力的正交分解法

1 / 25 力的正交分解法 第一篇 :力的正交分解法 力学计算“万金油” 正交分解法 （力的合成和分解） 同学们在解题中经常会遇到要求两个以上共点力的合力的情况，有时要做好几步既要算大小、又要算角度的矢量运算，中间步骤十分容易出错。有的同学遇到这类复杂的计算题就心烦上火。那有没有什么更清晰简明的运算方法呢？ 接下来我们就要向你介绍一种将复杂的矢量计算转化为简单的代数计算的方法，按照这个方法解题的话可以大大降低运算难度。而且这种方法的思路清晰简明，可以适用于各种情况，可以说是屡试 不爽的“万金油”。以后在考试中再碰到这类需要复杂计算的题目，你就可以不慌不忙的用这个方法解决掉它了！ 下面我们就来介绍这种方法。 2 / 25 基本步骤 知道这种方法的基本步骤对你非常重要，因为它可以让你清楚每一步该去做什么。 大思路是这样的： 1）建立直角坐标系 一般选共点力的交点为坐标原点选择坐标方向时可以沿已知力的方向，这样这个方向的已知力就不用分解了。 2）沿 x、 将各个力依次分解为互相垂直的两个分力，如右图所示。 这一步是正交分解法的精髓所在：为了简化求合力的计算，正交分解法采用了“欲退先进”的战术，分 解是为了合成，这样把所有计算限定在直角三角形和一条直线上的矢量计算中，虽然看似多了一步，却使计算变得简单了。 3）在 x、 别求同一直线上几个力的合力。 1x 3x 1y 3y 3 / 25 这一步计算只有简单的加减法，方便吧！ 4）求出 大小： F 方向（与轴正方向夹角为 y/吧，我们下面来实践一下，看看我们讲的方法是不是好用！ 下面我们先来看一道题： 你知道合力是多大吗？ 如图所示，一物体受到 0N， N， N 三个共点力作用。其中 2的夹角为 30， 50。求这三个共点力的合力。 这道题如果按照课本上的公式计算方法解，就需要定量计算连续应用平行四边形定则，解三个特殊三角形，做三次矢量4 / 25 计算。看着就挺麻烦的吧。 现在，我们就用刚讲过的正交分解法来解这个题，让我们体验一下这种方法有多么简单和清晰吧。 建立坐标，先分解，再求和 体验思路： 首先，我们可以选择三个力的交点为坐标原点，建立直角坐标系。 体验过程： 第二步，将 轴正交分解得到： 1 2233N。 第三步 ：力的正交分解法。 5 / 25 1x 3x 10 N 1y 4 最 后 ， 求 出 合 力 F 6 / 25 ， y/小 结： 通过这个题目，同学们可以发现正交分解法解题虽然步骤稍多 ，但 每步运算都很简单，而且思路清晰，步骤也很统一，只需要按着套路来，不容易出错。所以特别适合于解多个力合成的复杂题型，尤其是在其他简化巧解使不上劲的时候。 提 示： 请同学们解下面这个计算题，如果你用我们所讲的正交分解方法来解， 肯定能很快解出正确答案，试试看吧！ 实 践： 如图所示：同一平面内有三个共点力 0N，30N， 7 / 25 指点迷津 实践略解 0N，它们之间互成 120夹角，求这三个力的合力。 实践题答案 以 O 为坐标原点，以 y 轴负方向，建立坐标系，如下图。将 别沿 x、 y 轴方向分解，然后求出 x、 合力的大小为，方向沿 x 轴负方 向，即在 3 之间、与0。 第二篇 :力的正交分解法 专题一：物体的受力分析 （一）物体的受力分析 物体之所以处于不同的运动状态，是由于它们的受力情况不同。要研究物体的运动，必 8 / 25 须分析物体的受力情况。正确分析物体的受力情况，是研究力学问题的关键，是必须掌握的基本功。 如何分析物体的受力情况呢？主要依据力的概念，从物体所处的环 境（有多少个物体 接触）和运动状态着手，分析它与所处环境的其他物体的相互联系。具体的分析方法是：力的正交分解法。 1、确定所研究的物体，然后找出周围有哪些物体对它产生作用。 不要 找该物体施于其他物体的力。比如所研究的物体叫 A，那么就应该找出“甲对 A” 和“乙对 A”及“丙对 A”的力 而“ A 对甲”或“ A 对乙”等力就不是 不要把作用在其他物体上的力错误地认为通过“力的传递”作用在研究对象上。 2、要养成按步骤分析的习惯。 9 / 25 先画重力：作用点画在物体的重心。 其次画接触力（弹力和摩擦力）：绕研究对象逆时针（或顺时针）观察一周，看研究对力的正 交分解法。 象跟其他物体有几个接触点（面），某个接触点（面）若有挤压，则画出弹力，若还有相对 运动或趋势，则画出摩擦力。分析完这个接触点（面）后再依次分析其他接触点（面）。 再画其他场力：看是否有电场、磁场作用 ，如有则画出场力。 3、画完受力图后再作一番检查。 