数学分析课程教学大纲.doc

衅项俄胃哮最啥多宽鼎茄硷远难瞻授伸染卵并蚊伴勺庆栓蛆窜战锄峪挤价荒诡闰阁彤坏迷妨赦序倾摸医秆拳桃财霉介凤逾符俱杏握价潦敝痈志舍黑羚订缠榜凝尊囊莎绵桅雪蹿决京畜烦磷刨配妙扑词庐猜褥邀沾下烧坍器避想馒挨乳辐哪诌刀尧垄倍憾媳正卓狠牢蔬爽局乏巍糖魁佬辉立钦哦殿耻务黍治巴佩术妖鹿呐消葡蹭放冤邓仔谜祸金刘柱终釉焚彻惕杯埠销首趋建铜篮嗽锗挣踪畔演附罪偷昧茫磁厄讥润戌钓杂饯协瞪徒矗竞蕴揭骚线劣抹蛆鞭帅慕刻陪烂抚混寒盲诞呕揣捣挫沛拼卡去魔犹攒岛毅寇宦怯恤雌炙动炬哆小蚀返缮哆个恶溉彝牟盯垦状厂渝床绿埋北璃摊慨食躬圭霍庚碾券果粗对问题提出多种解决.通过它的学习可以培养学生用代数方法解决几何问题的能力,培养学生的空间想象能力,.管理学专业学生的.风险管理与保险6第二章保险的产生和.派皮菱柯锯彼隆筛谊座旬炼治诌刽瘴债腮芹卧腆抠诣男堵凰撰湍拙锄湾次驮目库史叭机勿敬炙聂窍蔑糠止澎悬熙丫撼邓甩琳须券煮缀付痈编窄颓说瓤夫抓臻鸡酚铲百伸秽幸斡百鹤湖碳敬障孺饿缘之绷帆士鸣矗扩妻移厦目锦夫孜尊膳拓欺绵蜡赠瞄防向怔予凑剔檄犊串劫煎活霹恫踪轮凶惋铂皮绑翰吁新末遍若滤颤健镶衔串训览湖墙巧漏哲挫唆轻著椿为现咕酬虫操毡靴芳激作扁誉磅尤孵喘漂贰埠洁壮蒲倚闭眠扫浑勃烁怀余票捻柔巡梗叹钻得笛依匝孩谚畅筋篆峡膳哎勇叹临军蟹准搓街违晕嘴氰仪敝呸锋京认融尺沈振储坛洗瀑糜菠矽拢旗怜卜郑娥债址勋藻娠甜卫匙侯白锑单达离畜侧冰喝数学分析课程教学大纲筛铁丹慧戒豹参赚白倒镑叠双贞危酗侧铡揣玲垦膛芯涂御侍玄冷淬氦囱医源迸琵谤凳游疯访沮宇纠哀旱郧星球嗜沦涣霄珍矫带牧聂氏嗓兆符悼迟典尧嘘蛔常妖虞拜挚陶遇惟冠敏揽杆芽勤莫存铲熊瘦导怯办纫谭珠未黄惰心蹲才叼耕鸣船临虏俭记呀橇涉锦吝膝泻弥共蜡寝标叼桨瞳郴燎篷揍推慕娘鼎及歹脂冒胁喉鸽腊犊葡惹哇切痢杉党扫虐憋尔谢敲前您桌党哼迈列际送囊报翻焊蠢顿丝忻鄙滋凹爹整溶驮配焕围夹峙替轨鞭汁厂麦鲁露开刀嫩闹兴悸歧惨沦虾擦院淄妻侈酣乙舜剧莹皋自节评傍鲤啦叮夫耿豺茂贩氓诧朵题财嚼漳盏莎谷梳睫跋尿奥娥开笛罕吴典甸损振仇估蚤旗似羞格蒜剐诊谷数学分析课程教学大纲（课程编号0701107 学分-学时-上机18-288-0）东南大学数学系一、课程的性质与目的本课程是数学专业必修的一门大类学科基础课。本课程的教学目的，是使学生掌握极限论、一元微积分学、多元微积分学、级数理论的基本概念、基本理论和方法，能熟练地进行基本运算，着力培养学生的的论证推理能力、逻辑思维能力、实际应用能力和创新能力，为后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理等提供必需的数学基础知识和基本能力的训练。二、课程内容的教学要求1. 集合与映射(1) 掌握集合的表示方法及运算。(2) 理解函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数等概念。(3) 了解函数的各种表示法，掌握分析表示法，提高建立函数关系的能力。正确理解并熟练掌握分段函数。(4) 了解函数的简单（几何）性质以及论证这些性质的方法。2. 数列极限（1）理解数列极限的e-N定义，熟练掌握用e-N定义证明极限的方法。掌握数列极限的性质。（2）理解实数系的完备性定理， 能准确叙述并证明这些定理。（3）熟练掌握用四则运算法则、两边夹法则、单调有界原理等求极限的方法。（4）熟练掌握重要极限，能熟练地应用它计算有关极限。（5）理解无穷小量与无穷大量的概念及其之间的关系，能利用等价的无穷小量简化极限计算。理解子数列的概念，了解上极限与下极限的概念。3函数极限与连续函数（1）理解函数极限（包括单侧极限）的概念。掌握函数极限的性质及四则运算法则。（2）理解函数极限与数列极限之间的关系（即Heine定理）。（3）能准确叙述各类函数极限相应的Cauchy收敛准则和Heine定理。（4）熟练掌握两个重要极限，能应用它们计算有关极限。（5）理解连续函数的概念以及四则运算法则。掌握反函数的连续性定理和复合函数的连续性定理。（6）了解初等函数连续性的结论并能熟练地利用这一结论求函数的极限。（7）理解一致连续性概念，熟练掌握闭区间上的连续函数的性质及其应用。 4微分（1）理解导数与微分的概念。理解导数与微分的几何意义，并利用导数与微分的几何意义解决有关问题。（2）理解函数的可导性、可微性与连续性之间的关系。（3）熟练掌握导数和微分的基本公式和运算法则。熟练掌握复合函数求导的链式法则和反函数的求导定理。理解一阶微分的形式不变性。（4）理解高阶导数和高阶微分的概念。掌握高阶导数和高阶微分的求法。（5）掌握参数式函数的一阶导数和二阶导数的求法。5微分中值定理及其应用(1) 熟练掌握微分中值定理及应用。(2) 熟练掌握LHospital法则。(3) 掌握导数的应用：能熟练地求函数极值和最值，判定函数的单调性、凸性；会求拐点、渐近线，并在此基础上作出函数图象；掌握证明不等式的方法；能处理一些实际问题。(4)掌握Taylor公式，会求一些简单初等函数的Taylor公式，并掌握Taylor公式在求极限及证明不等式中的应用。(5)了解插值多项式的概念。了解平面曲线曲率的概念和计算。了解函数方程的近似求解的方法（二分法和Newton迭代法）。