《计算机组成原理》第3版PPT电子课件教案-第二章运算方法和运算器.ppt

第二章 运算方法和运算器,本章要点： 计算机内部数据与文字表示的方法; 定点数运算方法，定点运算器的组成； 浮点数运算方法，浮点运算器的组成。 2.1数据与文字表示的方法 1.数据格式： 定点数：数值范围小，处理硬件简单。 浮点数：数值范围大，处理硬件复杂。 1)定点数：小数点固定。设用n+1位计算机字长表示。 纯整数： 小数点隐含在xn的右边。,x0是x数符号位， 0 |x|2n-1。 纯小数： 小数点隐含在x0和x1的中间。 x0是x数符号位， 0 |x|1-2-n。 定点整数和定点小数运算方法基本上差不多。 2)浮点数： n=rem, m是尾数，用定点小数表示，它的基为r(一般r2)。 浮点数的精度主要有尾数决定，尾数二进制位愈长，精度愈高。 e为浮点数的指数，用定点整数表示。浮点数的表数范围主要有e决定。,阶符 阶码 数符 尾数,下面列出ieee754标准的两种浮点数表示的格式： (1)32位浮点数标准格式： 31 30 23 22 0 (2)64位浮点数标准格式： 63 62 52 51 0 r=2 对于32浮点数，尾数m用原码表示，s放在最前面，是浮点数的符号位，也是尾数的符号位。s=0,浮点数是正数；s=1,浮点数是负数。 m是尾数的|m|,定点小数，23位。 e是阶码，采用移码表示，8位，定点整数表示。 ee e=e+127=e+01111111;反之，ee e=e-127=e-01111111。,(1)32位浮点数代码表示，求它表示的x真值。 x=(-1)s(1.m)2e-127 (2)64位浮点数代码表示，求它表示的x真值。 e是阶码，采用移码表示，11位，定点整数表示。 ee e=e+1023;反之，ee e=e-1023。 尾数m用52位，有更高的精度。 x=(-1)s(1.m)2e-1023 p21例1 浮点数x在标准格式(1)32位代码表示(41360000)h,求x表示的十进制值。 41360000h0100 0001 0011 0110 0000 0000 0000 0000,s,e,m,x=(-1)s(1.m)2e-127 =+1.011011210000010-01111111=1.011011211b =1011.011b=11.375d,p21例2, 将十进制数-31.625用32位标准浮点数代码表示。 -31.625= -11111.101b= -1.111110124 = (-1)1 1.111110124 s=1, m=11111010000000000000000 e=e+127=100+01111111=10000011 32位标准浮点数代码表示形式如下： 110000011 11111010000000000000000 s e m 用8位16进制代码表示： x= -31.625c1fd0000h 3.十进制数串表示（为十进制运算） 1)字符串形式(非压缩的十进制数串形式)：一个字节放一个ascii编码的十进制数字(p28,表2.1 ascii字符编码表)。 2)压缩的十进制数串形式：用4位二进制放一个二进制bcd码，一个字节放两个十进制bcd码。c=1100表示，d=1101表示。,例如:+123和123 bcd码的表示：,数的机器码表示 4. 定点数在计算机中四种代码(原码，补码，反码，移码)的表示: 1)定点小数 x=0.x1x2xnn+1位的二进制字长 y0.y1y2yn表示。 (1)原码表示： x原=,x 0x1,1-x=1+|x| -1x 0,已知：x的真值，如何求x原的代码表示？ 当x=+0.x1x2xn时， x原=0.x1x2xn 当x= -0.x1x2xn时， x原=1.x1x2xn 例如： x=+0.1011, x原=0.1011 y=-0.1011, y原=1.1011 注意：原码的0有两种不同形式。 +0原=0.000 -0原=1.000 已知x原=x0.x1x2xn，求真值x=? 1) x0 =0, x=+0. x1x2xn 2) x0 =1, x= -0.x1x2xn 例如： x原=0.1010，x=+0.1010b=0.101b=0.5+0.125=0.625 x原=1.1010，x=-0.1010b=-0.101b=-(0.5+0.125)=-0.625,(2)补码表示： x补= 2+x mod 2= 当x=+0.x1x2xn时， x补=0.x1x2xn 当x= -0.x1x2xn时， x补=1.x1x2xn+0.0001 mod 2 例如： x=+0.1011, x补=0.1011 y=-0.1011, y补=1.0101 补码0的代码形式只有一种， +0补= -0补= 0.000 已知x补=x0.x1x2xn，求真值x=? 