检查一下画出的每个力能否找出它的施力物体，若没有施力物体，则该力一定不存在。 特别是检查一下分析的结果，能否使研究对象处于题目所给的运动状态，否则必然发生了多 力或漏力的现象。 10 / 25 4、如果一个力的方向难以确定，可用假设法分析。 先假设此力不存在，观察所研究的物体会发生怎样的运动，然后审查这个力应在什么 方向时，研究对象才能满足给定的运动状态。 5、合力和分力不能重复地列为物体所受的力。 力的合成与分解的过程是合力与分力“等效替代”的过程，合力和分力不能同时存在。 在分析物体受力情况时，如果已考虑了某个力，那么就不能再考虑它的分力。例如，在分析 斜面上物体的受力情 况时，就不能把物体所受重力和“下滑力”并列为物体所受的力，因为 “下滑力”是物体所受重力在沿斜面方向上的一个分力。 专题二：力的正交分解法 11 / 25 1、定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫做力的正交分解法。 说明：正交分解法是一种很有用的方法，尤其适于物体受三个或三个以上的共点力作 用的情怳。 2、正交分解的原理 一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得。当物体受到多个力的作 用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便。为此，我们建 立一个直 角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，分别求出两个不同方向 上的合力 y，然后就可以由 F 合 =，求合力了。 12 / 25 说 明 ：“ 分 ” 的 目 的 是 为 了 更 方 便 的 “ 合 ” 正交分解法的步骤： （ 1）以力的作用点为原点作直角坐标系，标出 果这时物体处于平衡状 态，则两轴的方向可根据方便自己选择。 （ 2）将与坐标轴不重合的力分解成 x 轴方向和 y 轴方向的两个分力，并在图上标明， 用符号 （ 3）在图上标出力与 y 轴的夹角，然后列出 ： F 与 x 轴夹角为，则 两轴重合的力就不需要分解了。 （ 4）列出 x 轴方向上的各分力的合力和 y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后 13 / 25 再求解。 【典型例题】 例 1、如图所示，用绳 00绳 夹角 分别为 30和 45。求：绳 物体的拉力的大小。 解：此题可以用平行四边形定则求解，但因其夹角不是特殊角，计算麻烦，如果改用 正交分解法计算简便得多。先以 C 为原点作直角坐标系，设x 轴水平， y 轴竖直，在图上标 出 x 轴和 ： = = = 14 / 25 = x 轴上， 小相等 即 在 y 轴上， 合力与重力相等 （ 1） 即 00 （ 2） ） N=25（ 1） N 解（ 1）（ 2）得 绳 5（ 绳 0（ 1） N 例 2、如图所示，重力为 500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重 200N 的物体，当绳与水平面成 60角时，物体静止。不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。 分析：人和重物静止，所受合力皆为零，对物分析得到，绳拉力 00N；人受四个力作用，将绳的拉力分解，即可求解。 15 / 25 解：如图所示，将绳的拉力分解得 水平分力 =200 N=100N 竖直分力 =200 N =100N 在 x 轴上， F与 力平 衡 所以静摩擦力 F=100N 在 y 轴上，三力平衡得地面对人支持力 500 100） N=100（ 5） N 例 3、如图所示：将重力为 G 的光滑圆球用细绳拴在竖直墙壁上，如图，当把绳的长度增长，则绳对球的拉力 T 和墙对球的弹力 的正交分解法。 解：根据球的平衡条件图（ a） =0 用已知力 、N。 （ 1）明确对象，作受力分析，如图（ a），球受 G、 N、 T，设绳与墙夹角为 16 / 25 （ 2）选用方法： A、合成法：因为 =0。所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等，方向相反。如图 （ b）， N、 G 合力 T T =在 图（ b） 图（ c） B、分解法：因为 =0。所以其中任一个力在其它两个力方向的分力均与该力大小相等、方向相反而平衡。