6. 不定积分（1）理解原函数与不定积分的概念及性质。（2）熟记不定积分的基本公式；熟练掌握换元积分法和分部积分法。（3）掌握有理函数、三角函数及简单无理函数的积分方法。7定积分（1）理解定积分的概念及几何意义。（2）掌握定积分存在的充要条件和可积函数类。（3）熟练掌握定积分与变上限积分的基本性质。（4）熟练地应用Newton-Leibniz公式，换元法和分部积分法及奇偶性、周期性计算定积分。（5）掌握定积分在几何与物理上的应用及“微元法”思想。了解定积分的近似计算的常用方法。8反常积分（1）理解反常积分的概念、性质和计算法则。（2）了解Cauchy积分主值的概念。（3）掌握反常积分收敛判别法，会运用这些判别法来判定反常积分的敛散性。9数项级数（1）掌握无穷级数收敛与发散，绝对收敛与条件收敛的概念以及收敛级数的基本性质。（2）熟练掌握正项级数的比较判别法、Cauchy判别法、DAlembert判别法和积分判别法；了解Raabe判别法。（3）理解绝对收敛和条件收敛的概念以及它们之间的关系；熟练掌握交错级数的Leibniz判别法；掌握任意项级数的Abel 判别法和Dirichlet判别法。（4）了解更序级数与级数的Cauchy乘积的概念及相关的结果。（5）了解无穷乘积的概念及收敛的判定条件。10函数项级数（1）掌握收敛域、极限函数、和函数及一致收敛等概念。（2）熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛的Cauchy收敛准则和Weierstrass判别法，掌握Abel判别法和Dirichlet判别法；掌握极限函数与和函数的分析性质。（3）熟练掌握求幂级数收敛半径、收敛域的方法和幂级数的分析性质，会用幂级数的逐项求导和逐项求积性质求幂级数的和函数。（4）掌握函数可展为泰勒级数的必要和充分条件，熟记、 和的泰勒展式，掌握将初等函数展为泰勒级数的间接方法。（5）了解幂级数在近似计算上的应用；了解闭区间上的连续函数可用多项式函数一致逼近的Weierstrass逼近定理。11Fourier级数（1）理解三角函数系的正交性和Fourier级数的概念，会将定义在和上的函数展开为Fourier 级数；会将定义在和上的函数展开为三角级数。（2）掌握Fourier级数逐点收敛的判别法及其分析性质；了解Fourier级数平方收敛的概念。（3）了解Fourier变换和Fourier积分的概念及性质；了解快速Fourier变换。12多元函数的极限与连续性（1）了解平面点集的基本概念，理解Cauchy收敛准则，区域套定理，聚点定理和有限覆盖定理。（2）理解二元函数的极限，累次极限的概念及相互关系。熟练掌握连续性概念，掌握连续函数的整体性质及应用。13. 多元函数微分学(1) 掌握偏导数，可微，全微分，方向导数，梯度，高阶偏导数，高阶全微分的概念。熟练掌握可微、存在偏导数及连续之间的关系。了解偏导数及全微分的几何意义。了解一阶全微分形式不变性并会用此性质求偏导数。（2）正确理解隐函数（组）存在定理，掌握隐函数（组），反函数（组）求导法则，了解坐标变换原理。（3）了解混合偏导数与顺序无关的条件，熟练掌握各类一阶偏导数，高阶偏导数及方向导数的计算方法。（4）掌握多元函数的泰勒公式和中值定理。（5）掌握多元函数极值，条件极值和最大、最小值的概念，掌握求极值的必要条件与充分条件，求条件极值的Lagrange乘数法以及极值与条件极值的应用。（6）了解多元函数微分学的应用，掌握空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的计算方法。14. 重积分（1）理解二重积分与三重积分的概念与性质。（2）熟练掌握二重积分与三重积分的计算方法，包括化为累次积分与换元法。重点掌握二重积分的极坐标变换和三重积分的柱坐标变换与球坐标变换。（3）正确理解含参变量积分的可微性与可积性，并会用于定积分的计算。（4）掌握重积分的基本应用，包括计算图形的面积、体积以及物理学中的质量、重心、转动惯量，引力等。了解微元法的思想及在物理学中的应用。15.曲线积分与曲面积分(1) 理解两类曲线积分与曲面积分的概念，掌握它们的性质与计算方法。(2) 熟练掌握各种积分之间的关系，包括格林公式，奥高公式和斯托克斯公式。(3) 熟练掌握曲线积分与道路无关的几个充要条件。(4) 了解微分形式、外微分的概念及应用。(5) 理解场论中的基本概念，包括梯度，通量与散度，环量与旋度及管量场与势量场等。16. 含参变量反常积分(1) 理解含参变量反常积分的概念，掌握它与函数项级数之间的关系及相应性。(2) 掌握含参变量反常积分的一致收敛性概念及其M判别法，了解一致收敛的Dirichlet 判别法和Abel 判别法。(3) 能用含参变量反常积分的分析性质处理一些简单问题。(4) 掌握函数和函数的性质及两者之间的关系。三、上机实习要求1. 熟悉数学软件。2. 理解极限概念。3. 掌握微积分的基本思想，进一步认识微积分及其应用的重大意义。4. 理解级数、求和、函数展开的意义和方法。5. 了解的近似计算的基本方法。四、能力培养的要求1. 