1) x0 =0, x=+0. x1x2xn 2) x0 =1, x=-(0.x1x2xn+0.0001) 例如： x补=0.1010，x=+0.1010b=0.101b=0.5+0.125=0.625 x补=1.1010，x=-(0.1010+0.0001)b=-0.0110b=-(0.25+0.125)=-0.375,x 0x1 2-|x| -1 x 0,(3)反码表示： x反= x 0x1 (2-2-n) +x -1 x 0 当x=+0.x1x2xn时， x反=0.x1x2xn 当x= -0.x1x2xn时， x反=1.x1x2xn 例如： x=+0.1011, x反=0.1011 y=-0.1011, y反=1.1011 =1.0100 注意：反码的0有两种不同形式。 +0反=0.000 -0反=1.111 已知x反=x0.x1x2xn，求真值x=? 1) x0 =0, x=+0. x1x2xn 2) x0 =1, x=-0.x1x2xn 例如： x反=0.1010，x=+0.1010b=0.101b=0.5+0.125=0.625 x反=1.1010，x=-(0.1010)b=-0.0101b=-(0.25+0.0625)=-0.3125,(4)移码表示： x移=1+x -1x1 当x=+0.x1x2xn时， x移=1.x1x2xn 当x= -0.x1x2xn时， x移=0.x1x2xn+0.0001 例如： x=+0.1011, x移=1.1011 y=-0.1011, y移=(0.1011+0.0001) =0.0101 移码0的代码形式只有一种， +0移= -0移= 1.000 已知x移=x0.x1x2xn，求真值x=? 1) x0 =1, x=+0. x1x2xn 2) x0 =0, x=-(0.x1x2xn+0.0001) 例如： x移=1.1010，x=+0.1010b=0.101b=0.5+0.125=0.625 x移=0.1010，x=-(0.1010+0.0001)b=-0.0110b=-(0.25+0.125)=-0.375,2)定点整数 x=x1x2xnn+1位的二进制字长y0y1y2yn表示。 (1)原码表示： x原= x 0x2n 2n-x= 2n+|x| -2nx 0 当x=+x1x2xn时， x原=0x1x2xn 当x= -x1x2xn时， x原=1x1x2xn 例如： x=+1011, x原=01011 y=-1011, y原=11011 注意：原码的0有两种不同形式。 +0原=0000 -0原=1000 已知x原=x0x1x2xn，求真值x=? 1) x0 =0, x=+x1x2xn 2) x0 =1, x=-x1x2xn 例如： x原=01010，x=+1010b=1010b=8+2=10 x原=11010，x=-1010b=-(8+2)=-10,(2)补码表示： x补= 2n+1+x mod 2n+1 = 当x=+x1x2xn时， x补=0x1x2xn 当x= -x1x2xn时， x补=1x1x2xn+1 mod 2n+1 例如： x=+1011, x补=01011 y=-1011, y补=10101 补码0的代码形式只有一种， +0补= +0补= 0000 已知x补=x0x1x2xn，求真值x=? 1) x0 =0, x=+x1x2xn 2) x0 =1, x=-(x1x2xn+1) 例如： x补=01010，x=+1010b=8+2=10 x补=11010，x=-(1010+1)b=-0110b=-(4+2)=-6,x 0x2n 2n+1-|x| -2n x 0,(3)反码表示： x反= x 0x2n (2n+1-1) +x -2nx 0 当x=+x1x2xn时， x反=0x1x2xn 当x=-x1x2xn时， x反=1x1x2xn 例如： x=+1011, x反=01011 y=-1011, y反=10100 注意：反码的0有两种不同形式。 +0反=0000 -0反=11111 已知x反=x0x1x2xn，求真值x=? 1) x0 =0, x=+x1x2xn 2) x0 =1, x=-x1x2xn 例如： x反=01010，x=+1010b=1010b=8+2=10 x反=11010，x=-(1010)b=-0101b=-(4+1)=-5,(4)移码表示： x移=2n+x - 2nx 2n 当x=+x1x2xn时， x移=1x1x2xn 当x= -x1x2xn时， x移=0x1x2xn+1 例如： x=+1011, x移=11011 y=-1011, y移= 01011+1=00101 移码0的代码形式只有一种， +0移= -0移= 1000 已知x移=x0x1x2xn，求真值x=? 