如图（ c），在T、 有 T =T， N =N。仍可看 。 C、用正交分解法：建立直角坐标系。如图（ d），因为球受 ， 。对三种解法要深刻理解，针对具体问题灵活运用，讨论结果： =0，必同时满足 第三篇 :专题：力的正交分解法讲解 +训练 17 / 25 专题：力的正交分解法 1、定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫做力的正交分解法。 说明：正交分解法是一种很有用的方法，尤其适于物体受三个或三个以上的共点力作用的情怳。 2、正交分解的原理 一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得。当物体受到多个力的作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便。为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，求 x、 x, x=、 、 最后求 y 的合力 F 大小 ： 方向（与 18 / 25 22 分别求出两个不同方向上的合力 后就可以由 y，求合力了。 说明：“ 分”的目的是为了更方便的“合” 正交分解与常规力的分解的区别：正交分解与力的分解不同的是不是按照力的作用效果分解，而是把力分解成相互垂直的两个分力，任然按照平行四边形定则分解。 基本思想：等效替代。 正交分解法的步骤： （ 1）以力的作用点为原点作直角坐标系，标出 果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据方便自己选择。 （ 2）将与坐标轴不重合的力分解成 x 轴方向和 y 轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号 （ 3）在图上标出力与 y 轴的夹角，然后列出 9 / 25 数学表达式。如： F 与 x 轴夹角为，则 y=两轴重合的力就不需要分解了。 （ 4）列出 x 轴方向上的各分力的合力和 y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。 例 1 三个力共同作用在 O 点，如图 6 所示， 00，求合力。 解析：此题用正交分解法既准确又简便，以 x 轴建立直角坐标； （ 1）分别把各个力分解到两个坐标轴上，如图 7 所示： 2 1; 22y 0 / 25 图 6 1 3x 3y 力的正交分解法 （ 2）然后分别求出 y 轴上的合力 2X 1 13y 0 3）求出 所示。 2 F 合 合 y 合 2F 1 / 25 合 3；既 600，则合力与 600 运用正交分解法解题时， x 轴和 y 轴方向的选取要根据题目给出的条件合理选取，即让受力物体受到的各外力尽可能的与 坐标轴重合，这样方便解题 。 图 8 运用正交分解法解平衡问题时，根据平衡条件 F 合 0，应有 0， 0，这是解平衡问题的必要和充分条件，由此方程组可求出两个未知数。 例 2 重 100N 光滑匀质球静止在倾角为 37 的斜面和与斜面垂直的挡板间， 求斜面和挡板对球的支持力 解：选定如图 3所示的坐标系，重球受力如图 3所示。由于球静止，所 以有： 22 / 25 F 2 00 80N 00 60N 图 3 例 3、如图所示，用绳 00绳 方向的夹角分别为 30和 45。求：绳 解：此题可以用平行四边形定则求解，但因其夹角不是特殊角，计算麻烦，如果改用正交分解法计算简便得多。先以 C 为原点作直角坐标系，设x 轴水平， y 轴竖直，在图上标出 在 x 轴和 y 轴上的分力。即： _； _ _； _ 23 / 25 在 x 轴上， 小相等，即 _（ 1） 2 在 y 轴上， 合 力 与 重 力 相 等 即_（ 2） 解（ 1）（ 2）得绳 拉力 _ 绳 _ 巩固练习 1如图 5所示：三个共点力， N， 0N， 5N，=60，它们 的合力的 _N，y 轴方向的分量 N，合力的大小为 N，合力方向与 。 2. (8 分 )如图 6 所示， 370， 箱子重 G 200N，箱子与地面的 24 / 25 动摩擦因数。要匀速拉动箱子，拉力 3.（ 8 分）如图，位于水平地面上的 质量为 M 的小木块，在大小为 F、方向与水平方向成 a 角的拉力作用下沿地面作匀速直线运动。求： （ 1） 地面对物体的支持力？ （ 2） 木块与地面之间的动摩擦因数？ 4（ 6 分）如图 10 所示，在倾角为 =37的斜面上有一