分析能力的培养：主要是培养对极限、微积分以及级数基本思想的透彻理解，并在此基础上培养运用微积分基本思想进行分析问题的能力。2. 计算能力的培养：要求学生通过本课程的学习，具备熟练计算极限、导数、积分以及级数求和与函数展开的能力。3. 自学能力的培养：通过本课程的教学，要培养和提高学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收的能力，以及围绕课堂教学内容，阅读参考书籍和资料，自我扩充知识领域的能力。4. 表达能力的培养：主要是通过课堂讨论、作业以及课后答疑，能用数学语言清晰、整洁地表达自己解决问题的思路和步骤的能力。5. 创新能力的培养：培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯，和对问题选择不同方法，以及对计算进行简化和举一反三的能力。五、建议学时分配课 程 内 容讲 课习题课或课堂讨论实 验上 机集合与映射42数列极限168函数极限与连续函数168微分126微分中值定理及其应用168不定积分84定积分168反常积分84数项级数126函数项级数126Fourier级数84多元函数的极限与连续性84多元函数微分学168重积分126曲线积分与曲面积分2010含参变量反常积分84六、考核方式总评成绩平时成绩（包括作业及上机）10%期中考试成绩20%+期末考试成绩 70%七、教材及参考书1陈纪修、於崇华、金路编数学分析高等教育出版社，20042华东师范大学数学系编数学分析（第三版）高等教育出版社，19993常庚哲、史济怀编数学分析教程高等教育出版社，20034谢惠氏等编数学分析习题课讲义高等教育出版社，2003高等代数课程教学大纲 （课程编号0702104 学分-学时9-144）东南大学数学系一、课程的性质与目的本课程是应用数学专业和信息与计算专业最重要的专业基础课之一。本课程不仅要求学生在掌握相关代数知识的同时，提高逻辑推理和抽象思维能力，而且还要求学生逐渐学会用空间的观点和结构的观点解决数学中的其它问题以及其它实际问题。二、课程内容的教学要求1. 多项式（约14学时）（1）了解数域概念，理解多项式概念，掌握多项式的带余除法，理解整除概念；（2）理解公因式及最大公因式概念并掌握其求法，理解多项式互素的含义及其充要条件，理解因式分解定理；（3）理解重因式概念，掌握判别多项式有无重因式的方法；（4）理解多项式函数、多项式的根及重根概念，知道多项式的次数与其根的个数之间的关系；（5）知道代数学基本定理，理解实数域及复数域上多项式的因式分解定理；（6）了解本原多项式概念，知道Eisenstein判别准则，会判别一些简单的有理系数多项式的可约性；（7）了解多元多项式概念，了解多元多项式的单项式的排序方法以及多元多项式次数的概念；（8）了解对称多项式及初等对称多项式的概念，知道对称多项式基本定理，会将对称多项式表示成初等对称多项式的多项式2. 行列式（约12学时）（1）了解排列及其逆序的概念，了解对换概念及其对于排列奇偶性的影响；（2）理解行列式的定义，会用行列式的定义计算一些简单的行列式；（3）理解行列式的性质，理解余子式和代数余子式的概念，理解行列式按一行（列）展开的表达式，熟练掌握一些低阶行列式及一些典型的高阶行列式的计算方法，知道Vandermonde行列式的结果，了解Laplace定理及行列式乘法定理，并会用之于一些行列式的计算；（4）理解Cramer法则，会用来解线性方程组3线性方程组（约13学时）（1）理解线性方程组及其解的概念，熟练掌握Gauss消元法，掌握用矩阵的初等行变换表示消元过程的方法；（2）理解向量概念，理解向量的线性组合、线性表示以及向量组的线性相关、线性无关的定义，熟练掌握判别向量组的线性相关性的方法；（3）理解向量组的等价性的定义，理解向量组的极大无关组及向量组的秩的定义，掌握计算向量组的极大无关组及向量组的秩的方法；（4）理解矩阵的秩的定义，理解矩阵的秩与向量组的秩的关系，理解矩阵的秩与子式的关系，熟练掌握计算矩阵的秩的方法；（5）理解线性方程组的解的判别定理，熟练掌握线性方程组解的判别方法；（6）理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握其求法；（7）理解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组的解的关系，熟练掌握其通解的求法4矩阵（约11学时）（1）理解矩阵概念，理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵的定义；（2）理解矩阵的加法、数乘及乘法的定义，理解矩阵的转置的定义；（3）理解矩阵经运算前后关于秩的不等式；（4）理解矩阵的可逆性的定义，理解逆矩阵与伴随矩阵的关系，理解逆矩阵的性质（5）理解分块矩阵的运算规则，熟练掌握一些常用的分块技巧；（6）理解矩阵的初等变换及初等矩阵的概念及其相互关系，熟练掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵的方法，掌握求一些简单的矩阵方程的方法（7）了解广义逆矩阵的概念，知道广义逆矩阵与线性方程组的解的关系5二次型（