1) x0 =1, x=+x1x2xn 2) x0 =0, x=-(x1x2xn+1) 例如： x移=11010，x=+1010b=1010b=8+2=10 x移=01010，x=-(1010+1)b=-0110b=-(4+2)=-6,总结4种代码(原码，补码，反码，移码)定义。 以定点整数为例： (1) 若x=+x1xn 0 x补= x原= x反= 0x1xn x移= 1x1xn 例如 ：x=+11011 x补= x原= x反= 011011, x移= 111011(注意：补码和移码最高位相反) (2)若x= -x1xn 0，原码，补码，反码，移码都表示不一样。 x原= 1x1xn x反= 1x1xn x补= 1x1xn+1 x移= 0x1xn+1 例如 ：x= 11011 x原= 111011 x反= 100100 x补= 100101 x移= 000101 (注意：补码和移码最高位相反),p26 例4，用n=8表示下面十进制数的四种代码形式：,例：有计算机字长8位，它的代码为全1，分别求四种代码定点整数和定点小数时表示的十进制值。 (1)定点整数： x原=11111111x= - 1111111b= - 127 x反=11111111x=-(1111111)b=-0000000b=0 x补=11111111x= -(1111111+1)b =-0000001b=-1 x移=11111111x= 1111111b =127 (2)定点小数： x原=1.1111111x= -0.1111111b= - (1-2-7) x反=1.1111111x=-(0.1111111)b=-0.0000000b=0 x补=1.1111111x= -(0.1111111+0.0000001)b =-0.0000001b=- 2-7 x移=1.1111111x= 0.1111111b = 1-2-7,p27 例6 32位表示的规格化浮点数：(和ieee754标准格式不一样）,31 30 23 22 0,x=(-1)s(1.m)2e-128 尾数是原码，阶码是移码(e=e+128, e=e-128)。 (1)最大正数的代码形式：0 11111111 11111111111111111111111 尾数最大，移码最大 e=11111111-1000000=1111111b=127 x= (-1)s(1.m)2e-128 1+(1-2-23) 2127 (2)最小正数的代码形式：0 00000000 00000000000000000000000 尾数最小，移码最小 e=0000000-1000000=-128 x= (-1)s(1.m)2e-128 1+0 2-128=1.0 2-128 (3)最小负数的代码形式：1 11111111 11111111111111111111111 x=-1+(1-2-23) 2127 (2)最大负数的代码形式：1 00000000 00000000000000000000000 x=-(1.0+0 ) 2-128 =-1.0 2-128,ieee754标准格式: e=e+127 e=e-127,p27 字符和字符串的表示方法 1. 计算机处理非数值数据字符愈来愈多。 2. 字符表示用7位bit的ascii(美国国家信息交换标准字符码的缩写) p28 表2.1 27=128个字符。 特点：可见字符和不可见字符 数字字符：011 011bcd 0000(0)， 0001(1)， 0010(2)， ，1000(8)， 1001(9)， 7位ascii码8bit(一个字节）方法：最高位扩展0或奇偶校验位。 3.计算机内字符串表示方法：按字符顺序存放。p28 图2.0,p29 汉字表示方法： 汉字特点:多；结构复杂；重音字多；一个字多音多义；随时间改变。 2. 有关汉字几种编码 （1）汉字输入码： （用西文键盘输入汉字） 数字：区位码（4个十进制编码） 字音：拼音，全拼音，双拼双音 字形：五笔字型 （2）汉字内码：统一标准，用国标码（gb2312-80）一级汉字(3755个) 二级汉字(3008个) 。(计算机内部处理）,一个西文字符ascii：一个字节：,214=16384个汉字,一个汉字：二个字节,在汉字操作系统下：区分西文字符和汉字。 若ascii编码的最高位用为奇偶校验位，则一个汉字3个字节。,(3)汉字字模码(汉字输出) 点阵码：1616(p30图2.1); 2424; 3232 。 需要汉字库容量：32b8000个=256kb 矢量码：按笔画点的坐标。,校验码 (p30) 1.