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第七节 多自由度系统中的阻尼 （教材6.14）前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。有粘性阻尼的n个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。有阻尼的n个自由度系统的运动微分方程为 （5-60）式中是阻尼矩阵，为nn对称矩阵。由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵。令 代入方程（5-60）并前乘以，得 （a）因 - 单位矩阵 （b）而一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能使式（a）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 ，。已解出阻尼矩阵为 不是对角矩阵。可以证明，利用系统的无阻尼振型矩阵或使系统阻尼矩阵实现对角化的充分必要条件为特殊情况：一、 如果原广义坐标的阻尼矩阵刚好与质量矩阵或刚度矩阵成正比，或者是它们的线性组合，即其中和为正的常数。称这种阻尼为比例阻尼。对于这种比例阻尼，当原广义坐标变换为正则坐标时，正则坐标的阻尼矩阵是对角矩阵：令第 i阶模态阻尼为 。对应的第 i阶模态阻尼比为则正则坐标的阻尼矩阵可写成另外一种形式可见，比例阻尼是使成为对角矩阵的一种特殊情形。二、 工程上大多数情况下，正则坐标中的阻尼矩阵不是对角矩阵。然而，工程上的大多数振动系统中，阻尼都比较小，而且由于各种阻尼的机理至今还没有完全搞清楚，精确测定阻尼的大小也还有很多困难。所以往往采用一种近似的方法，把中非对角元素都改为零，而只保留对角元素原有的数值，于是得到对角阻尼矩阵上式称为正则振型的阻尼矩阵，称为第 i阶正则振型的阻尼系数。如采用相对阻尼比表示，有式中 ，为第 i阶正则振型的相对阻尼比。对于上面两种情况，用代替之后，方程（b）变成如下形式它的展开式为这是一组n个相互独立的二阶常系数线性微分方程组，彼此可以独立求解。这样，把有阻尼的多自由度系统的振动问题，简化为n个正则坐标的单自由度系统的振动问题。如果正则坐标的初始值为和，类似于单自由度
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