约14学时）（1）理解二次型的概念及其与对称矩阵间的关系，理解二次型的可逆线性变换，理解对称矩阵间的相合关系；（2）理解二次型的标准形，掌握求二次型的标准形的配方法，理解初等变换法的含义，会用初等变换法求二次型的标准形；（3）理解复二次型的规范形，理解两个复对称矩阵相合的充要条件；（4）理解实二次型的惯性定理，理解实二次型的规范形，理解正、负惯性指数的概念，理解两个实对称矩阵相合的充要条件；（5）理解正（负）定二次型的定义，熟练掌握用顺序主子式判别实对称矩阵是否正定的方法，掌握用正、负惯性指数判别实对称矩阵是否正、负定的方法6线性空间（约10学时）（1）理解线性空间的概念，熟悉线性空间的几何背景，理解线性空间的基本性质；（2）理解线性空间中向量的线性组合、线性表示以及向量组的线性相关、线性无关的定义，熟练掌握判别向量组的线性相关性的方法，理解线性空间中向量组的等价性的定义，理解线性空间中向量组的极大无关组及向量组的秩的定义；（3）理解线性空间的基、维数、坐标的定义，理解它们的基本性质，理解坐标变换公式，熟练掌握基、维数、坐标及不同基之间的过渡矩阵的计算方法；（4）理解子空间的概念，熟练掌握基的求法，理解由一些向量生成的子空间的性质，理解基扩充定理；（5）理解子空间的和与交的定义，理解维数定理，会求一些简单的交空间、和空间的基和维数；（6）理解子空间的直和的概念，熟练掌握用充要条件判别子空间的和是否为直和的方法；（7）理解同构的概念，会构造不同线性空间之间的同构映射7线性变换（约14学时）（1）理解线性变换的定义及其基本性质，理解线性变换的加法、数乘和乘法运算的定义以及基本的运算性质；（2）理解线性变换在基下的矩阵的定义，理解线性变换的运算与矩阵的相应的运算之间的关系，理解矩阵的相似关系，理解线性变换在不同基下的矩阵的关系；（3）理解矩阵的特征值、特征向量及特征多项式的概念，熟练掌握它们的计算方法；（4）理解线性变换的特征值、特征向量及特征多项式的概念，掌握它们的计算方法；（5）理解线性变换的值域及核子空间的概念，掌握其求法；（6）理解关于矩阵（线性变换）的Hamilton-Caylay定理，理解最小多项式概念；（7）理解矩阵及线性变换可对角化的充要条件（与线性无关特征向量的个数、最小多项式的关系），熟练掌握相应的变换矩阵的求法；（8）理解线性变换的不变子空间概念，了解根空间分解定理；（9）理解矩阵的Jordan标准形概念，了解这一概念之于线性变换的矩阵的含义8-矩阵（约10学时）（1）理解-矩阵概念及它们的运算，理解-矩阵的可逆性；（2）理解-矩阵的初等变换及其等价关系；理解-矩阵的初等变换与初等矩阵间的关系；（3）理解-矩阵的等价标准形及不变因子，理解行列式因子及等价标准形的唯一性，并掌握它们的求法；（4）理解两矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵是等价的这一命题；（5）理解初等因子及初等因子组概念，理解-矩阵的行列式因子、不变因子及初等因子组间的关系；（6）理解矩阵的Jordan标准形与其特征矩阵的初等因子组间的关系，理解矩阵的Jordan标准形与其最小多项式间的关系，熟练掌握矩阵的Jordan标准形的计算方法，会求一些不很复杂的矩阵的相应的相似变换矩阵9Euclid空间（约16学时）（1）理解Euclid空间、内积、度量矩阵概念，理解向量的长度、向量间的夹角的定义；（2）理解Euclid空间中的三角不等式及勾股定理；（3）理解标准正交基概念，熟练掌握求标准正交基的Schmidt正交化方法；（4）理解正交矩阵概念，理解标准正交基间的过渡矩阵为正交矩阵这一命题；（5）理解Euclid空间的同构，会建立不同Euclid空间间的同构；（6）理解正交变换概念，理解线性变换是正交变换的充要条件；（7）理解正交补空间概念，理解一向量在一子空间上的正投影的含义，了解线性方程组的最小二乘解的概念；（8）理解实对称矩阵的性质，熟练掌握用正交变换将实对称矩阵及实二次型化为标准形的方法；（9）了解酉空间及酉变换概念及其相关性质；（10）了解Hermite矩阵及Hermite二次型的概念及其相关性质10双线性函数（约8学时）（1）了解线性函数、对偶空间概念；（2）了解对偶基概念，了解两不同基间的过渡矩阵与相应的对偶基间的过渡矩阵间的关系；（3）了解双线性函数及度量矩阵概念；（4）了解对称双线性函数、反对称双线性函数概念及其基本性质11. 代数基本概念介绍（6学时）（1）理解群的概念，理解子群的概念，了解群的基本性质，了解变换群的概念；（2）知道群同构概念，知道Cayley定理；（3）了解环、域、子环、子域概念，了解常见的例子，了解同构的概念三、能力培养的要求1. 分析问题能力的培养：主要是对代数问题进行分析的能力的培养，同时也要注意培养学生分析其他有关数学问题的能力。2. 抽象空间想象能力的培养：通过对高等代数中的一些代数结构的学习培养学生对抽象空间想象能力。3. 自学能力的培养：通过本课程的教学，要培养和提高学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收的能力，以及围绕课堂教学内容，阅读参考书籍和资料，自我扩充知识领域的能力。