原因：信息在传递过程中，因外部环境干扰或硬件本身错误，信息出错（01/10） 2.方法：硬件增加抗干扰措施（不讨论）。 从信息编码角度考虑：在信息传递过程中，发生错误，能发现，进一步改错，是本节讨论的重点。 信息位+附加位=校验码(具有指出错误和改错的编码）。 奇偶校验码，校验码中最简单的一种。增加一位c校验位。,c,奇校验c=xn-1xn-2x0(c, xn-1x0有奇数个1) 偶校验c=xn-1xn-2x0(c, xn-1x0有偶数个1) 例如：p30下的例子： 11111111(偶校验)111111110 11111111(奇校验)111111111 奇偶校验码特点： 实现线路简单（只增加1位二进制位）。 只能发现有错还是无错，在发生奇数错的情况下，可发现，但不能纠错。偶数错不能发现。,以奇校验为例： 一位错：0/1 1/0，使收方收到代码1的个数为偶数个(增加/减少 1个), 可以发现。 二位错： 00 11，使收方收到代码1的个数为奇数个(增加2个)。 11 00，使收方收到代码1的个数为奇数个(减少2个)。 0/1 1/0，使收方收到代码1的个数为奇数个(保持不变)。 不可以发现。,2.2 定点加法、减法运算(本书重点之一)p31 补码的加法 (1)计算机定点数用补码好处：补码的减法不需减法器，只要加法器 (2) 定点小数补码： 已知: x补=x0.x1x2xn=2+x mod 2 y补= y0.y1y2yn =2+y mod 2 求： x+y补=？ 可以证明，x+y不溢出，x+y补=x补+y补 mod 2 书上p31分四种情况证明。我们用简单数学公式证明： 因为：x补= 2+x mod 2 y补= 2+y mod 2 因为x+y不溢出，x+y补=2+(x+y) mod 2=(2+x)+(2+y) mod 2 = x补+y补 mod 2,补码的定义,p32 例8：x=0.1001, y=0.0101 求：x+y的计算机中的实现。 x补=0.1001 y补= 0.0101 x+y补=x补y补 mod 2=0.1001+ 0.0101 mod 2=0.1110 因为x+y补的最高位为0, 所以真值x+y=0.1110 例9：x=+0.1011, y=-0.0101 求：x+y的计算机中的实现。 x补=0.1011 y补= 1.0101+0.0001=1.1011 x+y补=x补y补 mod 2=0.1011+ 1.1011 mod 2=0.0110 x补 0.1011 + y补 1.1011 x+y补 0.0110 因为x+y补的最高位为0, 所以真值x+y=0.0110,最高位进位1丢掉,1,注意：若x+y溢出， x+y补 不会得到正确的结果。后面讨论。 (2)定点整数补码 已知: x补=x0x1x2xn=2n+1+x mod 2n+1 y补= y0y1y2yn = 2n+1+y mod 2n+1 求： x+y补=？ 可以证明，x+y不溢出，x+y补=x补y补 mod 2n+1 例：x=+1011, y=-0101 求：x+y的计算机中的实现。 x补=01011 y补= 10101+1=11011 x+y补=x补y补 mod 25 =01011+ 11011 mod 25 =00110 x补 01011 + y补 11011 x+y补 00110 因为x+y补的最高位为0, 所以真值x+y=0110,最高位进位1丢掉,1,2.补码的减法：可用加法器实现，不需要减法器。 (1)定点小数补码 已知: x补=x0.x1x2xn=2+x mod 2 y补= y0.y1y2yn =2+y mod 2 求： x-y补=？ 可以证明，x-y不溢出，x-y补=x补-y补 mod 2 因为：x-y补=x+(-y)补=x补-y补 mod 2 现在要解决的问题是：已知y补= y0.y1y2yn，求-y补=? p32已有证明-y补= y补 mod 2= y0.y1y2yn+0.0001(2-n) mod 2 即对y补的各位求反且末位加1。 所以： x-y补= x0.x1x2xn+ y0.y1y2yn+0.0001(2-n) mod 2 (2)定点整数补码 已知: x补=x0x1x2xn=2n+1 +x mod 2n+1, y补= y0y1y2yn=2n+1 +y mod 2n+1 求： x-y补=？ 可以证明，x-y不溢出，x-y补=x补-y补 mod 2n+1 = x0x1x2xn y0y1y2yn+1 mod 2n+1,例：x=+0.1001, y=-0.0101 求：x-y的计算机中的实现。 