高中数学竞赛指导(第五讲).docx

第五讲 三角恒等变形赛点直击一、基本公式为了叙述方便，我们不妨用S,C,T分别代表sin,cos,tan.二、一些常用的结果(1)(sincos) 1sin2.(2) tan(),(k,k,k)(3)tancot,(, k), tancot2cot2, (, k).(4)sin()sin()sinsincoscos, cos()cos()cossin(5)tansintansin,( k, k), cotcoscotcos,( k, k).(6) k(k)等价于tantantantantantan(,n,n)(7) k (k)等价于(1tan)(1tan)2, (,n,n).(8)三角形中的正、余弦定理，很重要，请参看课本，此处不列出.(9)注：下列结果个人认为比较少用：cos34cos(60)coscos(60),sin34sin(60)sinsin(60),tan3tan(60)tantan(60).赛题解析【例一】(1)coscoscos；(2)sec50tan10.解：（1）原式(coscoscos) (sinsinsinsinsin) . (2) 原式 【例二】化简 ；解法一：因为 cot ,所以，原式cottan2csc.解法二：原式 2csc.解法三：因为tan,则由合分比原理得：tan .所以，原式cottan2csc.解法四：因为 tan所以，原式cottan2csc.【例三】已知,为锐角，且coscoscos()，求,的值.解：由题意得： 4cos4coscos10 ,即： (2coscos)sin0 .于是， 2coscos0且sin0.因为,为锐角，即,则，从而推得.【例四】已知tan()，求证：2tan3tan.证明：tantan() tan.故等式成立.【例五】已知ABC的三边a,b,c和三内角A,B,C满足条件：acotBbcotA ,试判断此三角形的形状.解：由已知条件和正弦定理得：2sincosBcosA ,即： cosBcosA ,再由余弦定理得： .上式两边平方，整理得：(ab)(ab)(ab)2c(ab4ab)c40.因为(ab)(ab)2c(ab4ab)c40,化简得：(ab)0，即ab.所以，ABC为等腰三角形.【例六】求证：(1)tantantan ；(2) tantantan21.解：令，则有tan3tan40,即tan3tan23tantan2tan20.令tanx，则x621x435x70.因为(k1,2,3)满足上式，所以，tan,tan,tan是y21y35y70的根.故由韦达定理知结论成立.说明：本题若采用三角变形来直接求值，难以达到目的，通过观察，得到一个符合条件的三次方程，从而使问题迎刃而解.不仅如此，而且还得到了另一个等式：tantantantantantan35.【例七】当x1,x2,x30,时，求证： sinx1sinx2sinx33sin .【分析】从左到右为多到少，采用化积的方法，为了便于配对常采用添项的方法两边同加sin .解： sinx1sinx2sinx3sin2sincos2sincos2(sinsin)4sincos4sin .故原不等式得证.【例八】已知四条直线m1,m2,m3,m4相交于点O，过直线m1上任意点A1，引平行于m4的直线交m2于A2，过A2引直线平行于m1交m3于A3，过A3引平行于m2的直线交m4于A4，过A4引平行于m3的直线交m1于B点.证明：OB .证明：如下图，在A1OA2、A2OA3、A3OA4、BOA4中，运用正弦定理，并作三角代换得： , , , . 因此，原问题就转化为证明三角不等式sin1sin2sin3sin4sin(12)sin(23)sin(34)sin(41)其中01,2,3,4, 1234.这个问题又可改述为：如果ABCD2，那么:4sinsinsinsinsinsinsinsin由于4sinsinsinsin(coscos)(coscos) , 而sinsinsinsin( coscos)(coscos)( coscos)再利用xy( xy)，即知结论成立.巩固练习1. 的值为( )A. tanx B.tan C.tan2x D.cotx2. sinxsinysin(xy)成立的充要条件是( )A. xy0B. xyk(k)C. x,y,xy中至少有一个等于2k(k)D. x,y中至少有一个等于2k(k)3. 已知a3，则函数y(sinxa)(cosxa)的最小值是( )A. aa B.(a1) C. D.(a)4. 已知方程x4ax3a10(a1)的两根为tan,tan，,(,),则tan的值为( )A. 或2 B. C. 2 D.5. 在ABC中，已知cosA ,sinB，则cosC的值是( )A. B. C. 或 D.6. 已知sinsin1,coscos0,则cos2cos2的值为( )A. 1 B. C. D.7. 已知02, coscoscos0, sinsinsin0,则的值为( )A. B. C. D.不能确定8. 已知tanA1tanA2tanA3tanAn1,那么sinA1sinA2sinA3sinAn的最大值为( )9. 已知锐角,满足xsinycossin,xsinycossin,则xy的值为( )A. 0 B.1 C.2 D.不能确定10. 设ABC的内角B，则cosAcosC的取值范围是 11. 已知sinxsiny，则msinxcosy的最大值为 ，最小值为 .12. 已知,为锐角,且coscos2cos(),则 , .13. 已知sinAsinBsinC0, cosAcosBcosC0,则cosAcosBcosC .14. 在ABC中，已知ac2b,则tantan 15. 在ABC中, ,则ABC的形状为 16. 已知sincos，且|sin| cos|，求tan的值.17. 已知sinsinsinsin,tan,求sin的值.18. 已知5tan()3tan0,求证：sin2sin2()4sin2. 19. 已知tan2,(,),当函数f(x)sin(x)sin(x)2sin的最小值为0时，求cos2及tan的值.20. 在ABC中, C60,证明：(ab)()4 .参考答案：15:ACDAA 69:ABCB10. , 11. , 12. ,13. 14. 15.等腰三角形或直角三角形16. tan 17. 18.略1