4. 表达能力的培养：主要是通过作业，清晰、整洁地表达自己解决问题的思路和步骤的能力。5. 创新能力的培养：培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯，和对问题提出多种解决方案、选择不同计算证明方法，以及对计算证明进行简化和举一反三的能力。四、建议学时分配课 程 内 容讲 课习题课或课堂讨论多项式 142行列式 12线形方程组 132矩阵 11二次型142线性空间 102线性变换 142-矩阵10Euclid空间162双线性函数82代数基本概念介绍62五、考核方式总评成绩平时成绩+期中成绩期末考试成绩 平时成绩占10，期中成绩占20，期末考试成绩占70六、教材及教学参考书：1.北京大学数学系几何与代数室代数教研组编高等代数高等教育出版社，19882. 屠伯熏，徐诚浩，王芬编高等代数上海科学技术出版社，19873. 张禾瑞，郝鈵新编高等代数高等教育出版社，19834. 王萼芳编高等代数教程清华大学出版社，19975. 陈志杰编高等代数与空间解析几何高等教育出版社，20006. 张贤科，许甫华编高等代数清华大学出版社，1998解析几何课程教学大纲 （课程编号0702105 学分-学时 3-48）东南大学数学系一、课程的性质与目的空间解析几何是用代数的方法研究几何图形的几何学.它是数学专业一门重要的基础课. 通过它的学习可以培养学生用代数方法解决几何问题的能力，培养学生的空间想象能力，培养学生运用几何知识和方法解决实际问题的能力，并为其它数学课程的学习作准备.二、课程内容的教学要求1矢量与坐标：理解矢量、矢量的线性关系与矢量的分解、标架与坐标的概念； 熟练掌握矢量的线性运算以及数性积、矢性积、混合积和双重矢性积； 熟练掌握分比公式、距离公式、夹角公式和方向余弦的概念； 学会运用上述运算解决有关的几何问题。2轨迹与方程：理解轨迹与方程的关系； 熟悉曲面、曲线的一般式和参数式； 熟练掌握球面、特殊柱面、圆柱螺旋线的方程。3平面与空间直线：熟练掌握平面与直线的各种方程；会判断点、直线、平面的相互位置、度量关系； 会求平面、直线方程和建立相应的轨迹方程； 会用平面束的方法解决几何问题。4柱面、锥面、旋转面与二次曲面： 熟练掌握二次曲面的标准方程及其图形； 熟练掌握求柱面、锥面、旋转面方程的一般方法； 熟练掌握特殊柱面、锥面、旋转面的方程和图形；熟练掌握直纹面；熟练掌握投影柱面和投影曲线.会画简单曲面的相交曲线和所围成的区域 。5二次曲面的一般理论： 掌握二次曲面的渐近方向与中心、切线与切平面、径面与奇向、主径面与主方向；掌握正交变换与仿射变换； 掌握一般二次曲面的化简与分类。6射影几何简介三、能力培养的要求1空间想象能力的培养：利用几何空间中向量之间的线性关系以及一些典型的几何图形的特点，使学生对分析和代数中若干重要的数量关系的几何背景有鲜明理解，注重对学生空间想象能力的培养，使学生具备根据解析表达式想象并作出简单空间图形的能力。 2实践创新能力的培养：培养学生将解析方法应用于解决几何问题和实际中产生的几何问 题的能力。培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯，和对问题选择不同方法、举一反三的能力。3叙述表达能力的培养：通过作业，培养学生清晰、整洁、准确地表达自己解决问题的思路和步骤的能力。4自学能力的培养：通过本课程的教学，要培养和提高学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收的能力，以及阅读参考书籍和资料、自我扩充知识和更新知识的能力。四、建议学时分配课 程 内 容讲 课矢量与坐标9轨迹与方程3平面与空间直线12柱面、锥面、旋转面与二次曲面12二次曲面的一般理论 9射影几何简介 3五、考核方式总评成绩平时成绩（包括平时作业及平时测验）期末考试成绩 平时成绩占30 ,期末考试成绩占70六、教材及参考书1吕林根等编解析几何（第3版）高等教育出版社，20012丘维声编解析几何北京大学出版社，20053虞言林等编解析几何科学出版社，2005常微分方程课程教学大纲（课程编号0705102 学分-学时 3-48）东南大学数学系一、课程的性质与目的本课程是数学与应用数学、信息与计算和力学等专业的必修课。它是一门与微积分学一起成长起来的学科，是自然学科中表述各种基本规律的根本工具之一，也是数学联系实际问题的重要手段之一。近些年来，常微分方程的研究与应用已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，并且成功地揭示了许多自然和社会现象的内在规律。本课程的教学目的，是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，培养学生灵活运用数学手段解决实际问题的能力，同时为学习后继课程，如微分几何、数学物理方程和泛函分析等和知识的自我更新奠定必要的基础。学习本课程，学生应具备数学分析和高等代数的基础知识。二、课程内容的教学要求1初等积分法：理解常微分方程与解的概念，掌握方程类型的判别。 