x补=0.1001 y补= 1.0101+0.0001=1.1011, -y补=1.1011+0.0001 (2-4)=0.0101 x-y补=x补+-y补 mod 2=0.1001+ 0.0101 mod2=0.1110 x补 0.1001 + -y补 0.0101 x-y补 0.1110 因为x-y补的最高位为0, 所以真值x-y=0.1110 例：x=+1001, y=-0101 求：x-y的计算机中的实现。 x补=01001 y补= 11011, -y补=11011+1=00101 x-y补=x补-y补 mod 25 =01001+ 00101 mod 25 =01110 x补 01001 + -y补 00101 x-y补 01110 因为x+y补的最高位为0, 所以真值x-y=1110,3.补码的溢出和补码加减溢出检测 (1)定点补码溢出的概念,定点小数 设x=+0.1011, x补=0.1011 y=+0.1001, y补=0.1001 x+y补= x补+y补mod 2 = 0.1011+ 0.1001 mod 2=1.0100 两个正数相加，结果为负数，显然是错误。,定点整数 设x=-1011, x补=10101 y=-1001, y补=10111 x+y补= x补+y补mod 25 = 10101+ 10111 mod 25 =01100 两个负数相加，结果为正数，显然是错误。,对于定点小数，同号的两个数相加的绝对值超出了1; 对于定点整数，同号的两个数相加的绝对值超出了计算机字长表示的值。例如：n=8, xy补表示的真值：-128(x y) 127。 若补码加减运算的过程中, (x y)127, 则xy补发生上溢(正溢出)； (x y) -128, 则xy补发生下溢(负溢出)。,溢出的本质：计算机在加减运算过程中，超出了有限的计算机字长。 所以，对于补码表示的计算机，在补码加减运算过程中，当不发生溢出时，计算机应得到正确的结果；当发生溢出时，计算机应该发现溢出，仃止计算机执行，且告诉计算机操作系统。 (2)定点数加减运算的溢出检测方法(溢出判别法则) 1)补码双符号溢出判别方法(变形补码/模4补码)p33,定点小数： x补=x0.x1x2xn y补= y0.y1y2yn 计算机字长n+1扩展为n+2位。 x变补=x0x0.x1x2xn y变补=y0y0.y1y2yn 由于计算机字长扩展一位， xy变补不会发生溢出。 xy变补=x变补+ y变补mod 4=x0x0.x1x2xn+y0y0.y1y2yn mod 4 y0y0.y1y2yn+00.0001(减法) = sf1sf2.s1s2sn,最后计算机得到的xy 补应该是n+1位，这里就有判别溢出问题。 xy变补= sf1sf2.s1s2sn (n+2位） xy补(n+1位字长表示） 下面就是具体判别方法： 若sf1=sf2, xy不溢出， xy补=sf2.s1s2sn (取xy变补后面的n+1位)。 若sf1sf2, xy溢出， xy补溢出。若sf1 sf2 =01, xy补正溢出； 若sf1 sf2 =10, xy补负溢出。 v= sf1sf2 ,用一个半加器可以实现。 当sf1=sf2 ，v=0, xy补不溢出。当sf1 sf2 ， v=1, xy补溢出。 关于定点整数： x补=x0x1x2xn y补= y0y1y2yn xy变补=x变补+y变补 mod 2n+2 =x0x0x1x2xn+y0y0y1y2yn mod2n+2 y0y0y1y2yn+1(减法) = sf1sf2s1s2sn(判别方法同定点小数相同),举例：x=+1011, y=-0101 求：xy的计算机中的实现及溢出判别。 x补=01011， x变补=001011 y补= 11011, y变补=111011, -y变补=111011 +1=000101 x+y变补=x变补+y变补 mod 26 =001001+ 111011 mod 26 = 000110 x变补 001011 + y变补 111011 x+y变补 000110 因为sf1=sf2=0, x+y不溢出， x+y补=00110 (取x+y变补后面的5位)。 因为x+y补的最高位为0, 所以真值x+y=110b=6d。 x-y变补=x变补-y变补 mod 26 =001011+ 000101 mod 26 =010000 x变补 001011 + -y变补 000101 x-y变补 010000 因为sf1 = 0 sf2 =1, 所以，x-y溢出， sf1sf2=01, x-y补正溢出。,2)单符号法(进位判别法) p34 倒数第6行 定点小数： x补=x0.x1x2xn y补= y0.y1y2yn xy 补=x补+ y 补mod 2=x0.x1x2xn+y0.y1y2yn mod 2 y0.y1y2yn+0.0001(减法) = sf.s1s2sn cf是最高位产生的进位，c0是次最高位向最高位的的进位。 