方程组,如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们,是同解的,(4) 方程组的系数矩阵与增广矩阵,矩阵,称为方程组（1）的系数矩阵 ;,而矩阵,称为方程组（1）的增广矩阵,定义 线性方程组的初等变换是指下列三种变换, 用一个非零的数乘某一个方程；, 将一个方程的倍数加到另一个方程上；, 交换两个方程的位置,性质 线性方程组经初等变换后，得到的线性,方程组与原线性方程组同解,倍法,消法,换法,一、消元法 2、线性方程组的初等变换,如对方程组（1）作第二种初等变换:,简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1）,（1）,设 是方程组（1）的任一解，则,所以 也是方程组（1）的解.,于是有,同理可证的（1）任一解也是（1）的解.,故方程组（1 ）与（1）是同解的.,对于另外两种变换可以用类似的方法证得.,(1) 引例,解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程,一、消元法 3、消元法与线性方程组的初等变换,解线性方程组,减去第一个方程，得,第二个方程减去第三个方程的2倍，再互换第二、第三,两个方程，即得,将第三个方程代人第二个方程，然后乘以 ，得,最后将第二、第三个方程代人第一个方程，便可得,原方程组的解为,或,结论 消元过程就是对线性方程组反复施行 初等变换的过程.,(3) 线性方程组的消元法,不妨设线性方程组(1)的增广矩阵,初等行变换,其中, 时，方程组 (1)无解, 时，方程组(1) 有解.,对应方程组与原方程组同解,阶梯阵,阶梯阵对应方程组为,(1),当 时 ，方程组(1)有无穷多解,所以，当 时，方程组(1)有唯一解；,（ 这样，方程组(1)有没有解，以及有怎样的解，都可以通过它的增广矩阵看出.）,从而，原方程组(1)与方程组(1)同解,注意 对线性方程组作消元法相当于对其增广 矩阵作初等行变换化成行阶梯阵，同时由这个行 阶梯阵能完整重现对应线性方程组.,步骤（1）写出增广矩阵； （2）对增广矩阵作初等行变换化成行阶梯阵； （3）由行阶梯阵判断线性方程组解的情况； （4）在有解的情况下，由行阶梯阵写出同解方程组， 并求出原方程组的解.,例1. 解下列方程组,解：对方程组的增广矩阵作初等行变换,由 知，原方程组有唯一解。,由 知，原方程组的解为,解：对方程组的增广矩阵作初等行变换,由 知，原方程组有无限多个解。,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,解：对方程组的增广矩阵作初等行变换,从最后一行知，原方程组无解。,1.线性方程组解的判定,元线性方程组,（1）无解,二、线性方程组解的判定与解的性质,（2）有唯一解,定理1（判定定理1）,（3）有无限多个解,元线性方程组 有解的充分必要条件是,线性方程组理论的基本定理,定理2（判定定理2）,系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即,定理3,元齐次线性方程组 一定有解，且,（1）只有零解,（2）有 非零解,例 判断非齐次线性方程组解的情况,解,对增广矩阵b进行初等变换，,故方程组无解,例 判断非齐次方程组解的情况,解 对增广矩阵b进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的解为,例4 判断齐次线性方程组解的情况,解,即得与原方程组同解的方程组,故齐次线性方程组有非零解，且有,由此即得,练习 判别齐次方程组解的情况,解,故齐次线性方程组只有零解.,元非齐次线性方程组 有解,非齐次与齐次线性方程组解的关系,定理4（关系定理）,有唯一解，,有无限多个解.,元非齐次线性方程组 有唯一解,只有零解,元非齐次线性方程组 有无限多个解,有非零解,例5 .设有方程组,问 取何值时，此方程组 （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.,解法一 : 对增广矩阵 作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,（1）当0且 3时，r(a)=r( )=3，方程组有唯一解； （2）当=0时，r(a)=1，r( )=2，方程组无解； （3）当= 3时，r(a)=r( )=2，方程组有无限多个解.,由此便得通解,解法二: 因系数矩阵 a 为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式|a|0.而,因此，当 0且 3时，方程组有唯一解.,2.线性方程组解的性质,元非齐次线性方程组,二、线性方程组解的判定与解的性质,也是（2）的解.,元齐次线性方程组,性质1 若 是（2）