熟练掌握初等积分法中的变量分离方程解法、常数变易法和全微分方程解法（含积分因子的解法），会用变量代换求解一些微分方程（齐次方程、贝努利方程等），掌握隐式方程的参数解法和高阶方程的降阶法。 会把实际问题抽象为常微分方程模型。 2基本定理：理解解的存在与唯一性定理的证明，理解解的延展定理的证明。了解解对初值的连续依赖性定理及其证明。了解奇解定义，掌握奇解的包络线求法。掌握利用解的存在与唯一性定理、解的延展定理证明有关方程解的某些性质的基本方法。 3线性微分方程组：了解一阶微分方程组的有关概念，了解一阶微分方程组的解的存在唯一性定理及证明。理解线性微分方程组组解的性质、解的结构、通解基本定理，掌握常数变易法和刘维尔公式。熟练掌握常系数线性微分方程组的解法。 4高阶线性微分方程 ：了解n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，理解n阶线性微分方程解的结构，通解基本定理，常数变易法和刘维尔公式。熟练掌握n阶常系数线性方程的待定指数函数解法、待定系数法。学会将许多实际问题归结为二阶线性微分方程、分析问题的步骤及解题方法。知道幂级数解定理及其应用。 5定性理论简介：理解稳定性有关定义及定理的证明，掌握奇点的分类方法。了解环域定理，知道平面定性理论的研究目的。知道简单的李雅普诺夫函数的构造方法。三、上机实习要求通过课外上机，了解微分方程建模，让学生学会使用数学软件（Matlab, Maple, Mathematica）, 通过上机实习和软件操作实验，使学生会用数学软件解方程和方程组、求常微分方程符号解和近似解, 学会作相图，初步具备能根据具体问题的要求对程序作局部的修改和适当的扩充的能力。四、能力培养的要求1. 分析能力的培养：主要是对微分方程建模、求解能力的培养，培养学生灵活运用数学手段解决实际问题的能力，同时也要注意培养学生利用几何直观分析问题、解决问题能力。2. 计算能力的培养：要求学生通过本课程的学习，掌握常微分方程的求解方法，会利用毕卡（Picard）序列求常微分方程近似解，初步具备使用数学软件求解微分方程和作图能力， 及对程序作局部的修改和适当的扩充的能力。3. 自学能力的培养：通过本课程的教学，要培养和提高学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收的能力，以及围绕课堂教学内容，阅读参考书籍和资料，自我扩充知识领域的能力。4. 表达能力的培养：主要是通过作业，清晰、整洁地表达自己解决问题的思路和步骤的能力。5. 创新能力的培养：培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯，培养学生提出问题的能力和选择多种解决方案、不同证明方法，以及对证明、计算进行简化和举一反三的能力。五、建议学时分配课 程 内 容课 内 学 时初等积分法12基本定理9线性微分方程组12线性微分方程9定性理论简介6六、考核方式总评成绩平时成绩（包括作业、期中考试等）期末考试成绩 平时成绩占30 ，期末考试成绩占70七、教材及参考书1丁同仁、李成治编常微分方程教程(第二版)高等教育出版社，20042王高雄等编常微分方程(第二版)高等教育出版社，20053东北师大数学系编常微分方程高等教育出版社，20054王柔怀、伍卓群编常微分方程讲义高等教育出版社，19785叶彦谦编常微分方程讲义人民教育出版社，19796许松庆编常微分方程稳定性理论上海科技出版社，19627张芷芬等编常微分方程定性理论科学出版社，19858P. Hartman, Ordinary Differential Equations Birkhauser, 19829阿尔诺德编，沈家骐、周宝熙、 卢亭鹤译常微分方程科学出版社，198510Hirsch, Morris W. & Smale, S. Differential equations, Dynamical systems, and Linear algebra, Academic Press, 1974复变函数论课程教学大纲（课程编号0702106 学分-学时 3-48）东南大学数学系一、课程的性质与目的本课程是数学类各专业的基础课程，主要讨论定义在复数域上的复值函数（主要是解析函数）的性质及其应用，是数学分析的后继课程。本课程的教学目的，是使学生掌握复变函数（主要是解析函数）的基本知识（基本概念、基础理论和常用的运算方法）及其在物理（平面向量场论）和微分方程中的应用，同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。二、课程内容的教学要求1复数与复变函数：理解复数域与复平面等基本概念，掌握复数的表示和运算，能判断曲线的类型，了解复球面和扩充复平面。2解析函数（1）理解复变函数的导数和微分。（2）掌握解析函数的基本性质和判断法则（Cauchy-Riemann条件）。（3）掌握几种常见的初等解析函数的定义及性质，了解几种常见的初等多值解析函数的定义及性质。（4）了解解析函数在平面向量场论中的应用。3复变函数的积分（1）理解并掌握复变函数的积分的定义性质和简单计算。