若cf=c0,则xy不溢出，xy 补= sf.s1s2sn 。 若cfc0,则xy溢出， cfc0=01, xy 补正溢出。 cfc0=10, xy 补负溢出。 定点整数： x补=x0x1x2xn y补= y0y1y2yn xy 补=x补+ y 补mod 2n+1=x0x1x2xn+y0y1y2yn mod 2n+1 y0y1y2yn+1(减法) = sfs1s2sn cf是最高位产生的进位，c0是次最高位向最高位的的进位。 溢出判别同上。,v= cfc0,例：x=+1011, y=-0101 求：用单符号法(进位判别法) xy的计算机中的实现及溢出判别。 x补=01011 y补= 11011, -y 补=11011 +1=00101 x+y 补=x补y补 mod 25 =01001+11011 mod 25 =00110 x补 01011 + y补 11011 各位进位 110110 x+y补 00110 因为cf=c0=1, x+y不溢出， x+y补=00110。 因为x+y补的最高位为0, 所以真值x+y=0110。 x-y补=x补+-y补 mod 25 =01011+00101 mod 25 =10000 x补 01011 + -y补 00101 各位进位 011110 x-y补 10000,cf,c0,cf,c0,因为 cfc0 ,所以x-y溢出， cfc0 =01, x-y补正溢出。,4. 基本二进制加法 / 减法器(硬件的实现p35) 1)一位二进制全加器fa,fa,ai,bi,ci,si,ci+1,真值表：p35 表2.2 si=aibici ci+1=aibi+aici+bici =aibi+(ai+bi)ci =aibi+(aibi)ci =aibi (aibi) ci,一位二进制全加器fa线路实现p32 图2.2 (b) 设一个半加器的延迟时间为3t,一个与非门延迟时间为t,一个全加器从输入ai,bi,ci,到稳定的输出si(6t时间), ci+1(5t时间)。,2)一个n位行波进位补码加法/减法器 见p35 图2.2(a), 动画演习二(1)。 m=0, bi0=bi a+b 补=a补b补=an-1a0+bn-1b0(加法) m=1, bi1=bi a-b 补=a补-b补=an-1a0+bn-1b0+1 (减法) v=cncn-1,单符号进位判别方法。 不考虑v溢出检测， n位行波进位补码加法/减法器稳定需要时间： t=3t+(3t+(n-1)2t)+3t=(n-1)2t+9t,bim 需要时间,从c0串行形成cn-1需要时间,最后形成sn-1需要时间,(补充内容)(1)加法器串行进位：时间比较长。 c1=g0+p0c0 g0=a0b0 p0=a0b0 c2=g1+p1c1 g1=a1b1 p1=a1b1 c3=g2+p2c2 g2=a1b2 p2=a2b2 c4=g3+p3c3 g3=a3b3 p3=a3b3 (2)加法器并行进位：时间比较短，由pi,gi,c0, 同时产生c1 ， c2 ， c3 ， c4 。 c1=g0+p0c0 c2=g1+p1c1 =g1+p1g0+p1p0c0 c3 =g2+p2c2 =g2+p2g1+p2p1g0+p2p1p0c0 c4=g3+p3c3 =g3+p3g2+p3p2g1 +p3p2p1g0 +p3p2p1p0c0,2.2.5 十进制加法器(不讲，自己看) 2.3 定点乘法运算 p37 定点小数和定点整数乘法运算基本相同，在这里主要只考虑定点小数的乘法，然后简单引进定点整数乘法。下面介绍原码和补码定点乘法。 1.原码乘法： 已知： x原=xf.xn-1 x1x0, y原= yf.yn-1y1y0 求： xy原= z原= ？ 人工手算法： z原=zf.|z| 1) zf =xfyf (同号为正，异号为负）。 2) |z|= (0.xn-1 x1x0)(0.yn-1 y1y0) (和十进制小数乘法基本相同，从乘数最低位开始),p37 例：x=-0.1101, y=0.1011 求xy原= z原= ？ x原=1.1101, y原=0.1011 zf =xfyf=10=1 (2)|z|=|x|y|=0.11010.1011 0.1101 |x| 0.1011 |y| 1101 1101 0000 + 1101 0.10001111 |z| (3)附上积的符号：xy原= z原=1.10001111,若x,y为定点整数，x=-1101, y=1011 求xy原= z原= ？ 算法和定点小数基本相同。 x原=11101, y原=01011 zf =xfyf=10=1 (2) |z|=|x|y|=11011011=10001111 (3)附上积的符号：xy原= z原=110001111。,计算机定点数算法实现和人工算法有两个不同： (1)计算机字长n位，两个n位数乘法的积为2n. (2)早期用加法器移位实现，速度慢。 现在采用高速乘法部件流水式阵列乘法器。 1)不带符号的阵列乘法器 p38 图2.4 阵列乘法器逻辑框图 已知：|a|=am-1 a1a0(m位二进制), |b| =bn-1b1b0 (n位二进制) |a|= |b|= p=|a|b|= pm+n-1 p1p0 (m+n-1位二进制) =( )( )= =,p38 am-1 am-2 a1 a0 =|a| ) bn-1 b1 b0 =|b| am-1b0 am-2 b0 a1 b0 a0 b0 am-1b1 am-2 b1 a1 b1 a0 b1 . +) am-1bn-1 am-2 bn-1 a1 bn-1 a0 bn-1 pm+n-1pmn-2 pn-1 p1 p0 aibj用两个输入的与门来实现。共需要mn个与门。 p39 图2.5 5位5不带符号的阵列乘法器逻辑电路图。动画演习二2。 下面讨论该逻辑电路图： (1)需要的硬件：共需要：55=25个双输入的与门(ta=2t); 54=20个fa(全加器tf=2t)。,(2)分析阵列乘法器执行乘法一次需要的时间: 看p39图2.5, 设与门的延迟时间ta=2t, 全加器fa的延迟时间tf=2t。 n位n位阵列乘法器乘法需要时间： 最长时间：沿着最右面的对角线和最下面的一行路径： 共 2(n-1)个全加器 tm= ta + 2(n-1)个全加器=ta+2(n-1)tf = 2t+2(n-1)2t=(4n-2)t 若n=5, 则tm= 18t。,p39 例16 已知：|a|=11011 |b|=10101,按不带符号阵列乘法器算法: p=|a| |b|=1000110111 见p40 2) 带符号阵列乘法器(补码的阵列乘法器) (1)已知： a补=anan-1a0, 求：a的真值。 an=0, a=an-1a0; an=1, a=-(an-1a0+1); 能实现上述运算的硬件电路:对2求补电路图 p40 图2.6动画演习二3 e=an c-1=0 e=0, a*=an-1a0;(代入图2.6,说明) e=1, a*=an-1a0+1;(若a补=anan-1a0=10100100, |a|=1011 100，低位向高位扫描，扫到第一个1,则包括本位及后面的位保持不变，右面的其他各位都求反） 设半加器延迟时间为3t, 或门延迟时间为2t(低位向高位扫描) 与门延迟时间为2t。 n位对2求补电路需要延迟时间tpc=n2t+5t=(2n+5)t。,各位求反,各位保持不变,(2)补码乘法的第一种实现： p41图2.7(n+1) (n+1)位带求补级阵列乘法器 见动画演习二4。 若给出的原码，前求补级和后求补级都不需要。p41 例17给出的原码的乘法过程，自己看。 下面给出补码的乘法： x=+15 x补01111; y=-13=-1101 y补10011,求xy补? (1)进入求补电路，|x|=1111, |y|=1101 (2)44的不带符号阵列乘法器，p41 |xy|=11000011 (3)进入求补电路，由于积的符号为1 0=1, 输出： p =xy补=100111101(我们应该掌握补码乘法的这种算法) (2)补码乘法的第二种实现： 直接补码阵列乘法器，自己看。,2.4定点除法运算(p45) 1.定点小数原码除法原理 已知： x原=xf.xn-1 x1x0, y原= yf.yn-1y1y0 求： x/y原= q原= qf.qn-1q1q0 =？ 算法： 求商的符号，qfxfyf。 |q|=|x|/|y|=0.xn-1 x1x0/ 0.yn-1y1y0 和十进制手算方法基本相同，运算更简单。举例：p45 |x|=0.1001, |y|=0.1011，|q|=0.1101,余数r=0.00000001 开始时，被除数和除数对齐做减法。一般情况，不够减，否则商溢出。 以后够减，商为1；不够减，商为0，然后除数右移一位，把得到的余数继续做减法，得到下面一位商。 人可以判别余数和除数的大小，决定商1或0。但在计算机中，不能马上判别余数和除数大小，必须先做减法，得到余数为正，才知道够减，本次商为1；得到余数为负，才知道不够减, 本次商为0。,在手算中，上一次得到的余数ri(保持位置不变)，除数(右移1位)，再做减法。 在计算机中，为了节省硬件，上一次得到的余数ri(左移一位)，除数(保持位置不变)，再做减法；或者余数ri保持不变，除数右移一位。 