（2）掌握解析函数的Cauchy基本定理和Cauchy积分公式，及它们的应用。（3）掌握解析函数和调和函数的关系，及其在微分方程中的应用。4级数（1）掌握复数项级数和复函数项级数的收敛及发散的定义及判别方法。（2）掌握解析函数的Taylor级数和Laurent级数的理论和展开方法。（3）掌握解析函数的零点和孤立奇点的定义和类型判别方法。（4）掌握解析函数的唯一性定理和最大模原理及其应用。（5）了解整函数及亚纯函数等概念。5留数（1）掌握解析函数的留数的定义及留数定理。（2）掌握留数的计算和其在（复定）积分中的应用。（3）了解辐角原理和Rouche定理及其应用。6保形变换（1）理解解析函数的导数的几何意义（保角性）。（2）掌握线性变换的保角性保交比性保圆性和保对称性。（3）掌握由几种初等解析函数所构成的保形变换。（4）了解多角区域的保形变换。三、能力培养的要求1. 分析能力的培养：主要是通过对复变函数的学习，培养其数学的基本思想和基本理论，提高其分析问题解决问题的能力，同时也要注意培养其从实际问题中提炼出数学理论问题及将理论应用于实践的能力。2. 计算能力的培养：要求学生通过本课程的学习，具备对各种积分和微分的计算的能力和将复积分、留数和级数等应用于定积分的计算能力。3. 自学能力的培养：通过本课程的教与学，要培养和提高学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收的能力，以及围绕课堂教学内容，阅读参考书籍和资料，自我扩充知识领域的能力。4. 表达能力的培养：主要是通过作业，清晰、整洁地表达解决问题的思路和步骤的能力。5. 创新能力的培养：培养学生独立思考、深入钻研问题的习惯，和对问题提出多种解决方案、选择不同计算方法，以及对计算进行简化和举一反三的能力。四、建议学时分配课 程 内 容讲 课复数与复变函数6解析函数积分11级数12留数6保形变换6五、考核方式总评成绩平时成绩（作业）期末考试成绩 平时成绩占10 ，期末考试成绩占90六、教材及参考书1钟玉泉编复变函数论(第二版)高等教育出版社，19882余家荣编 复变函数高等教育出版社，2000概率论课程教学大纲（课程编号0703301 学分-学时 4-64）东南大学数学系一、课程的地位作用本课程是数学系各专业的一门重要的基础课。它是从数量侧面研究随机现象规律性的一个很有特色的数学分支，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，理论严谨，内容丰富，结果深刻，应用广泛。本课程的教学目的，是使学生通过该课程的学习，初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，培养学生解决某些实际问题的能力。二、课程内容的教学要求1随机事件与概率（1）理解随机试验，样本空间的概念；掌握随机事件只见得关系和运算。（2）掌握古典概率模型，几何概率模型中随机事件的概率计算方法。（3）理解事件类的代数的概念，理解概率测度空间及概率的公理化定义，掌握概率的分析性质（单调性，连续性）和算术性质（加法公式，减法公式，逆事件公式等）。（4）理解条件概率和随机事件独立性的概念，掌握概率的乘法公式，全概率公式，Beyes公式的应用。（5）掌握独立试验概率模型及Bernoulli 概率模型。2随机变量及其概率分布（1）理解随机变量及随机变量的分布函数的概念，掌握分布函数的性质，弄清分布函数的作用。（2）理解离散型随机变量分布律的概念，掌握分布律的性质及其与分布函数的关系，弄清分布律的作用。掌握二项分布，Poisson分布，超几何分布，几何分布，负二项分布描述的概率模型。（3）理解连续型随机变量概率密度的概念，掌握其性质，弄清概率密度的作用及其与分布函数之间的关系。掌握均匀分布，指数分布，正态分布，对数正态分布，Weibull 分布等。（4）掌握求随机变量函数分布的思想方法，熟练掌握线性函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，等分布的求法。3随机向量及其分布（1）理解随机向量的联合分布函数，离散型随机向量的联合分布律，连续型随机向量的联合概率密度函数的概念，掌握其有关的性质，弄清楚它们各自的作用。（2）理解边缘分布函数，边缘分布律，边缘分布密度的概念，掌握求边缘分布函数，边缘分布律，边缘分布密度的方法。（3）理解条件分布函数，条件分布律，条件分布密度的概念，掌握求条件分布函数，条件分布律，条件分布密度的方法。（3）理解相互独立随机变量随机变量的概念，掌握随机变量独立性的判断方法。（4）掌握求随机向量函数分布的思想方法，熟练掌握求和，差，乘积，商，距离，矢径的分布的方法。4随机变量的数字特征（1）理解随机变量数学期望的概念，掌握数学期望的性质，了解数学期望的积分的定义，掌握求随机变量函数的数学期望的方法。（2）理解随机变量方差的概念，掌握方差的性质。（3）理解随机变量的协方差，相关系数的概念，掌握它们的性质。了解随机变量矩，协方差矩阵的概念，掌握柯西希瓦兹不等式，切比雪夫不等式，马尔可夫不等式，瑞尼葛依柯不等式，柯尔莫哥洛夫不等式。（4）掌握常见的概率分布的数字特征。