在计算机原码的除法中，有两种方法： 1)恢复余数法：若本次余数为正，本次上商为1, 保持余数ri ，下一次执行减去右移一位的除数，得到下一次余数ri1；若本次余数为负，本次上商为0,加上除数，恢复原来的余数ri ，减去右移一位的除数，得到下一次余数ri1 。 该方法比较直观，但商0时，要多做一次加法，计算机速度较慢。 2)不恢复余数法(加减交替法) ：若本次余数为正(和恢复余数法相同);若本次余数为负，本次上商为0, 不恢复原来的余数，保持余数不变，加上右移一位的除数，得到下一次余数ri1 。 该方法计算机执行速度快，实现控制比较复杂。 现在，原码除法采用不恢复余数法(加减交替法) 。 早期计算机采用减法移位操作实现,速度很慢,现采用并行除法器。,2.并行除法器: (1)一位二进制可控制加法/减法单元(cas) p47图2.9 (a),cas,ai,bi,ci,ci+1,si,p,p=0 cas=fa, 是一个加法器。 p=1 cas是一个减法器。 设半加器延迟时间为t, cas延迟时间为3t。,(2)不恢复余数的阵列除法器(用cas来构成)，执行速度快。 设被除数：|x|=0.x1x2x6 除数：|y|=0.y1y2y3 求：|z|=|x|/|y| p47 图2.9 一共需要16个cas。 每一行决定加法/减法，由前一行输出的余数符号的反(q商)控制。,bi,p,从上到下，第一行p=1,一定做减法。最右面的cas的p输出和ci接在一起，为1,求反加1,正好做减法。 第二行就由第一行最左面cas的输出q0决定(第0次余数r0符号的反)(q0接在第二行的p上)： 若q0 0，控制第二行做减法； q0 1，控制第二行做加法。 以此来推。 自动生成商|q|= 0.q1q2q3, 余数=0.00 r3r4r5r6 需要时间td=423t=48t 若定点小数n位，不恢复余数的阵列除法器(用cas来构成)需要时间td= (n+1)23t。 (3)p49 例20 |x|=0.101001, |y|=0.111 求|q|=|x|/|y|=? -y补=1.001 具体执行见p49, 下页的幻灯片。 |q|=0.101 余数r=0.000110。,y=0.111 补1.001 被除数 0.1 0 1 0 0 1 减 1.0 0 1 余数为负 1.1 1 0 0 0 1 0 q00 (除数右移1位)加 0.0 1 1 1 余数为正 0.0 0 1 1 0 1 0 q11 (除数右移1位)减 1.1 1 0 0 1 余数为负 1.1 1 1 1 1 1 0 q20 (除数右移1位)加 0.0 0 0 1 1 1 余数为正 0.0 0 0 1 1 0 0 q31 故得商 |q|q0.q1q2q30.101, 余数 r(0.000r4r5r6)0.000110,2.5定点运算器的组成 p49 1.运算器最基本结构组成：alu(算术/逻辑运算单元), 阵列乘/除器，数据缓冲寄存器，通用寄存器，数据总线，多路转换器等。 2.算术运算：主要是定点数加、减、乘、除四则运算（有进位）。 3.逻辑运算：逻辑非，逻辑加，逻辑乘，逻辑异等（无进位）。 设：计算机字长n+1位二进制数，按位逻辑运算，无进位和借位。 1)逻辑非(各位求反) x= x0x1x2 xn, x= x0x1x2 xn p50 例21 x1=01001011, x2=11110000 x1=10110100, x2=00001111 2)逻辑加(或), 符号用+ / x= x0x1x2 xn, y= y0y1y2 yn xvy=( x0x1x2 xn) ( y0y1y2 yn ) xivyi,其中：xi，yi,全0,它的值为0；其它情况为1。,p50 例22 x=10100001, y=10011011 x y=10111011 3)逻辑乘 (逻辑与) 符号用 / x= x0x1x2 xn, y= y0y1y2 yn x y=( x0x1x2 xn) ( y0y1y2 yn ) xi yi, 其中：xi，yi,全1, 它的值为1；其它情况为0。 例23 x=10111001, y=11110011 x y=10110001 4)逻辑异(半加器)： 符号用 x= x0x1x2 xn, y= y0y1y2 yn x y=( x0x1x2 xn) ( y0y1y2 yn ) xi yi,其中：xi，yi,相同,它的值为0； xi，yi不相同，它的值为0。 p 51 例24 x=10101011, y=11001100 x y=01100111,运算器的功能部件： 1.alu(多功能算术/逻辑运算单元) 1)功能：执行算术运算、逻辑运算。 2)alu的组成：由fa全加器组成是不能完成的。 必须具备下列功能： a)多功能 b)4位组内高速进位。 如何faalu? (1)alu的逻辑结构原理框图