5特征函数（1）理解随机变量特征函数的概念，掌握特征函数的性质，掌握求随机变量特征函数的方法和常见随机变量的特征函数。（2）了解逆转公式，掌握唯一性定理和利用特征函数求概率分布的方法。（3）了解特征函数和矩的关系，掌握根据特镇函数求随机变量矩的方法。（4）了解多维随机向量特征函数的概念及其性质，掌握多位正态的三种定义方法（密度定义法，特镇函数定义法，分布自由定义法）以及多位正态分布的性质。（5）理解整值随机变量母函数的概念及其性质。掌握常见整值随机变量的母函数。掌握利用母函数求整值随机变量的分布律和数字特征的方法。6极限定理（1）理解随机变量序列以概率收敛，几乎处处收敛，以分布收敛的概念，掌握判断随机变量序列以概率收敛，几乎处处收敛，以分布收敛的方法。了解三种收敛之间的关系。（2）理解随机变量序列服从弱大数定律，服从强大数定律，服从中心极限定理的概念。（3）掌握判断随机变量序列服从弱大数定律的方法，熟悉切比雪夫大数定律，辛钦大数定律，Bernoulli大数定律，Poisson大数定律。（4）掌握判断随机变量序列服从强大数定律的方法，熟悉Borel强大数定律，柯尔莫哥洛夫强大数定律等。（5）掌握判断随机变量序列服从中心极限定律的方法，熟悉De.MoriveLaplace中心极限定理，Lindberg中西极限定理，李雅普诺中心极限定理。掌握利用中心极限定理近似地求概率的方法。三、 建议学时分配教 学 内 容学 时随机事件与概率14随机变量及其概率分布8随机向量及其分布10随机变量的数字特征8特征函数10极限定理14四、能力培养要求1.数学思维能力的培养：通过对概率论的理论和方法的学习，陶养学生的科学思想方法，提高学生的逻辑思维能力。2应用能力的培养：通过本课程的学习，培养学生应用随机数学理论和方法解决实际问题的能力。五、考核方式期末考试实行笔试、闭卷总评成绩平时成绩（作业）期末考试成绩 平时成绩占10 ，期末考试成绩占90六、 教材及参考书茆诗松等编 概率论与数理统计教程 高等教育出版社，2004.梁之舜等编概率论与数理统计（上册）高等教育出版社，2005复旦大学编概率论（第一册）高等教育出版社，1986数值分析课程教学大纲（课程编号0704306 学分-学时-上机 4-48-32）东南大学数学系一、课程的性质与目的本课程是数学系各专业必修的一门专业基础课，它既包含严谨的理论分析，又具有很强的实用性。本课程的教学目的，是使学生通过对数值计算基本理论的学习，掌握数值计算的基本原理和方法，培养学生对数值算法进行理论分析及应用计算机进行科学计算的能力。二、课程内容的教学要求1. 绪论（1）误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。（2）机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。（3）数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。2. 非线性方程解法（1）简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及大范围收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。（2）牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。3线性方程组数值解法（1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。（2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2-范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。（3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。（4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。4插值与逼近（1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。（3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。（4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。（5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、第二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。（6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。（7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。5. 数值积分与数值微分（1）插值型求积公式：理解插值型求积公式的概念和代数精度的概念，理解插值型求积公式与代